第一章_矢量分析課件

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波1電磁場與電磁波電磁場與電磁波Electromagnetic Field and Wave主主 講講 教教 師：師： 劉劉 明明 堂堂 聯(lián)聯(lián) 系系 方方 式式 ：E_ mail : 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波2教教 學學 目目 的的 通過對本課程的學習，使學生進一步認通過對本課程的學習，使學生進一步認識電磁場與電磁波的物理本質(zhì)和基本規(guī)律及識電磁場與電磁波的物理本質(zhì)和基本規(guī)律及其分析方法，培養(yǎng)學生分析和解決電磁問題其分析方法，培養(yǎng)學生分析和解決電磁問題的能力，為學習相關(guān)的專業(yè)課

2、程或更深一步的能力，為學習相關(guān)的專業(yè)課程或更深一步研究電磁問題打下一定的基礎。本課程是電研究電磁問題打下一定的基礎。本課程是電子信息類專業(yè)本科學生重要的專業(yè)基礎課程子信息類專業(yè)本科學生重要的專業(yè)基礎課程之一。之一。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波3本課程的先修課程和后續(xù)課程先修課程先修課程 高等數(shù)學高等數(shù)學、大學物理大學物理和和一部分電路課程一部分電路課程。后續(xù)課程后續(xù)課程 電磁場與電磁波是電子信息工程、電子信息科學與技術(shù)、電磁場與電磁波是電子信息工程、電子信息科學與技術(shù)、通信等專業(yè)后續(xù)課程，如：通信等專業(yè)后續(xù)課程，如： 通信原理通信原理 、無線通信原無線通信原理與

3、應用理與應用、現(xiàn)代通信技術(shù)現(xiàn)代通信技術(shù)、微波工程基礎微波工程基礎和和微微波技術(shù)波技術(shù)以及研究生有關(guān)的課程如：以及研究生有關(guān)的課程如：高等電磁理論高等電磁理論、電磁場數(shù)值方法電磁場數(shù)值方法、電磁場高頻方法電磁場高頻方法和和電磁波傳播電磁波傳播理論理論的重要基礎。的重要基礎。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波4前前 言言 電場和磁場電場和磁場 靜止電荷產(chǎn)生的場表現(xiàn)為對靜止電荷產(chǎn)生的場表現(xiàn)為對于帶電體有力的作用，這種場于帶電體有力的作用，這種場稱為稱為電場電場。不隨時間變化的電。不隨時間變化的電場稱為場稱為靜電場靜電場。 運動電荷或電流產(chǎn)生的場表運動電荷或電流產(chǎn)生的場表現(xiàn)

4、為對于磁鐵和載流導體有力現(xiàn)為對于磁鐵和載流導體有力的作用，這種物質(zhì)稱為的作用，這種物質(zhì)稱為磁場磁場。不隨時間變化的磁場稱為不隨時間變化的磁場稱為恒定恒定磁場磁場。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波5 如果電荷及電流均隨時間改變，它們產(chǎn)生的電場及磁場如果電荷及電流均隨時間改變，它們產(chǎn)生的電場及磁場也是隨時變化的，時變的電場與時變的磁場可以相互轉(zhuǎn)化，也是隨時變化的，時變的電場與時變的磁場可以相互轉(zhuǎn)化，兩者不可分割，它們構(gòu)成統(tǒng)一的兩者不可分割，它們構(gòu)成統(tǒng)一的時變電磁場時變電磁場。時變電場與時時變電場與時變磁場之間的相互轉(zhuǎn)化作用，在空間形成了變磁場之間的相互轉(zhuǎn)化作用，在空間形

5、成了電磁波電磁波。電磁波電磁波第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波6歷史的回顧歷史的回顧 公元前公元前600600年年希臘人希臘人發(fā)現(xiàn)了摩擦后的琥珀能夠吸引微小物體；發(fā)現(xiàn)了摩擦后的琥珀能夠吸引微小物體；公元前公元前300300年年我國我國發(fā)現(xiàn)了磁石吸鐵的現(xiàn)象；后來，人們發(fā)現(xiàn)了地發(fā)現(xiàn)了磁石吸鐵的現(xiàn)象；后來，人們發(fā)現(xiàn)了地球磁場的存在。球磁場的存在。18201820年年丹麥人丹麥人奧斯特（奧斯特（1777177718511851）發(fā)現(xiàn)了電）發(fā)現(xiàn)了電流產(chǎn)生的磁場。同年法國科學家流產(chǎn)生的磁場。同年法國科學家安培安培（1775177518361836）計算了兩）計算了兩個電流之間的

