直線與圓相交弦長問題

1、練習(xí)已知圓Q和y軸相切，圓心C在直線“一 3尸0上，且被直線尸x截得的弦長為2才，求 圓Q的方程.解析：練習(xí)已知某圓圓心在X軸上，半徑長為5,且截 y軸所得線段長為8,求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解析：二、直線與圓相交弦長問題一、知識(shí)儲(chǔ)備性質(zhì)1:直線與圓相交，則圓心到直線的距離dAa-rBbC 一=/ .r：曲+ 3 Ax+By+C=Q性質(zhì)2：由«.f.消元得x-a + yb到一元二次方程的判別式4 >0：性質(zhì)3：若直線2與圓Q交于月，巧兩點(diǎn)，設(shè)弦心 距為d，半徑為r,弦長為AB.,則有(半F +二、典例練習(xí)例已知圓的方程為x: + / = &圓內(nèi)有一點(diǎn)P(1,2), M為過點(diǎn)尸

2、且傾斜角為“的弦.(1) 當(dāng)a =135°時(shí)，求初的長：(2) 當(dāng)弦曲被點(diǎn)尸平分時(shí)，寫出直線初的方程.解析：法一：三、類題通法 求直線與圓相交時(shí)弦長的兩種方法(1)幾何法：如圖1，直線2與圓Q交于兒萬兩法二:點(diǎn)，設(shè)弦心距為乩圓的半徑為" 弦長為AB ,則有(孕)+扌=圖1即 AB=27U.(2)代數(shù)法：如圖2所示，將 直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè) 直線與圓的兩交點(diǎn)分別是yi) > B(X29 yz)» WJ AB=寸 XL Xz "+ 乃護(hù)=寸1 +亡X Xz +»-加(直線的斜率必在).T k*= 2、/ ks=2 >.直線AB的方

3、程為卩一2=*(卄1),即-r-2y+5 = 0.ffl 1(1)幾何法：如圖1,直線2與圓交于石3兩點(diǎn)，設(shè)弦心距為叢二.直線與圓相交弦長問題一. 知識(shí)儲(chǔ)備性質(zhì)1:直線與圓相交，則圓心到直線的距離dAa±Bb±C_7才+廳Ax+ByC=Q性質(zhì)2：由21 f 22消元得X a + yb r到一元二次方程的判別式4 >0：性質(zhì)3：若直線2與圓C交于兒萬兩點(diǎn)，設(shè)弦心 距為d、半徑為r,弦長為AB ,則有(半F +二、典例與練習(xí)例已知圓的方程為Y + y=8,圓內(nèi)有一點(diǎn) 尸(一 1,2), M為過點(diǎn)尸且傾斜角為a的弦.(1) 當(dāng)a =135°時(shí)，求初的長：(2) 當(dāng)

4、弦初被點(diǎn)尸平分時(shí)，寫出直線初的方程.解(1)法一：(幾何法)如圖所示，過點(diǎn)0作0C丄也由已知條件得直線的斜率為R=tan 135° =-1,直線曲的方程為y2= (x+1),即x+y-l=0圓心為(0, 0),許AB =2 BC =倔法二：(代數(shù)法)當(dāng)"=135。時(shí)，直線£3的方程 為 y 2= (x+1),即 y=x+1,代入 Y+y =8,.7得2才一2*7=0. ：兒+疋=1,及疋=歹- AB =屮+左巫一掄=y1 + 1xi- xzAxtxz =y3Q.(2)如圖，當(dāng)弦初被點(diǎn)尸平分時(shí)，OPLAB.練習(xí)已知圓Q和y軸相切，圓心Q在直線-Y3y=0上，且被直線

5、y=x截得的弦長為2北 求圓解：設(shè)圓心坐標(biāo)為(3皿於圓C和卩軸相切, 得圓的半徑為3 m，:圓心到直線y=w的距離L=2 m由半徑、弦心距.半弦長的關(guān)系得9/ = 7+2/,.m=±l, 所求圓Q的方程為(x-3)3+ (y-l)2=9 sJc(jr+3)2+(y+l)3=9.練習(xí)已知某圓圓心在*軸上，半徑長為5,且截y軸所得線段長為8,求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解法一：如圖所示，由題設(shè):JC|=r=5, AB =8 , AO = 4.在 Rt 月兀中，OC =y AC 2 - AO 2=審匸孑=3.設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(a, 0) 則 OC a =3,a=±3所求圓的方程為G+ 3):+/=25,或(-3)£+/=25法二：由題意設(shè)所求圓的方程為G-»+/=25.圓截y軸線段長為8,圓過點(diǎn)水0,4).代入 方程得子+16=25,=±3.所求圓的方程為 (jv+3):+y=25,或Cy-3):+?=25.三、類題通法 求直線與圓相交時(shí)弦長的兩種方法的半徑為"弦長為IAB ,則有+ d=r,即 AB =2yr-cf.(2)代數(shù)法：如圖2所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設(shè)直線與圓力的兩交點(diǎn)分別