清華大學(xué)數(shù)字信號處理--第七章4設(shè)計FIR濾波器的最優(yōu)化方法ppt課件

1、四、設(shè)計四、設(shè)計FIR濾波器的最優(yōu)化方法濾波器的最優(yōu)化方法1、均方誤差最小準(zhǔn)則 10Nj nj ndnnhn eh n e 10Nj nj nddnnhnh nehn e其它jjjdE eHeH e頻率響應(yīng)誤差：實際頻響理想頻響均方誤差：2221122jjjdeE edHeH ed當(dāng) 0dhnh n01nN時22minee即 010dhnnNh nn其它相當(dāng)于矩形窗矩形窗設(shè)計結(jié)果必滿足最小均方誤差準(zhǔn)則 1220Nddnnhnh nhn其它2、最大誤差最小化準(zhǔn)則 （加權(quán)chebyshev等波紋逼近）當(dāng) h n為偶/奇對稱，N為奇/偶數(shù)的四種情況其頻響 122NjjLjH eeeH為偶對稱時 h

2、n0L N為奇數(shù)： 120cosNnHa nnN為偶數(shù)： 211cos2NnHb nnN為奇數(shù)： 121sinNnHc nn利用三角恒等式將 表示成兩項相乘形式 H HQP h n為奇對稱時 1L 122NjjLjH eeeH 211sin2NnHd nnN為偶數(shù)：N為奇數(shù) Q PN為偶數(shù) 1 120cosNna nncos2 120cosNnb nnN為奇數(shù) 奇對稱 h nN為偶數(shù) sin 320cosNnc nnsin2 120cosNnd nn偶對稱 h n HQP其中： 11012112,3,12211222bbbNb nb nb nnNNbb 由下而上由 求 b n b n 1 0,

3、1,.,2Na na nn 11012112,3,12211222dddNd nd nd nnNNdd - 1102215112,3,221311,222cccNc nc nc nnNNc nc nn dHWQPQ加權(quán)chebyshev等波紋逼近： min maxAEE各系數(shù) n求一組系數(shù) 使各頻帶上 E的最大絕對值最小 加權(quán)逼近誤差函數(shù)：逼近函數(shù) dEWHH加權(quán)函數(shù) dWHPQ dEWHPA 各通帶和阻帶交錯定理：假設(shè) 是r個余弦函數(shù)的線性組合。即 P 10cosrnPnnA是 內(nèi)的一個閉區(qū)間(包括各通帶、阻帶，但不包括過渡帶)， 是A上的一個連續(xù)函數(shù),0, dH那么 是 的唯一地和最佳的加

4、權(quán)chebyshev逼近的充分必要條件是： P dH加權(quán)逼近誤差函數(shù) 在A中至少有 個極值點，即A中至少有 個點 ，且 E1r 1r i1231rr使得11,2,iiEEir maxiAEE且 設(shè)要求濾波器頻率響應(yīng)： 100cjdsHe尋找一個 使其在通帶和阻帶內(nèi)最佳地一致逼近jH ejdHe參數(shù)： ， ， ， ，N cst12假設(shè) 最佳一致逼近jjdH eHe那么 在通、阻帶內(nèi)具等波紋性jH e故又稱等波紋逼近 根據(jù)交錯定理：最大極值點數(shù) 的極值點數(shù) 單有極點 E H E根據(jù) 知 的極值點數(shù)為： 10cosrnHnn H cNr h n偶對稱 N為奇數(shù) N為偶數(shù) 12Nr2Nr h n奇對稱

5、 N為奇數(shù) N為偶數(shù) 12Nr2Nr E0,單有的極值點是除 外的頻帶端點處如低通有2個，帶通有4個 極值點數(shù)目最優(yōu)線性相位FIR濾波器的設(shè)計步驟 6用Remez算法，求逼近問解的解7計算濾波器的單位抽樣響應(yīng) h n2根據(jù)類型和 h n的長度N，確定 cos的個數(shù)r 4計算各格點頻率上的 dH和 W函數(shù)值1輸入數(shù)據(jù)，濾波器性能要求，濾波器類型加權(quán)逼近誤差： dEWHP將 dH， W表示成 dH W，5用公式表示逼近問題3在 0,頻率區(qū)間，用密集的格點表示離散頻率 r總格點數(shù)格點密度設(shè)誤差函數(shù)值為，那么10,kdkkkWHPkr 10,kdkkkHPkrWRemez算法1按等間隔設(shè)定1r 個極值

6、點頻率的初始值0,kkr其中： ， ，cl1stl0lr 10 cosrkknPnn其中： 000011110111coscos2cos10111coscos2cos111 1coscos2cos1rrrrrdddrrWrWrrWHHH 10,kdkkkHPkrW 10 cosrkknPnn其中： 1r 未知數(shù)： n和，但求解困難 可求 2用解析法求001ridiiriiiia Ha W其中： 01coscosrikikk ia3求 P值 1010coscoscoscosriiiiriiicP其中：101coscosrikikk i 10,1,1iiidiicPHirW 10,kdkkkHPk

7、rW利用重心形式的拉格朗日內(nèi)插公式得4求 dEWHP5判斷是否所有頻率上皆有 E若是，結(jié)束計算若否，作為新的一組交錯點組頻率，返回步驟2）重新計算值， ， P E誤差曲線每個格點頻率上 E E(r+1)個極值點頻率處 ，且正負交錯。 P為最佳逼近，為波紋極值 E誤差曲線的1r 個局部極值頻率點求前后兩次迭代的值相等，終止條件：即收斂于其上限、 已知N、 cst，求最佳 ，通、阻帶加權(quán)誤差相同假設(shè) 、 知，則可規(guī)定加權(quán)函數(shù) 12 121W當(dāng) 在通帶內(nèi)當(dāng) 在阻帶內(nèi)則經(jīng)Remez解法迭代得 2E假設(shè) 、 知，則固定 12c，改變 st值，重復(fù)迭代使、 12滿足要求加權(quán)函數(shù)及其它參數(shù)的確定：計算濾波器的單位抽樣響應(yīng) 10Rerj nnn e Re DTFTn由 10cosrnPnn n為實函數(shù)求 P k的L點IDFT即得 epn對 P頻域抽樣得P(k)，L點2MLN時不混疊）（ 01nnr而為實數(shù)，又在內(nèi)不混疊，可得 02, 11epepnnnnr*( )1/2 ( )() ( )ep