6、作用力。個電流之間的作用力。18311831年英國科學家年英國科學家法拉第法拉第（1791179118671867）發(fā)現(xiàn)電磁感應現(xiàn)象，創(chuàng)建了電磁感應定律，說明時變磁場可以發(fā)現(xiàn)電磁感應現(xiàn)象，創(chuàng)建了電磁感應定律，說明時變磁場可以產(chǎn)生時變電場。產(chǎn)生時變電場。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波7 18731873年英國科學家年英國科學家麥克麥克斯韋斯韋（1831183118791879）提出了）提出了位移電流的假設，認為時變位移電流的假設，認為時變電場可以產(chǎn)生時變磁場，并電場可以產(chǎn)生時變磁場，并以嚴格數(shù)學方程描述了電磁以嚴格數(shù)學方程描述了電磁場與波應該遵循的統(tǒng)一規(guī)律，場與波應

7、該遵循的統(tǒng)一規(guī)律，這就是著名的麥克斯韋方程。這就是著名的麥克斯韋方程。重大突破重大突破第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波8世界首輛載人高溫超導磁懸浮試驗車世界首輛載人高溫超導磁懸浮試驗車西南交通大學應用超導研究所研制Stable!Stable!磁 場 力 的 應 用第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波9B2 隱形轟炸機隱形轟炸機 i rir反 射 定 律 的 應 用第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波10立立 體體 電電 影影 -電電 磁磁 波波 極極 化化 特特 性性 的的 應應 用用第第1 1章章 矢量分析矢量分析電

8、磁場與電磁波電磁場與電磁波11高頻電磁波電子除垢處理系統(tǒng)高頻電磁波電子除垢處理系統(tǒng) 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波12 全全 球球 定定 位位 系系 統(tǒng)統(tǒng) Global Positioning System(GPS)信 息 載 體 的 應 用 GPS運行的空間由運行的空間由24顆衛(wèi)星分布在顆衛(wèi)星分布在6個軌道平面中個軌道平面中第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波13 當今的無線通信、廣播、雷達、遙控遙測、微波當今的無線通信、廣播、雷達、遙控遙測、微波遙感、無線因特網(wǎng)、無線局域網(wǎng)、衛(wèi)星定位以及光纖遙感、無線因特網(wǎng)、無線局域網(wǎng)、衛(wèi)星定位以及光纖

9、通信等信息技術(shù)都是利用電磁波作為媒介傳輸信息的。通信等信息技術(shù)都是利用電磁波作為媒介傳輸信息的。接收機接收天線饋線下行波發(fā)射機發(fā)射天線饋線導行波第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波14第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波151.掌握宏觀電磁場問題的基本求解方法掌握宏觀電磁場問題的基本求解方法2.了解宏觀電磁場的主要應用領域及其原了解宏觀電磁場的主要應用領域及其原理理3.訓練分析問題、解決問題、歸納問題的訓練分析問題、解決問題、歸納問題的科學方法科學方法4.課前預習，上課認真聽講（課堂筆記），課前預習，上課認真聽講（課堂筆記），及時復習，獨立完成作

10、業(yè)及時復習，獨立完成作業(yè). 學習的目的、方法及其要求學習的目的、方法及其要求第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波16教材和參考文獻教材和參考文獻教教 材：材：電磁場與電磁波電磁場與電磁波，謝處方、饒克謹?shù)戎叩冉?，謝處方、饒克謹?shù)戎?，高等教育出版社，育出版社?006年年1月，第四版。月，第四版。參考書：參考書：1Electromagnetic Field Theory Fundamentals，Bhag Singh Guru et.al編著，編著，PWS Publishing Company &機械工業(yè)出版社，機械工業(yè)出版社，2003年。年。2工程電磁場基礎

