用表達(dá)式的極限表示無限集合基數(shù)的分析與研究

1、用表達(dá)式的極限表示無限集合基數(shù)的分析與研究康牧1，2，郭崗1，2，王寶樹1（1. 西安電子科技大學(xué)計算機(jī)學(xué)院，陜西 西安 7100710）（2. 洛陽師范學(xué)院計算機(jī)系，河南 洛陽 471022）摘要：由于在判斷一個無限集合的基數(shù)時，必須找出它與另一個已知基數(shù)的無限集合之間的一個雙射函數(shù)。為此，針對自然數(shù)集和實數(shù)集的基數(shù)可以用表達(dá)式的極限表示，界定不同的基數(shù)對應(yīng)不同階表達(dá)式的極限的范圍，得到一種判斷無限集合基數(shù)的一種新方法。并利用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)方法證明了“這種表示方法的合理性”。通過幾個具體的例子說明這種方法所得到的結(jié)論與集合論公理一致。這種方法具有計算和證明簡單特點(diǎn)，不僅為判斷無限集合的基數(shù)提供了

2、一種有效的方法，且更容易理解，也可以對原無限集合理論中的一些定理進(jìn)行推廣。關(guān)鍵詞：無限集；基數(shù)；極限；表達(dá)式中圖分類號：01-0 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：BAnalysis And Research of the Radix of Indefinete Set Using the Limit of ExpressionKang Mu1,2,Guo Gang1,2,Wang Bao-shu1(1. Dept. of computer,Xidian Univ.,Xian 710071,China2.Dept. of Computer, Luoyang Normal College, Luoyang 47102

3、2,China)Abstract:In judging of the radix of an indefinite set, an one-one mapping between it and a known radix of indefinite set must be found out. For this purpose,by using the limit of an expression to express the radix of an indefinite set ,according to different radixs define different ranges of

4、 limt of expressions get a new method of judging the radixs of indefinite sets . And the rationality of this new method is proved by using the strict mathematical method. Its consistency with the axiom of set is illuminated by some examples. This method has the advantages of easy prove and calculate

5、 ;and it provide not only an effective method of judging the radixs of indefinite sets but also a easy way of understanding , and some theorem of system of original indefinite sets could be generalized.Keywords:indefinite set;radix;limit;expression引言在有限集合理論中，如果有從N的初始段0，1，n-1到A的雙射函數(shù)，那么集合A是有限的，具有基數(shù)nN，

6、則稱集合A是可數(shù)的或可列的；如果|A|= ss0，則集合A是可數(shù)無限的，如果集合A不是可數(shù)的，則稱集合A是不可數(shù)的或不可數(shù)無限的15。對于一個無限集合要判斷它是可數(shù)的或不可數(shù)的，關(guān)鍵在于能否找它與自然數(shù)集N或?qū)崝?shù)集R之間的一個雙射函數(shù)，而兩個無限集合之間的函數(shù)可能有無限多個，從中找出一個雙射函數(shù)不是一件容易的事，這往往需要一定的技巧才能辦到。本文將給出一種方法，并從理論上及具體問題上證明其優(yōu)良性。一、基本概念在有限集合中如果集合A的基數(shù)|A|=n（nN），則A的冪集（A）的基數(shù)|（A）|=2n，同理自然數(shù)集N的基數(shù)|N|=ss0，則自然數(shù)集N的冪集（N）的基數(shù)|（N）|=。二、 重要定理及推論

7、定理： =證明：因為=。下面證明自然數(shù)集N的冪集（N）的基數(shù)|（N）|=首先證明= ss0：因為=，所以不是一個具體的自然數(shù)，而是一個無窮大，根據(jù)集合基數(shù)的定義當(dāng)n是一個具體的自然數(shù)時，它就代表一個元素個數(shù)為n的有限集合的基數(shù)，那么當(dāng)n趨近于無窮大時，是一個無窮大，而自然數(shù)集N的基數(shù)ss0在所有無限集合的基數(shù)中是最小的，所以= ss0。根據(jù)冪集基數(shù)的定義可知自然數(shù)集的冪集（N）的基數(shù)|（N）|=。說明：用表示 ss0，與無限集的性質(zhì)相吻合，因為=，這說明對于一個無限集合，加入一個元素或去掉的一個元素，集合的基數(shù)不變，所以用表示 ss0是合理的，也是正確的，文7中對于若滿足三個條件：（1）（2）

8、（3），則收斂于P（x），這里顯然有，所以用表示 ss0是合理的。同理用表示自然數(shù)集的冪集（N）也是合理的。三、有關(guān)定義和界定規(guī)則在文15中都證明了實數(shù)集R與自然數(shù)集的冪集（N）等勢，也就是說實數(shù)集R的基數(shù)|R|= ss1=（注：有的參考文獻(xiàn)中把實數(shù)集R的基數(shù)表示成c）。同時也給出了康托的著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)：在ss0和 ss1之間不存在其它基數(shù)。根據(jù)文6中關(guān)于無窮小比較的定義，結(jié)合文7中的有關(guān)概念，我們定義無窮大的比較如下：定義：如果=0，就說是比低階的無窮大；如果=，就說是比高階的無窮大；如果=c0，就說與是同階無窮大；如果=1，就說與是等價無窮大。顯然等價無窮大是同階無窮大的特殊情形，即c=

