第10講 圖像變換——小波變換(二)

1、,1( )a btbtaa其中其中a為尺度參數(shù)，為尺度參數(shù)，b是定位參數(shù)是定位參數(shù)基本小波（母小波、小波母函數(shù)）基本小波（母小波、小波母函數(shù)）a1，函數(shù)函數(shù) 具有伸展作用具有伸展作用;0a1，函數(shù)函數(shù) 具有收縮作用具有收縮作用;其其Fourier變換變換 則恰好相反。則恰好相反。a bt,( )( )a bt,( )()(2RLt 子小波（小波基函數(shù)）子小波（小波基函數(shù)）伸縮、平移伸縮、平移a:a1)(tabba,的波形隨參數(shù)變化的情形 )(10, 5 . 0ta btt,( )( )2 15可實(shí)現(xiàn)窗口大小自適應(yīng)變化可實(shí)現(xiàn)窗口大小自適應(yīng)變化: :當(dāng)信號(hào)頻率增高時(shí)，時(shí)窗寬度當(dāng)信號(hào)頻率增高時(shí)，時(shí)窗

2、寬度變窄，而頻窗寬度增大，有利于提高時(shí)域分辨率，反之亦然。變窄，而頻窗寬度增大，有利于提高時(shí)域分辨率，反之亦然。小波（母小波）應(yīng)滿足的條件小波（母小波）應(yīng)滿足的條件d2)( 小波的容許條件小波的容許條件(Admissibility Condition)(Admissibility Condition)，表明一個(gè)函數(shù)成為小波的首要條件。表明一個(gè)函數(shù)成為小波的首要條件。設(shè)設(shè) ，其傅立葉變換為，其傅立葉變換為 ，滿足，滿足 )()(2RLt )(小小波波 的選擇應(yīng)滿足如下條件：的選擇應(yīng)滿足如下條件： ( ) t (1)(1)定義域應(yīng)是緊支撐的定義域應(yīng)是緊支撐的(Compact Support)(Co

3、mpact Support)，即在一個(gè)很小，即在一個(gè)很小的區(qū)間之外，函數(shù)為零。的區(qū)間之外，函數(shù)為零。(2)(2)帶通性質(zhì)帶通性質(zhì)tt dtkNk( ), ,0011 ( ) t dt0(3)(3)平均值及其高階矩為零，即：平均值及其高階矩為零，即：)(0時(shí)時(shí) 必須有意義，即必須有意義，即 0)(lim02( )Cd ( )( )j tt edt連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換dtabtatfdtttfbaWbaf 1)()()(),(,)()( , 02RLtfa 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 具有有限能量，即具有有限能量，即: : )(tff tLR( )( )2積分核：積分核： 如果如果 是復(fù)變函數(shù)，上式采用復(fù)共

4、軛函數(shù)是復(fù)變函數(shù)，上式采用復(fù)共軛函數(shù) 。a bt,( )a bt,( ) abtatba1)(,連續(xù)小波重構(gòu)連續(xù)小波重構(gòu)f tCaWa bt dadbfa b( )( , )( ),122( )Cd 其中其中)()(1)(,aaedteabtababjtjba小波變換的時(shí)頻局部化小波變換的時(shí)頻局部化 小波變換實(shí)現(xiàn)時(shí)小波變換實(shí)現(xiàn)時(shí)- -頻局部化分析的特點(diǎn)與信號(hào)頻率高低頻局部化分析的特點(diǎn)與信號(hào)頻率高低密切相關(guān)。由能量守恒定理密切相關(guān)。由能量守恒定理babafFfbaW,21,),(dFbaWbaf)()(21),(,12202,12220,()( )()( )a ba ba ba ba bdttt

5、dt其中其中 dttdttttbababa2,2,0)()(,2,002,0()()a ba ba bdd: :小波的帶通中心小波的帶通中心,0a b取取a=1,b=0（母小波）母小波）1,0,1,0,00a ba baa 隨函數(shù)的伸展而變小，即帶通的中心向低頻分量偏移，反隨函數(shù)的伸展而變小，即帶通的中心向低頻分量偏移，反之，之， 隨隨a的減小而變大，帶通中心向高頻分量偏移。的減小而變大，帶通中心向高頻分量偏移。0,ba0,ba 時(shí)間窗口的寬度與頻率窗口的寬度是尺度參數(shù)時(shí)間窗口的寬度與頻率窗口的寬度是尺度參數(shù)a的函數(shù)，的函數(shù)，但但 受測(cè)不準(zhǔn)原理限定，因此，高頻分量在時(shí)域局受測(cè)不準(zhǔn)原理限定，因此

