高等數(shù)學(xué)(2017高教五版)課件對(duì)坐標(biāo)曲面積分(工科類(lèi))

1、第六講 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算四、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算四、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系一、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念（一）預(yù)備知識(shí)（二）引例（三）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義一、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念（一）預(yù)備知識(shí)（二）引例（三）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義曲面的側(cè)通過(guò)曲面上任一點(diǎn)處法向量的指向來(lái)指定例：:( , )zz x yn (,1)xyzzcos0 上側(cè)(, 1)xyzzcos0 下側(cè):( , )xx y zn (1,)y

2、zxxcos0 前側(cè)( 1,)yzxx cos0 后側(cè):( , )yy x zn (,1,)xzyycos0 右側(cè)(, 1,)xzyycos0 左側(cè)oxyzoxyzoxyz有向曲面 規(guī)定了側(cè)的曲面流向平面一側(cè)的流量設(shè)有一面積為A的平面閉區(qū)域單位時(shí)間內(nèi)流向區(qū)域指定側(cè)的流量? ( , )2v n 流體流速為v流向平面一側(cè)的流量設(shè)有一面積為A的平面閉區(qū)域流體流速為v單位時(shí)間內(nèi)流向區(qū)域指定側(cè)的流量Av n ( , )2v n |cos( , )VA vv nAv n vn流向平面一側(cè)的流量設(shè)有一面積為A的平面閉區(qū)域流體流速為v單位時(shí)間內(nèi)流向區(qū)域指定側(cè)的流量Av n ( , )2v n 0|cos( ,

3、 )VA vv nAv n vn流向平面一側(cè)的流量設(shè)有一面積為A的平面閉區(qū)域流體流速為v單位時(shí)間內(nèi)流向區(qū)域指定側(cè)的流量Av n ( , )2v n |cos( , )VA vv n vn|cos( , )VA vv n 流向平面一側(cè)的流量設(shè)有一面積為A的平面閉區(qū)域流體流速為v單位時(shí)間內(nèi)流向區(qū)域指定側(cè)的流量Av n 有向曲面在坐標(biāo)面上的投影vPiQjRk coscoscosnijkAv n coscoscosPAQARA|cos|A A在xoy面上的投影區(qū)域的面積cosA A在xoy面上的投影區(qū)域的面積的代數(shù)值稱(chēng)cosA 為A在xoy面上的投影.分別稱(chēng)cosA 為A在yoz面和zox面上的投影.

4、cosA oxyz上述問(wèn)題中, 設(shè)An流向平面一側(cè)的流量設(shè)有一面積為A的平面閉區(qū)域流體流速為v單位時(shí)間內(nèi)流向區(qū)域指定側(cè)的流量Av n 有向曲面在坐標(biāo)面上的投影oxyzn設(shè)是有向曲面,在上取一小塊曲面,S S 在xoy面上的投影區(qū)域的面積為.)(xy 規(guī)定S 在xoy面上的投影xyS)( 為 xyS)(,)(xy 假定S 上各點(diǎn)處法向量的方向余弦 cos有相同的符號(hào).0cos ,)(xy 0cos 0cos 0S在xOy面上的投影區(qū)域的面積附以一定的正負(fù)號(hào)類(lèi)似可定義zxyzSS)( ,)( S 一、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念（一）預(yù)備知識(shí)（二）引例（三）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義一、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

5、的概念（一）預(yù)備知識(shí)（二）引例（三）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義流向曲面一側(cè)的流量分割:xyiiiizxiiiiyziiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiSRSQSPSRQPSnv)(,()(,()(,(cos),(cos),(cos),(求和:取極限:取近似:流速 kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體,為一有向曲面?12,nSSSoxyz單位時(shí)間流向指定側(cè)的流量( ,)( ,)( ,)iiiiiiiiiivPiQjRk coscoscosiiiinijk)(,()(,()(,(1 nixyiiiizxiiiiyziiiiSRSQSP )(,()

6、(,()(,(lim10 nixyiiiizxiiiiyziiiiSRSQSP ),(kkkin一、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念（一）預(yù)備知識(shí)（二）引例（三）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義一、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念（一）預(yù)備知識(shí)（二）引例（三）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的定義定義( , , )d d ,R x y zx y 其中R(x,y,z)叫做被積函數(shù),叫做積分曲面.即01( , , )d dlim(,)() .niiiixyiR x y zx yRS 設(shè)是光滑的有向曲面,R(x,y,z)在上有界. 把任意分成n小塊Si(Si同時(shí)又表示第i小塊的面積), 小塊曲面直徑的最大值 時(shí),這和的極限總存在,且與曲面是

