全等難題——倍長中線法

1、r中考要求_）第二講全等三角形與中點(diǎn)問題供學(xué)習(xí)參考板塊考試要求4級要求3級要求C級要求全等三角形的性質(zhì)及判定會識別全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性質(zhì)，會用全等三角形的性質(zhì)和判定解決簡單問題會運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問題口識點(diǎn)睛）三角形中線的定義：三角形頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的連線三角形中線的相關(guān)定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊的中線三線合一（底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合）三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半.中位線判定定理：經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平

2、分第三邊.中線中位線相關(guān)問題（涉及中點(diǎn)的問題）見到中線（中點(diǎn)），我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無是倍長中線以及中位線定理（以后還要學(xué)習(xí)中線長公式），尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時，倍長中線的應(yīng)用更是較為常見.重、難點(diǎn)）重點(diǎn)：主要掌握中線的處理方法，遇見中線考慮中線倍長法例題精講I）版塊一倍長中線【例1】（2002年通化市中考題）在AHC中，A3=5,AC=9,那么8c邊上的中線AO的長的取值范圍是什么？【補(bǔ)充】：AA8c中，4W是中線.求證：AM<-（AB+AC）.2【例2】（2021年巴中市高中階段教育學(xué)校招生考試）：如圖，梯形48C。中，AD/BC9點(diǎn)£是。的中點(diǎn),3石的延長線與A0的延

3、長線相交于點(diǎn)廠.求證：SBCEAFDE.【例3】AD（浙江省2021年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試（湖州市）數(shù)學(xué)試卷）如圖，在必8c中，。是8c邊的中點(diǎn)，F(xiàn),上分別是AD及其延長線上的點(diǎn)，CF/BE.求證：MDE義&CDF.【例4】如圖，M8C中，AB<ACfAO是中線.求證：ZDAC<ZDAB.【例5】如圖，在AA8C中，AO是8C邊上的中線，E是AO上一點(diǎn)，延長交AC于F,AF=EF9求證：AC=BE.A【例6】如下圖，在A48c和MbU中，A。、A£X分別是BC、上的中線，且4?=A9,AC=4U,AD=A!iy9求證AA8cgMEC：【例7】如圖，在M8C中，AO交

4、8。于點(diǎn)。，點(diǎn)七是BC中點(diǎn)，/A。交C4的延長線于點(diǎn)/，交EF于點(diǎn)G,假設(shè)8G=C/，求證：AD為M8C的角平分線.【例8】AO為AA8C的中線，ZADB,NAOC的平分線分別交A8于£、交AC于.求證：BE+CF>EF.A【例9】在RtMBC中，NA=90。，點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，點(diǎn)七、/分別為A3、AC上的點(diǎn)，且EDL/：D.以線段屬、EF.尸。為邊能否構(gòu)成一個三角形？假設(shè)能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？【例10如下圖，在AA8C中，。是8c的中點(diǎn)，八必垂直于ON,如果8M?+，求證ad2=1(ab2+ac2).【例10】（2008年四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽復(fù)賽初二

5、組）在RtMBC中，尸是斜邊鉆的中點(diǎn)，D、上分別在邊C4、C8上，滿足N。五E=90。.假設(shè)4。=3,B£=4,那么線段OE的長度為.【例11】如下圖，N84C=ND4E=90。，M是跳:的中點(diǎn)，AB=AC,AD=AE9求證4W，C。.版塊二、中位線的應(yīng)用【例12】AO是必6c的中線，尸是A。的中點(diǎn)，8廠的延長線交AC于E.求證：AE=-AC.A【例13如下圖，在必8c中，AB=AC9延長AB到。，使BD=AB,E為AB的中點(diǎn),連接CE、CD,求證CO=2EC.【例14】：A8C。是凸四邊形，且AC<BD.E、尸分別是A。、8c的中點(diǎn)，EF交AC于M；EF交BD于N,AC和BD

6、交于G點(diǎn).求證：NGMN>ZGNM.【例15在中，ZACB=90%AC=Oc,以8c為底作等腰直角ABC。，£是。的中點(diǎn)，求證:2AE上EB且AE=BE.EI)C【例16如圖,在五邊形ABCDE中，ZABC=ZAED=90。,ABAC=NE4。，r為C。的中點(diǎn).求證：3尸=EF.【例17（“祖沖之杯"數(shù)學(xué)競賽試題，中國國家集訓(xùn)隊試題）如下圖，尸是內(nèi)的一點(diǎn)，ZPAC=ZPBC,過戶作PM_LAC于"，PL上BC于L,。為AB的中點(diǎn)，求證。W=/X.【例18（全國數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題）如下圖，在M8C中，。為的中點(diǎn)，分別延長3、CB到點(diǎn)E、F,使小=£）兒

7、過E、尸分別作直線CA、C8的垂線，相交于點(diǎn)P,設(shè)線段必、心的中點(diǎn)分別為例、N.求證：（1）DEM盤&FDN；（2）ZPAE="BF.【例19，如圖四邊形A8C。中，AD=BCfE、產(chǎn)分別是A4和C。的中點(diǎn)，AD.EF.8。的延長線分別交于M、A,兩點(diǎn).求證：ZAA/E=ABNE.【例20】（2021年大興安嶺地區(qū)初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試）：在M6C中，8C>AC,動點(diǎn)。繞AA8C的頂點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，且AOMC,連結(jié)。C.過4?、。的中點(diǎn)E、尸作直線，直線即與直線AO、BC分別相交于點(diǎn)何、N.如圖1,當(dāng)點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到8c的延長線上時，點(diǎn)N恰好與點(diǎn)重合，取AC的中點(diǎn)，連結(jié)E、HF.根

8、據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論乙U/=/8NE（不需證明）.當(dāng)點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時，4"與N8N上有何數(shù)量關(guān)系？請分別寫出猜測，并任選一種情況證明.【例21如圖，AE±AB9BCtCD,且A氏:A8,BC=CD,F為。七的中點(diǎn)，F(xiàn)M±AC.證明：FM=-AC.2【例22】（1991年泉州市初二數(shù)學(xué)雙基賽題）：在/$<?中，分別以A3、AC為斜邊作等腰直角三角形A8M,和CAMP是邊BC的中點(diǎn).求證：PM=PN家庭作業(yè)AMN【習(xí)題1】如圖，在等腰A/WC中，ABAC,。是8C的中點(diǎn)，過A作且A£=4二求證：乙EDB=4FDC.AC【習(xí)題2】如圖，在必8C中，AO是8。邊上的中線，上是AO上一點(diǎn)，且8E=AC,延長8E交AC于b,A/；與E廠相等嗎？為什么？【習(xí)題3】如右下列圖，在必8c中，假設(shè)N6=2NC,AD1BC9七為8c邊的中點(diǎn).求證：AB=2DE.月測備選）A【備選1】