6、，高頻分量在時(shí)域局部化分辨率提高以頻域局域化由部化分辨率提高以頻域局域化由 的不確定性加大換取。的不確定性加大換取。)(,bababa,0, 1,0, 1,00abattbaba加窗加窗FourierFourier分析和小波分析的時(shí)頻特性比較分析和小波分析的時(shí)頻特性比較（a a）加窗的）加窗的FourierFourier分析的基函數(shù)振蕩個(gè)數(shù)不同，分析的基函數(shù)振蕩個(gè)數(shù)不同，而小波分析的基函數(shù)具有常數(shù)個(gè)振蕩；而小波分析的基函數(shù)具有常數(shù)個(gè)振蕩； （b) b) 加窗的加窗的FourierFourier分析的時(shí)頻分辨率固定，分析的時(shí)頻分辨率固定，而小波分析的時(shí)頻分辨率可變。而小波分析的時(shí)頻分辨率可變。a

7、)f7f8f9f6f5f4f2f3f頻率恒定帶寬(STFT)b)2f8ff4f頻率恒定相對(duì)帶寬(小波變換WT) Gabor Gabor 變換特性（變換特性（a a）和小波濾波特性）和小波濾波特性(b)(b)GaborGabor濾波是恒定帶寬濾波，而小波濾波隨著中心濾波是恒定帶寬濾波，而小波濾波隨著中心頻率增加而帶寬加大頻率增加而帶寬加大 0 121 1210 1 )(其他tttH（1 1） HaarHaar小波小波 正交函數(shù)，正交函數(shù)，A.HaarA.Haar于于19101910年提出年提出幾種典型的一維小波幾種典型的一維小波 HHttn dtn( )(),0012 HHttn dtn( )(

8、),0012 波形波形Haar Haar 小波小波 （2 2） Mexico HatMexico Hat小波小波 Mexico Hat Mexico Hat小波是小波是GaussGauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，即：函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，即：2)1(412232)(ttetMexico HatMexico Hat小波也叫小波也叫MarrMarr小波，實(shí)值，更普遍的形式：小波，實(shí)值，更普遍的形式：)() 1()(22tnnnnedtdt22)()(einnn波形圖波形圖Mexico HatMexico Hat小波小波（3） Morlet小波小波 最常用的復(fù)值小波最常用的復(fù)值小波22001422( ) tjtt

9、eee其其Fourier變換：變換：22200()14222() eee 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) ，近似表示為：，近似表示為：2020e05201420( )5tjttee相應(yīng)的相應(yīng)的FourierFourier變換為：變換為：20()142( )e 尺度為尺度為a 的的Morlet小波小波 的的Fourier變換變換)(0,ta2202011() /2() /244,0( )aaaaaeaeMorlet小波及其小波及其Fourier變換變換小波變換的基本性質(zhì)小波變換的基本性質(zhì) （1 1）線性）線性f tftft( )( )( )12 ),( ),( ),(21baWbaWbaWfff（2 2）平移和伸縮

10、的共變性）平移和伸縮的共變性連續(xù)小波變換在任何平移連續(xù)小波變換在任何平移 b b0 0 之下是共變的，即：之下是共變的，即：),()(baWtff),()(00bbaWbtff對(duì)于對(duì)于a a0 0任何伸縮也是共變的，即：任何伸縮也是共變的，即：f tWa bf( )( , )f a taWa a a bf()(,)00001（3 3） 微分運(yùn)算微分運(yùn)算 （4 4） 局部正則性局部正則性如果函數(shù)在如果函數(shù)在 t t0 0 處處n n階連續(xù)可微階連續(xù)可微, ,即即: :fCtn()0則有則有: : 211),(aabaWnfdttttfttfWbannnnnba )( )() 1() )(,離散小