11、工程電磁場基礎，J.A. 埃德米尼斯特爾編著，科學出埃德米尼斯特爾編著，科學出版社版社,2003年。年。3Electromagnetic Waves，D.H. Staelin, A. Morgenthaler, J. A. Kong編著，編著，Prentice Hall,1998年。年。4電磁場與電磁波：典型題解析及自測試題電磁場與電磁波：典型題解析及自測試題，趙家升主，趙家升主編，西北工業(yè)大學出版社，編，西北工業(yè)大學出版社，2002年。年。5電磁場與電磁波電磁場與電磁波，楊儒貴，高等教育出版社，楊儒貴，高等教育出版社，2003年。年。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁

12、波17成績考核依據(jù)、評定方式方法及權(quán)重分配成績考核依據(jù)、評定方式方法及權(quán)重分配 本課程是理論性很強的一門課程，同本課程是理論性很強的一門課程，同時也是很抽象性的一門課程。因此，本課時也是很抽象性的一門課程。因此，本課程成績考核主要依據(jù)理論知識的考核，以程成績考核主要依據(jù)理論知識的考核，以及參考平時測驗的成績，同時輔以平時考及參考平時測驗的成績，同時輔以平時考勤和作業(yè)，權(quán)重分配如下：勤和作業(yè)，權(quán)重分配如下： 卷面（卷面（60 %）+平時測驗（平時測驗（30 %）+平時考平時考勤與作業(yè)（勤與作業(yè)（10 %）第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波18第第1 1章章 矢量分析矢量

13、分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波19本章內(nèi)容本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 三種常用的正交曲線坐標系三種常用的正交曲線坐標系1.3 標量場的梯度標量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波201. 1. 標量和矢量標量和矢量矢量的單位矢量矢量的單位矢量：標量標量：一個只用大小描述的物理量。一個只用大小描述的物理量。1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量矢量：一個既

14、有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示一個矢量可用一條有方向的線段來表示 注意注意：單位矢量不一定是常矢量。單位矢量不一定是常矢量。 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波21矢量用坐標分量表示矢量用坐標分量表示zAxAAyAzxyO第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波22（1）矢量的加減法）矢量的加減

15、法 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線鄰邊的平行四邊形的對角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2. 矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算 在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波23（2 2）標量乘矢量）標量乘矢量（3）矢量的標積（點積）矢量的標積（點積）兩矢量的標量積也稱為點積兩矢量的標量積也稱為點積(本書稱為標積本書稱為標積)。定義一個矢量在另一矢量上的投影與另一矢定義一個矢量在另一矢量上的投影與另一矢量

16、模的乘積，結(jié)果為標量。量模的乘積，結(jié)果為標量。AB第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波24（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）寫成行列式形式為寫成行列式形式為 亦稱叉積，結(jié)果仍為一個矢量，用矢量亦稱叉積，結(jié)果仍為一個矢量，用矢量C表示，表示，C的大小的大小為為A和和B組成的平行四邊形的面積，方向垂直與矢量組成的平行四邊形的面積，方向垂直與矢量A和和B構(gòu)成構(gòu)成的平面且的平面且A、B和和C三者符合右手螺旋法則。三者符合右手螺旋法則。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波25（5 5）矢量的混合運算）矢量的混合運算第第1 1章章 矢量分析矢量分析電

17、磁場與電磁波電磁場與電磁波261.1.4.5 三矢量的乘積三矢量的乘積三矢量的相乘有兩種情況三矢量的相乘有兩種情況: : 在矢量運算中，規(guī)定先進行叉積再進行點積。在矢量運算中，規(guī)定先進行叉積再進行點積。 可以看出，標量三重積大小可以看出，標量三重積大小 為該平行六面體的體積。為該平行六面體的體積。ABCan第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波27標量三重積，也可用行列式表示：標量三重積，也可用行列式表示：此稱為此稱為“back-cab”法則，這是很有用的公式。法則，這是很有用的公式。ABCBXCD第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波281.1.5

