2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽重慶市預(yù)賽-(帶答案解析)

1、2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽重慶市預(yù)賽設(shè)A為三元集合(三個(gè)不同實(shí)數(shù)組成的集合),集合B=x+y|x, yCA, x&,若10g2 6,log2l0,log2l5 ,貝U集合 A=2.函數(shù) f(x)('廠xr-x 3)( j1)的最小值為m,最大值為M,則Mm試卷第1頁，總2頁3 . tan152V2sin15 .rrr.一,r，rr rr4 .已知向量 a,b,C 滿足 |a|：|b|：|c| 1： k：3 k Z ，且b 3 2(C b),右 為r r , 一 a, c的夾角，則cos .,Z1 、，5 .已知復(fù)數(shù)Zi,Z2,Z3使得一為純虛數(shù)，ZiZ21 ,Z|Z2Z31 ,

2、則Z3的最小Z2值是.6 .已知正四面體可容納10個(gè)半徑為1的小球則正四面體棱長的最小值為 .4 r r 47.設(shè)f(x)是定義在(0, +8)上的單調(diào)函數(shù)，對任意 x>0有f(x)> -,f f(x) -3,xx則 f(8)=.22x y8 .已知 ABC為橢圓一1 1的內(nèi)接三角形，且 AB過點(diǎn)P(1, 0),則 ABC的面 94積的最大值為.29 .已知過點(diǎn)P(3, 0)斜率為k的直線l交雙曲線C:x2 1右支于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)3為雙曲線C的右焦點(diǎn)，| AF | | BF |16,求k的值.10.數(shù)列an滿足&3包 6,an2a_u_9 n zan(1)證明：數(shù)列an是正

3、整數(shù)數(shù)列;(2)是否存在 mCZ+,使得2109|am,并說明理由.2019/1y 1 - 30011 .已知 x, y>0, x2019+y=1,求證：x注：可直接應(yīng)用以下結(jié)論：(1) ln x, x 1(x 0)； (2) ln2019 7.610.試卷第 2 頁，總 2 頁本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考參考答案1. 1,log2 3,log25【解析】【分析】【詳解】設(shè) Alog2 a,log 2b,log2 c ，其中 0<a<b<c.則 ab=6, ac=10, bc=15.解得 a=2, b=3 , c=5,從而 A1,log 2310g

4、 2 5故答案為：1,log 2310g 25【解析】【分析】【詳解】設(shè)tX,則 tno且t2 2 2”一7,所以 t J2, 2.f(x) (t 3) t-,令 g(t) 1t2(t 3),t 、.2,2.22令 g' t 0得 t=2, g(V2)金 3, g (2) =2.所以 Mg(t)max2 3,m g(t)min2.所以M 3_2.m 2故答案為：3-.23. 1【解析】【分析】【詳解】答案第10頁，總6頁tan15 2.2sin15sin15 .=2 2sin15cos15sin15 2 sin 30cos15sin15 2 sin 45 15cos151.sin15

5、、2 sin 45 cos15 cos45 sin15cos15故答案為：1.4.1122rL r2c,所以b23124r 24rracac.999r r _ r 因?yàn)閎 a 2(cr -r 1 r b),所以b -a 3144 cos93(2,6).一， r r r 2因?yàn)樯絴 |b |:止| 1: k:3 ,所以k2又因?yàn)閗CZ+,所以k=2,所以cos112- -1故答案為：.125.夜1【解析】【分析】 【詳解】Z1乙 /設(shè) z Z1 Z2 Z3,則 | z| 1 ,由已知一 一0 ,Z2Z2所以 Z1Z2 Z2Z10.2 所Z1。Z1Z2(Z1Z2)Z1Z1Z2Z2Z1Z2Z1Z22

6、 .所以Z1 Z2 乏.所以 Z3 Z| Z2 ZZ| Z2 | Z| J2 1 .當(dāng)Z1 1,Z2 i, z3 垃2 2(1 i)時(shí)，最小值能取到.故答案為：J2 i.6. 4 2褥【解析】【分析】【詳解】當(dāng)正四面體棱長最小時(shí)，設(shè)棱長為a,此時(shí)，一、二、三層分別有 1、3、小球兩兩相切，注意到重心分四面體的高為1: 3,所以正四面體的高h(yuǎn) 4a 342A21，為a 4 2店.故答案為：4 2.,6.77. 一2【解析】【分析】【詳解】由題意知存在 xo>0使f(xo)=3.又因f(x)是(0, +8)上的單調(diào)函數(shù)，所以這樣的4,4c4再由 f f x03 得 Xof X03一，x0x0

7、x0一 L、4. -47解得 4或 xo1(舍).所以f(x)4 一 , f(8)4 -.x8 2故答案為：.2 16.28. 3【解析】【分析】6個(gè)小球，且相鄰xo>O是唯一的,【詳解】x 3Xc C1提示：經(jīng)伸縮變換得A'BC'內(nèi)接于圓X2+Y2=1, A'B'過點(diǎn)P ,0y 2Y3Svabc 6SVABC，設(shè) O'到 A'B'的距離為 t,CC3,AB24T,Svabc，C(1。，易知當(dāng)t 1時(shí)，Svabc有最大值為 還，所以S?bc的最大值為16/2 .393故答案為：16 2 .39. k=±3【解析】【分析】【

8、詳解】設(shè) A X1,y1， B X2,y2 ,則直線 l： y=(x3).離心率 e=2.y k(x 3)一 .2_2_.2_ .2_聯(lián)立 2 y2 得 k 3 x 6k x 9k 3 0.x 13_6k2所以 Xi x2，k 3所以 16 |AF| |BF|2xi 12x2 12 -6k 2.k2 3所以k=±3.10. (1)證明見解析(2)不存在；詳見解析【解析】【分析】【詳解】2一2 一(1)由已知信 a3=15 , 3n3n2 an 19,所以 3n1Hn33n29 .相減得an 3 an 1an 2an 2 anan 1所以二 2 an為常數(shù)數(shù)列. an 1an 2 an

9、a3 a1所以n -3 an ia2所以 an 2 3an - an,又因?yàn)?a-,a2 Z ,所以 an Z n Z又因?yàn)閍n>0,所以an Z n Z .(2)因?yàn)?2109=3X 19X37,假設(shè)有 2109 | am,則 191am.解法一：由 a1 3,a2 6,an 23an 1 an,得 an 3,6,15,1,7,1,15,6,3,3,6, L (mod19).所以 19?an n Z ，所以 19 ?am.2一2一一 i解法二：因?yàn)?amam 2 am 19 ,所以 am19(mod19),由費(fèi)馬小定理得 1=1(mod19),矛盾.所以不存在m Z，使得2109|am,得證.11.證明見解析設(shè) n=2019, f(x)=x+yn, x, y>0,則 f (x) x 1nx , 0M 1.、,1只要證f (x)min1 -，因?yàn)?00f(0)=f (1) =1>1所以只要證明:對滿足f(x)=0x,有 f (x)1300由 f (x) 10 得 xy n此時(shí)，f (x)yn -