11、波變換離散小波變換 定義：定義： m nmmmmmtatnb aaaatnb,( ) 100000200dtnbtatfadtttfafmmnmmnm0020,20,)()()(,離散小波變換離散小波變換如果把如果把 t 也離散化，并選擇也離散化，并選擇 a0=2, b0=1，則二進(jìn)小波，則二進(jìn)小波:)2(22221)(2,ntnttmmmmmnm 其他0 1)()(,nnmmdtttnmnm二進(jìn)正交小波二進(jìn)正交小波)(,)(,tftfnmnmnm正交小波變換正交小波變換 尺度函數(shù)尺度函數(shù) (構(gòu)造小波構(gòu)造小波)尺度函數(shù)尺度函數(shù) 應(yīng)滿足下列條件：應(yīng)滿足下列條件：( ) t(1) 其傅里葉變換其傅

12、里葉變換 具有低通特性具有低通特性 (2) 尺度函數(shù)是范數(shù)為尺度函數(shù)是范數(shù)為1的規(guī)范化函數(shù)的規(guī)范化函數(shù)。 1)(dtt( )( ) t1(3) ，正交。，正交。 ，對(duì)所有平移正交，對(duì)所有平移正交 ，某一尺度上的尺度函數(shù)可以由下一尺，某一尺度上的尺度函數(shù)可以由下一尺度的線性組合得到，度的線性組合得到， 是尺度系數(shù)。是尺度系數(shù)。(3) (3) ，正交。，正交。 ，對(duì)所有平移正交，對(duì)所有平移正交(4)(4) ，某一尺度上的尺度函數(shù)，某一尺度上的尺度函數(shù)可以由下一尺度的線性組合得到，可以由下一尺度的線性組合得到， 是尺度系數(shù)。是尺度系數(shù)。)2(2)(nthtnznnh0)()( , ,dtttnmnm

13、0)()(,dtttnmnm( ) t的的FourierFourier變換：變換：2()22jnnnZhHe（6 6） 尺度函數(shù)與小波是有關(guān)連的尺度函數(shù)與小波是有關(guān)連的)2(2)(ntgtnzn2( )2222j nnn zheH2()()()2222jnnnzgeGgn 由尺度系數(shù)由尺度系數(shù) 導(dǎo)出的系數(shù)，導(dǎo)出的系數(shù)，F(xiàn)ourierFourier變換為變換為: :nh2()22jnnnZgGe小波可以由尺度函數(shù)的伸縮和平移的線性組合獲得小波可以由尺度函數(shù)的伸縮和平移的線性組合獲得 從從 導(dǎo)出導(dǎo)出 的關(guān)鍵在于建立的關(guān)鍵在于建立 和和 的正交關(guān)系。的正交關(guān)系。 ( ) t)(tnhgn2( )22

14、22j nnn zheH( ) tdtnttntthn)2()(2)2(),(2的求解的求解: :Znhgnnn ) 1(11其中其中111( )(0)2222kikiiiiiHHH11( )22j tiitHed非正交小波變換非正交小波變換 構(gòu)造一個(gè)既具有正交性，又具有緊支集構(gòu)造一個(gè)既具有正交性，又具有緊支集( (可使小可使小波濾波特性具有線性相移特性）、平滑性（與頻率分波濾波特性具有線性相移特性）、平滑性（與頻率分辨率有關(guān)）甚至對(duì)稱性的小波基函數(shù)具有很大困難。辨率有關(guān)）甚至對(duì)稱性的小波基函數(shù)具有很大困難。但在應(yīng)用中，緊支集是保證優(yōu)良的空間局部性的條件但在應(yīng)用中，緊支集是保證優(yōu)良的空間局部性

15、的條件, ,即容許子波基函數(shù)有一定的相關(guān)性，可能會(huì)帶來(lái)許多即容許子波基函數(shù)有一定的相關(guān)性，可能會(huì)帶來(lái)許多好處。好處。 如果存在兩個(gè)常數(shù)如果存在兩個(gè)常數(shù)A A和和B B，且，且0AB0AB00。保證了變換可逆，并有連續(xù)的逆。保證了變換可逆，并有連續(xù)的逆變換。變換。,lH lZB ffn, 當(dāng)當(dāng)A=B時(shí)的框架稱之為緊框架時(shí)的框架稱之為緊框架(Tight Frame)(,1)(tfAtfllL如果，如果，A=B=1,且且 則則 形成規(guī)范正交基。形成規(guī)范正交基。當(dāng)當(dāng) 構(gòu)成緊框架時(shí)，則有構(gòu)成緊框架時(shí)，則有 ，其，其中中 是容許條件，即：是容許條件，即：1l lnm,00lg/abCBACdC2)(實(shí)際上