18、 平面及其方程平面及其方程一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程 平面與其法線方向相垂直，設法線向量為平面與其法線方向相垂直，設法線向量為n=A、B、C，平面上一點，平面上一點M0(x0、 y0、 z0)，則有：，則有：即：即：二、平面的一般方程二、平面的一般方程（為三元一次方程）（為三元一次方程）第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波291.1.6 空間直線及其方程空間直線及其方程一、直線的對稱式方程或點法式方程一、直線的對稱式方程或點法式方程 兩向量兩向量A和和B方向相同或相反稱為方向相同或相反稱為A和和B平行，表示為平行，表示為A=KB。一個非零向量與一直線平行，

19、此向量叫這條直線的方。一個非零向量與一直線平行，此向量叫這條直線的方向向量。設方向向量為向向量。設方向向量為s=m、n、p，直線上兩點，直線上兩點M0(x0、 y0、 z0)、M(x、y、z)，則有：，則有：（對應坐標成比例）（對應坐標成比例）二、直線的參數(shù)方程二、直線的參數(shù)方程 由上可導出直線的參數(shù)方由上可導出直線的參數(shù)方程：程：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波301.1.7 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù) 一、泰勒級數(shù)一、泰勒級數(shù) 如果如果f(x)在點在點x0的某領域內(nèi)具有各階導數(shù)的某領域內(nèi)具有各階導數(shù)f (x),f (x), f(n)(x),則其泰勒展開為：

20、則其泰勒展開為：當當x=x0+x則則f(x)泰勒展開為：泰勒展開為：當當x很小時很小時, f(x)泰勒展開為：泰勒展開為：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波311.1.8 矢量場的不變性矢量場的不變性 描繪物理狀態(tài)空間分布的標量函數(shù)描繪物理狀態(tài)空間分布的標量函數(shù) (r)(r)和矢量函和矢量函數(shù)數(shù)F(r)F(r)，對于確定的時間是唯一的，其大小和方向，對于確定的時間是唯一的，其大小和方向與所選擇的坐標系無關(guān)。與所選擇的坐標系無關(guān)。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波32 矢量函數(shù)在上述三種坐標系內(nèi)應有的關(guān)系為：矢量函數(shù)在上述三種坐標系內(nèi)應有的關(guān)

21、系為：由矢量不變特性，可得下列恒等式：由矢量不變特性，可得下列恒等式：直角坐標直角坐標( (x, y , z) )球坐標球坐標(r, , )圓柱坐標圓柱坐標(r, , z)第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波33 三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。確定。1.2 三種常用的正交曲線坐標系三種常用的正交曲線坐標系 在電磁場與波理論中，在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標系為：三種常用的正交曲線坐標系為：直角坐直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系。標系、圓柱坐標系和球坐標系。 三條正交曲線組成的確定

22、三維空間任意點位置的體系，稱為三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為；三條正交曲線稱為坐標軸坐標軸；描述坐標軸的量稱；描述坐標軸的量稱為為坐標變量坐標變量。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波341.2.2.1 直角坐標系直角坐標系xyzdxdydxezdzeydxdydzdydzexdLo第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波35第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波361.2.2. 園柱坐標系園柱坐標系xyzrddrezdzerdydzdzdzdzedrrdrdr

23、dodL第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波37第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波38圓柱坐標與球坐標之間的轉(zhuǎn)換或第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波391.2.3 球坐標系球坐標系xyzrderedreddrrsindrsindrsindrdrrddrrsindodL第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波40第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波41圓柱坐標與球坐標之間的轉(zhuǎn)換或第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波424. 坐標單位矢量之間的關(guān)系坐標單位

24、矢量之間的關(guān)系 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波43例例1.2.1 求二維場求二維場F(r)=F(x,y)=ex(-y)+ ey(x),求力求力線方程，并定性繪制該矢量場圖形。線方程，并定性繪制該矢量場圖形。解：由力線方程式得：解：由力線方程式得： 兩邊積分得：兩邊積分得：上式為圓方程，上式為圓方程，c2為積分常數(shù)。為積分常數(shù)。 y ey ex x Fig 1.2.1 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波44 若在圓柱坐標系內(nèi)描述矢量場若在圓柱坐標系內(nèi)描述矢量場F(r),則根據(jù)直則根據(jù)直角坐標系和圓柱坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，得：角坐標系和圓柱坐標系