7、Si上任意取定的一點(diǎn),作乘積(,)iii 在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)x,y的曲面積分,記作Si在xoy面上的投影為() ,ixyS 1 2( ,)()(, , ),iiiixyRSin 并作和 如果當(dāng)各1( ,)() ,niiiixyiRS 0 的分法及點(diǎn) 的取法無(wú)關(guān),那么稱(chēng)此極限為函數(shù)(x,y,z)(,)iii 類(lèi)似可定義函數(shù)(x,y,z)在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)y、z 的曲面積分及函數(shù)Q(x,y,z)在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)x、y 的曲面積分,分別為l注(1)(2)函數(shù)P,Q,R在有向光滑曲面上連續(xù),第二類(lèi)曲面積分存在.01( , , )d d(,)()limniiiiyziP x y zy zPS 應(yīng)用中經(jīng)

8、常出現(xiàn)組合形式的第二類(lèi)曲面積分以上三個(gè)曲面積分也稱(chēng)為第二類(lèi)曲面積分.( , , )d d( , , )d d( , , )d dP x y zy zQ x y zz xR x y zx y通常記為：( , , )d d( , , )d d( , , )d d .P x y zy zQ x y zz xR x y zx y 01( , , )d d(,)()limniiiizxiQ x y zz xQS 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算四、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)三、對(duì)

9、坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算四、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系線(xiàn)性性質(zhì)可加性與側(cè)有關(guān)( , , )d d( , , )d dP x y zy zP x y zy z ( , , )d d( , , )d dQ x y zz xQ x y zz x ( , , )d d( , , )d dR x y zx yR x y zx y 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算四、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算四、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系定理( , , )d d( , , ( , )

10、d dxyDR x y zx yR x y z x yx y 且設(shè)R(x,y,z)在曲面上連續(xù),的方程為z=z(x,y)則曲面積分( , , )d dR x y zx y 存在,在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy,z=z(x,y)在Dxy上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),（為上側(cè)取正號(hào)； 為下側(cè)取負(fù)號(hào)）注(1) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算歸結(jié)為計(jì)算一個(gè)二重積分!(2) 化為二重積分中的三個(gè)變化Dxy R(x,y,z) , , ( , )R x y z x yd dx yd dx y (3) 注意:必須向xoy面投影，Dxy的面積為零時(shí)，曲面積分為零.(4) 口訣:一投、二代、三定號(hào).( , , )d d( , , (

11、, )d dxyDR x y zx yR x y z x yx y （為上側(cè)取正號(hào)； 為下側(cè)取負(fù)號(hào)）其它公式：( , ), ( , ),xzyy x zx zD：( , ), ( , ),yzxx y zy zD( , , )d d( , ( , ), )d dzxDQ x y zz xQ x y x zzz x ( , , )d d( , , ( , )d dxyDR x y zx yR x y z x yx y （為上側(cè)取正號(hào)； 為下側(cè)取負(fù)號(hào)）（為右側(cè)取正號(hào)； 為左側(cè)取負(fù)號(hào)）( , , )d d( ( , ), , )d dyzDP x y zy zP x y zy zy z （為前側(cè)取正

12、號(hào)； 為后側(cè)取負(fù)號(hào)）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分計(jì)算步驟明確的方程化為二重積分確定( , , )d dR x y zx y 一投二代三定號(hào)( , , )R x y z積分曲面 被積函數(shù)( , , ( , )R x y z x y面積元素d dx yDxyd dx y ( , , ( , )d dxyDR x y z x yx y 計(jì)算二重積分( , )zz x y 明確對(duì)坐標(biāo)的曲面積分計(jì)算步驟明確的方程化為二重積分確定( , , )d dR x y zx y ( , , ( , )d dxyDR x y z x yx y 計(jì)算二重積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分解題模板的方程為:xy:求投影!必須有明確:由得:xy

13、取側(cè)必須指明側(cè) !u例1 yxzxzyzyxdddddd222其中是長(zhǎng)方體的整個(gè)表面的外側(cè), 000( , , )|,x y zxaybzc 計(jì)算曲面積分u例2 計(jì)算曲面積分其中 是球面外側(cè)在x0,y0的部分. 2221xyz yxxyzddoxzy12364512oxzyabc對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、坐標(biāo)的曲面積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算四、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念二、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì)三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算四、兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系:( , ), ( , ),x yzz x yx yD取上側(cè)，( , , )d d( , , ( , )d dxyDR x y zx yR x y z x yx y 2211cosxyzz ( , , )cos d( , , ( , )d dxyDR x y zSR x y z x yx y ( , , )cos d( , , )d dR x y zSR x y zx y 若取下側(cè),有同樣結(jié)論( , , )cos d( , , )d dR x y zSR x y zx y類(lèi)似可得( ,