16、實(shí)際上A嚴(yán)格等于嚴(yán)格等于B很困難，只能很困難，只能A接近接近B。即即 ,這種框架叫幾乎緊框架這種框架叫幾乎緊框架(Sung Frame)，此時(shí)，此時(shí)11ABllLfBAtf,1)(其中其中是誤差。是誤差。 令令L表示一種映射關(guān)系表示一種映射關(guān)系nmftfL,)(:)(100200000,nbtaaaanbtammmmmnm 如果映射滿足如果映射滿足22,2,fBffAnmnm則可通過(guò)小波系數(shù)則可通過(guò)小波系數(shù) 刻劃函數(shù)刻劃函數(shù)f(t)。 nmf,如果如果 是一個(gè)緊框架是一個(gè)緊框架，則有則有:nm,1( ),( )m nm nmnf tftA 如果如果 是一個(gè)幾乎緊框架是一個(gè)幾乎緊框架,則則:nm

17、,2( ),m nm nmf tfrAB 只要只要 滿足滿足 ，且為緊支集或，且為緊支集或速降的，適當(dāng)選擇速降的，適當(dāng)選擇 就可構(gòu)造這樣的框架。就可構(gòu)造這樣的框架。)(t0)(dttab00,Daubechies給出的選擇給出的選擇 a0 和和 b0 的關(guān)系式的關(guān)系式BdalbA1200n)(其中其中 a0 ,b0 的選擇條件很寬。例如的選擇條件很寬。例如Mexico Hat小波，小波，當(dāng)當(dāng) a0=2,b0=1 時(shí)，框架界時(shí)，框架界A=3.223,B=3.596, =1.116。ABDaubechiesDaubechies小波小波)2(2)(120nthtnNn)2(2)(120ntgtnNn

18、njnnehHH)()()()( 2求出求出 H() ，再通過(guò)無(wú)窮乘積定義，再通過(guò)無(wú)窮乘積定義: : 21)()(jjH 進(jìn)而討論使進(jìn)而討論使 正交的條件。正交的條件。 ()tnn Z由由B樣條小波分析樣條小波分析 B-樣條（樣條（Cardinal B-spline）:一類分段光滑又一類分段光滑又在各段連接處具有一定光滑性的函數(shù)。具有最小的在各段連接處具有一定光滑性的函數(shù)。具有最小的支撐長(zhǎng)度，而且有利于計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)處理。支撐長(zhǎng)度，而且有利于計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)處理。 n階階B樣條是樣條是Harr尺度函數(shù)與其自身作尺度函數(shù)與其自身作m次卷積次卷積運(yùn)算后所得的函數(shù)運(yùn)算后所得的函數(shù) Nm(t) 其它,010,

19、1)(1ttN1211110,01( )( )()2,120,ttN tNNNN tdtt 其它其它032,)3(2121,)23(4310,21)()(222102123ttttttdtNtNNN)()()()()(11111211tNNNtNtNNtNNtNmmm) 1(1)(1)(11tNmtmtNmttNmmm遞推公式：遞推公式： m=1,2,3 時(shí)的基數(shù)時(shí)的基數(shù)B-樣條波形樣條波形 N1(t) 不連續(xù)，不連續(xù)，N2(t) 連續(xù)，但一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，連續(xù)，但一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，N3(t) 有有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，比較常用。連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，比較常用。B -樣條函數(shù)的對(duì)稱形式與構(gòu)造樣條函數(shù)的對(duì)稱形式與構(gòu)造Nm (t) 在頻域中的形式：在頻域中的形式：當(dāng)當(dāng) m=1 時(shí)，是時(shí)，是Haar小波，當(dāng)小波，當(dāng)m=2 時(shí)就是時(shí)就是Franklin小波。在一般情況下小波。在一般情況下 。其支。其支撐區(qū)是撐區(qū)是 0,m mmCtN)(mjmjeN 1)(12sin/ 2()() cos/ 22mmP P是是2m階多項(xiàng)式，當(dāng)階多項(xiàng)式，當(dāng)m是奇數(shù)時(shí)，在區(qū)間是奇數(shù)時(shí)，在區(qū)間0,1中是中是嚴(yán)格正交的；當(dāng)嚴(yán)格正交的；當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，該展開(kāi)式為：是偶數(shù)時(shí)，該展開(kāi)式為：122sin/2( )() (cos)