25、的轉(zhuǎn)換關(guān)系，得： F(r，)F(r)=F(x,y)=ex(-y)+ ey(x)第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波451.3 標量場的梯度標量場的梯度q 如果物理量是標量，稱該場為如果物理量是標量，稱該場為標量場標量場。 例如例如：溫度場、電位場、高度場等。：溫度場、電位場、高度場等。q 如果物理量是矢量，稱該場為如果物理量是矢量，稱該場為矢量場矢量場。 例如例如：流速場、重力場、電場、磁場等。：流速場、重力場、電場、磁場等。q 如果場與時間無關(guān)，稱為如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場靜態(tài)場，反之為，反之為時變場時變場。 確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在確定

26、空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區(qū)域上定義了一個該區(qū)域上定義了一個場場。從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標量場和矢量場標量場和矢量場第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波46 標量場的等值面標量場的等值面等值面等值面: : 標量場取得同一數(shù)值的點在空標量場取得同一數(shù)值的點在空 間形成的曲面。間形成的曲面。常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的

27、等值面互不相交。標量場的等值面互不相交。 等值面的特點等值面的特點：意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波472. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)意義意義：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。問題問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波48梯度的表達式梯度的表達式：意義意義：描述標量描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向場在某點

28、的最大變化率及其變化最大的方向第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波49標量場的梯度是矢量場，它在空間某標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：梯度運算的基本公式梯度運算的基本公式：標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）第第1 1章章 矢

29、量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波50 解解 (1)由梯度計算公式，可求得由梯度計算公式，可求得P點的梯度為點的梯度為第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波51表征其方向的單位矢量表征其方向的單位矢量 (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向方向的方向?qū)?shù)為導數(shù)為對于給定的對于給定的P P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波52而該點的梯度值為而該點的梯度值為 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波531.4

30、矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 1. 矢量線矢量線 意義意義：形象直觀地描述了矢量場的形象直觀地描述了矢量場的空間分空間分 布狀態(tài)。布狀態(tài)。概念概念：矢量線是這樣的曲線，其矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向代表了該點上每一點的切線方向代表了該點矢量場的方向。矢量場的方向。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波54力線的微分方程式力線的微分方程式 對于矢量場對于矢量場F(r)，當用，當用一些有向曲線即力線或流線一些有向曲線即力線或流線來表示時，力線上的任意點來表示時，力線上的任意點的切線必與該點的矢量方向的切線必與該點的矢量方向一致一致. 第第1 1章章 矢量分

31、析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波552. 矢量場的通量矢量場的通量 問題問題：如何定量描述矢量場的大??？如何定量描述矢量場的大?。?引入通量的概念。引入通量的概念。 通量的概念通量的概念 如果曲面如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波56通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出有凈的矢有凈的矢量線進入量線進入進入與穿出閉合曲進入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的

32、三種可能結(jié)果矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從閉合曲面的通量從宏觀上宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義通量的物理意義第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波57 為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的稱為矢量場的散度

33、散度。 散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。體積之比的極限。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波58圓柱坐標系圓柱坐標系球坐標系球坐標系直角坐標系直角坐標系散度的表達式散度的表達式：散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波59直角坐標系下散度表達式的推導直角坐標系下散度表達式的推導 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為通量值為 不失一般性，令包圍不失一般性，令包圍P點的微體積點的微體積 V 為一直平行六面體

34、，如為一直平行六面體，如圖所示。則圖所示。則第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波60根據(jù)定義，則得到直角坐標系中的散度根據(jù)定義，則得到直角坐標系中的散度 表達式為表達式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點P 穿出該六面體的凈通量為穿出該六面體的凈通量為第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波614. 散度定理散度定理 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即通量等

35、于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應用。泛的應用。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波62例例1.4.2 已知已知R=ex(x-x)+ey(y-y)+ez(z-z),R=|R|.試試求矢量求矢量D=R/|R|3在在R不為零處的散度。不為零處的散度。解：據(jù)散度的計算公式，有：解：據(jù)散度的計算公式，有：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波631.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度 矢量場的環(huán)

36、流與旋渦源矢量場的環(huán)流與旋渦源 例如：流速場。例如：流速場。 不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。分不為零。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波64 如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即流成正比，即上式建立

