高二數(shù)學(xué)平面向量復(fù)習(xí)

1、高二數(shù)學(xué)平面向量復(fù)習(xí)（一）知識(shí)點(diǎn)1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量2向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積

2、的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab3共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.預(yù)習(xí)練習(xí)1.如圖，在OAC中，B為AC的中點(diǎn)，若xy(x，yR)，則xy_.2若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則|_.3D是ABC的邊AB上的中點(diǎn)，若xy，則xy_.4已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則_.例題講解例題一1給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的

3、充要條件是|a|b|且ab；若ab，bc，則ac.其中正確命題的序號(hào)是_2設(shè)a0為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a|a|a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是_例題2設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若12(1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_若條件變?yōu)椋喝?，則_.針對(duì)訓(xùn)練若A，B，C，D是平面內(nèi)任意四點(diǎn)，給出下列式子：；.其中正確的有_個(gè)例題3設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線針對(duì)訓(xùn)練已知a，b不共線，a，b

4、，c，d，e，設(shè)tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由課堂練習(xí)1給出下列命題：兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量?jī)蓚€(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小a0(為實(shí)數(shù))，則必為零，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線其中錯(cuò)誤的命題的有_個(gè)2.如圖，已知a，b，3，用a，b表示，則_.3已知點(diǎn)P在ABC 所在的平面內(nèi)，若2343，則PAB與PBC的面積的比值為_4.如圖，在ABC中，A60°，A的平分線交BC于D，若AB4，且 (R)，則AD的長(zhǎng)為_5在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點(diǎn)，則_(用

5、a，b表示)6設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，216，|，則|_.課后練習(xí)1設(shè)a、b是兩個(gè)非零向量，下列結(jié)論正確的有_(填寫序號(hào))若|ab|a|b|，則ab若ab，則|ab|a|b|若|ab|a|b|，則存在實(shí)數(shù)，使得ba若存在實(shí)數(shù)，使得ba，則|ab|a|b|2設(shè)O是ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且2，則AOB與AOC的面積之比為_3在ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)，且，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_4設(shè)D，P為ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且滿足()，則_.5在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，且3a4b5c0，則abc_.6已知ABC和點(diǎn)M滿足0.若存在實(shí)數(shù)m使得m成立，則m_.7已知

6、a，b是非零向量，且a，b的夾角為，若向量p，則|p|_.8已知D，E，F(xiàn)分別為ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且a，b，給出下列命題：ab；ab；ab；0.其中正確命題的個(gè)數(shù)為_9.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，若m，n，其中m，n(0,1)設(shè)EF的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N.(1)若A，M，N三點(diǎn)共線，求證：mn；(2)若mn1，求|的最小值10.如圖所示，在ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線11A，B，O是平面內(nèi)不共線的三個(gè)定點(diǎn)，且a，b，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q，點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)

7、稱點(diǎn)為R，用a、b表示，則_.12已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量，滿足等式，則四邊形ABCD的形狀為_高二數(shù)學(xué)平面向量復(fù)習(xí)（二）知識(shí)點(diǎn)1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法：若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐

8、標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.abx1y2x2y10.預(yù)習(xí)練習(xí)1若向量a(2,3)，b(x，6)，且ab，則實(shí)數(shù)x_.2已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，則實(shí)數(shù)x的值是_3設(shè)e1、e2是平面內(nèi)一組基向量，且ae12e2，be1e2，則向量e1e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1e2_a_b.例題講解例題一1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量(2,1)，(3,5)，則向量的坐標(biāo)為_2向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示若cab(，R)，則_

9、.3已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n.例題2如圖，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點(diǎn)設(shè)a，b，試用a，b為基底表示向量，.針對(duì)訓(xùn)練如圖，在ABC中，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_例題3平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(2)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù)k；在本例條件下，若d滿足(dc)(ab)，且|dc|，求d.針對(duì)訓(xùn)練已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式

10、；(2)若2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)課堂練習(xí)1若平面向量a，b滿足|ab|1，ab平行于y軸，a(2，1)，則b_.2已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，則等于_3已知向量a(sin ，cos )，b(3，4)，若ab，則tan 2_.4已知點(diǎn)A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0)，給出下面的結(jié)論：直線OC與直線BA平行；2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_5已知兩點(diǎn)A(1,0)，B(1,1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且AOC135°，設(shè)(R)，則的值為_6在ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，則的值為_課后練習(xí)1已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，1)