9、1的情形。說明：因為在文1-5中都說明ss1 ss0，和文7中的有關(guān)概念，都說明無窮大也有大小，所以這里定義無窮大的比較也是合理的。再根據(jù)文6中極限運(yùn)算法則可知：如果c是常數(shù)，n是正整數(shù)，對于lim f（x）、lim g（x），則limf（x）g（x）、limf（x）g（x）、limc f（x）、limf（x）n、可以分別表示成： limf（x）g（x）= lim f（x）lim g（x）、limf（x）g（x）=lim f（x）lim g（x）、limc f（x）=c lim f（x）、limf（x）n=lim f（x）n、。這種運(yùn)算法則在極限是無窮大的情況下也是適用的。在這里用兩個不同的表

10、達(dá)式的極限和分別表示ss0 和ss1。而在極限和之間存在無窮多個不同階的無窮大，也就是說在無限集合理論中不同階的無窮大可能對應(yīng)相同的集合基數(shù)。界定規(guī)則：如果x是一個與低階、等價、同階或者是比高階且比低階的無窮大，則x代表的基數(shù)等同于ss0，也就是說基數(shù)等于x的集合都是可數(shù)無限集合，與自然數(shù)集等勢；如果x是一個與等價、同階或者是比高階且比低階的無窮大都等同于ss1，也就是說基數(shù)等于x的集合都是不可數(shù)無限集合，與實數(shù)集等勢；。通過上面界定規(guī)則我們可以看出：實際上這里的ss0和 ss1不是代表單個無窮大而是代表一類或多個不同階的無窮大，也就是說它們是一個符號。四、界定規(guī)則在具體問題中的應(yīng)用及一個重要

11、推論下面用表達(dá)式的極限表示無限集合的基數(shù)，對一些常見的無限集的定理和性質(zhì)利用界定規(guī)則進(jìn)行證明或解釋：（1） 兩個交集為空的可數(shù)無限集合A和B的并集仍然是可數(shù)無限集。證明：集合A的基數(shù)是，集合B的基數(shù)也是，則集合A和集合B的并集的基數(shù)應(yīng)該是=，而是與同階的無窮大，即它們的并集也是可數(shù)無限集。這與原結(jié)論一致。（2）可數(shù)個互不相交的可數(shù)無限集的并集仍然是可數(shù)無限集。證明：這句話可以這樣說：個互不相交的各具有個元素的集合的并集仍然是可數(shù)無限集。而這樣的集合的基數(shù)應(yīng)該是=。而是比高階且比低階的無窮大，故它們的并集仍然是可數(shù)無限集。這也與原結(jié)論一致。 （3）集合0，1 0，1與0，1等勢。 證明：文15中

12、都指出：0，1是與實數(shù)集R等勢的，也就是說0，1的基數(shù)也是ss1，所以0，1區(qū)間的元素個數(shù)可以表示成。對于給定的一個y ，y0，1，x可以任意取0，1區(qū)間中的值，總共有個不同的x，從而也就有與該y對應(yīng)的個不同的點(diǎn)；而y也可以有個不同的值，所以0，1 0，1上總共有個不同的點(diǎn)，而=，而是比高階且比低階的無窮大，所以 0，1 0，1的基數(shù)也是ss1從而也與0，1等勢。這個結(jié)論也與原結(jié)論一致。使用這種方法，可以得出與原結(jié)論一致的結(jié)果，也就是說這種方法與集合論公理是一致的，且可以使用普通的數(shù)學(xué)運(yùn)算，使人更容易理解。推論：任意多個（可數(shù)個或不可數(shù)個）不可數(shù)集合的并集仍然是一個不可數(shù)集（注：這里的不可數(shù)集

13、指的是與實數(shù)集R等勢的集合）。證明：這個推論分兩部分來證明。（1） 可數(shù)個不可數(shù)集合的并集是一個不可數(shù)集。可數(shù)個不可數(shù)集合最多有個不可數(shù)集合，每個不可數(shù)集合有個元素，故它們的并集最多有個元素，而=，而是比高階且比低階的無窮大，故可數(shù)個不可數(shù)集的并集是一個不可數(shù)集。（2） 不可數(shù)個不可數(shù)集合的并集是一個不可數(shù)集。證明與四中（3）的證明方法相似，這里從略。推論得證。五、結(jié)束語通過對無窮大的比較下定義，利用極限的運(yùn)算法則，用表達(dá)式的極限來表示無限集合的基數(shù)，且對不同的基數(shù)指定一個界定規(guī)則，不但可以得到與集合論公理一致的結(jié)論，也可以使判斷兩個集合是否等勢的證明方法更簡單也更容易理解。參考文獻(xiàn)：1 王元元，李尚奮離散數(shù)學(xué)M北京:科技出版社，1994，781032 左孝凌，李為鑒，劉永才離散數(shù)學(xué)M上海：上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1982，1561823 徐潔磐離散數(shù)學(xué)導(dǎo)論M北京：人民教育出版社，1982，971234 方世昌離散數(shù)學(xué)M西安：西安電子科技大學(xué)出版社，1996，1461625 JON BARWISESTUDIES IN