37、了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。 磁感應線要磁感應線要么穿過曲面么穿過曲面磁感應線要么同時磁感應線要么同時穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感應線磁感應線第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波65q 如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無無旋場旋場，又稱為，又稱為保守場保守場。環(huán)流的概念環(huán)流的概念 矢量場對于閉合曲線矢量場對于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即的線積分，即q 如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為如果矢量場

38、對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源旋渦源。電流是。電流是磁場的旋渦源。磁場的旋渦源。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波66 矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。矢量場的旋度。 （1）環(huán)流面密度）環(huán)流面密度稱為矢量場在點稱為矢量場在點M 處沿方向處沿方向 的的環(huán)流面密度環(huán)流面密度。n特點特點：其值與

39、點：其值與點M 處的方向處的方向 有關(guān)。有關(guān)。n 過點過點M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為，它的邊界曲線記為C，曲面的法，曲面的法線方向線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法則。當與曲線的繞向成右手螺旋法則。當 S0時，極限時，極限n67z y Az 4 3 2 z 1 Ay x y AZM(x,y,z)我們?nèi)↑c我們?nèi)↑cM(x,y,z)為頂點為頂點,一個一個yz平行的矩形面，其面元平行的矩形面，其面元矢量與矢量與x軸平行，其模用軸平行，其模用sx表示設表示設A=exAx+eyAy+ezAz. 先計算回路先計算回路1,2,3,4的環(huán)流的環(huán)流,則沿回路則沿回路1,2,3,4積分為積分為

40、:第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波68于是于是 同理可得同理可得故得故得概念概念：矢量場在矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流點的環(huán)流 面密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元面密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元 的法線方向，即的法線方向，即物理意義物理意義：旋渦源密度矢量。旋渦源密度矢量。性質(zhì)性質(zhì)：（2）矢量場的旋度）矢量場的旋度第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波69旋度的計算公式旋度的計算公式: : 直角坐標系直角坐標系 圓柱坐標系圓柱坐標系 球坐標系球坐標系第第1 1章章 矢

41、量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波70旋度的性質(zhì)旋度的性質(zhì): 任意矢量的旋度的散度恒為零任意矢量的旋度的散度恒為零 由此可知：由此可知：對于任何一個散度為零的矢量場對于任何一個散度為零的矢量場B B，必然可以，必然可以表示為某個矢量場的旋度表示為某個矢量場的旋度。即。即 ： 磁場的磁場的散度為零，散度為零，則則磁場強度可磁場強度可表為表為某一矢量的旋度某一矢量的旋度. .第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波71梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì):梯度的旋度恒為零梯度的旋度恒為零證明：證明： 如果一個矢量場的旋如果一個矢量場的旋度處處為零，則其可表度處處為零，則其可表為某一標量

42、函數(shù)的梯度。為某一標量函數(shù)的梯度。 靜電場為無旋場，則靜電場為無旋場，則電場強度可表為某一標電場強度可表為某一標量函數(shù)的梯度。量函數(shù)的梯度。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波72旋度的有關(guān)公式旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度矢量場的旋度的散度恒為零的散度恒為零標量場的梯度標量場的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波733. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是閉合曲線定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應用。廣泛的應用。曲

43、面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結(jié)果抵消相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波744. 散度和旋度的區(qū)別散度和旋度的區(qū)別 第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波75例例1.5.1 已知已知R=ex(x-x)+ey(y-y)+ez(z-z),R=|R|.試試求矢量求矢量D=R/|R|3在在R不為零處的旋度。不為零處的旋度。解：據(jù)

44、旋度的計算公式（解：據(jù)旋度的計算公式（1.5.7），有：），有：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波761. 矢量場的源矢量場的源散度源散度源：是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點的散度；場在該點的散度； 旋度源旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）

45、沿此曲面邊界的閉合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點的旋度。（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波772. 矢量場按源的分類矢量場按源的分類（1）無旋場）無旋場僅有散度源而無旋度源的矢量場，僅有散度源而無旋度源的矢量場，0F梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì):梯度的旋度恒為零梯度的旋度恒為零證明：證明：第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波780dClF性質(zhì)性質(zhì)： ，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波79（2）無散場）無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即，即0 F旋度的性質(zhì)旋度的性質(zhì):任意矢量的