11、，則與向量同方向的單位向量為_2已知ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且2，rs，則rs的值是_3已知向量a，b(x,1)，其中x>0，若(a2b)(2ab)，則x的值為_4.若，是一組基底，向量xy(x，yR)，則稱(x，y)為向量在基底，下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐標(biāo)為(2,2)，則a在另一組基底m(1,1)，n(1,2)下的坐標(biāo)為_5.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，N是線段OD的中點(diǎn)，AN的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)E，則下列說法錯(cuò)誤的是_(填寫序號(hào))6在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若(4,3)，(1,5)，則_.7P

12、a|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是兩個(gè)向量集合，則PQ等于_8已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是_9已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，kab與a3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？10已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)都共線11如圖，正六邊形ABCDEF中，P是CDE內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)設(shè)(，R)，則的取值范圍是_高二數(shù)學(xué)平面向量復(fù)

13、習(xí)（三）知識(shí)點(diǎn)1平面向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，把數(shù)量|a|b|cos 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.即a·b|a|b|cos ，規(guī)定0·a0.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·bb·a；(2)(a)·b(a·b)a·(b)；(3)(ab)·ca·cb·c.3平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|a|夾角cos cos ab的充要條件a·b0x1x2y1y20|a&#

14、183;b|與|a|b|的關(guān)系|a·b|a|b|x1x2y1y2|預(yù)習(xí)練習(xí)1已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為120°，若向量ae12e2，b4e1，則a·b_.2在菱形ABCD中，AB2，B，3，3，則·_.3已知向量a，b均為非零向量，(a2b)a，(b2a)b，則a，b的夾角為_4已知向量a與b的夾角為60°，且|a|1，|b|2，那么(ab)2的值為_例題講解例題一1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a(1,2)，ab(3,1)，則a·b_.2已知平面向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，若|a|2，|b|3，a·

15、;b6.則的值為_3.如圖，在矩形ABCD中，AB，BC2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若·，則·的值是_4在ABC中，若A120°，·1，則|BC|的最小值是_ 例題二1已知平面向量a，b滿足|a|1，|b|2，a與b的夾角為.以a，b為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對(duì)角線中較短的一條的長(zhǎng)度為_2(1)已知向量a的模為2，向量e為單位向量，e(ae)，則向量a與e的夾角大小為_ (2)設(shè)a，b，c是單位向量，且abc，則向量a，b的夾角等于_3(1)已知向量a(3,2)，b(1,0)，且向量ab與a2b垂直，則實(shí)數(shù)的值為_ (2)在直角三

16、角形ABC中，已知(2,3)，(1，k)，則k的值為_例題三已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0<<<.(1)若|ab|，求證：ab；(2)設(shè)c(0,1)，若abc，求，的值針對(duì)訓(xùn)練已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2)(1)若ab，求tan 的值；(2)若|a|b|,0<<，求的值課堂練習(xí)1已知e1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，ae12e2，bke1e2.若a·b0，則實(shí)數(shù)k的值為_2在ABC中，若··2，則邊AB的長(zhǎng)等于_3已知向量a(2,2)，b(5，k)若|ab|不超過5，則實(shí)數(shù)k的

17、取值范圍是_4在ABC中，已知AB2，BC3，ABC60°，BDAC，D為垂足，則·BC的值為_5若非零向量a，b滿足|a|3|b|a2b|，則a與b夾角的余弦值為_6在ABC中，AB10，AC6，O為BC的垂直平分線上一點(diǎn)，則·_.課后練習(xí)1若e1，e2是兩個(gè)單位向量，ae12e2，b5e14e2，且ab，則e1，e2的夾角為_2在ABC中，若AB1，AC，|，則_.3在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量(2,2)，(4,1)，在x軸上取一點(diǎn)P，使·有最小值，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是_4在直角三角形ABC中，C，AC3，取點(diǎn)D使2，那么·_.5在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則EC·EM的取值范圍是_6已知向量a，b夾角為45°，且|a|1，|2ab|，則|b|_.7已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，則向量的模為_8已知向量與的夾角為120°，且|3，|2.若，且，則實(shí)數(shù)的值為_9已知向量a(cos ，cos(10)，b(sin(10)，sin )，R.(1)求|a|2|b|2的值；(