初一數(shù)學(xué)奧賽基礎(chǔ)知識講義

1、七年級奧賽數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識講義第二講和絕對值有關(guān)的問題一、絕對值的意義：（1）幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù) a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a| 。（2）代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)； 零的絕對值是零。a （當(dāng)a為正數(shù)）也可以寫成：|a|=1o（當(dāng)a為0 ）-a （當(dāng)a為負(fù)數(shù)）說明：（I） |a| 0即|a|是一個(gè)非負(fù)數(shù)； （n） |a|概念中蘊(yùn)含分類討論思想。二、典型例題例1.（數(shù)形結(jié)合思想）已知 a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：則代數(shù)式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |的值等于（）A. -3a B. 2c -a C. 2

2、a2b D. b ,1.11解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-（a+b）+（c-a）+b-c=-3a卜” 。匚分析：解絕對值的問題時(shí)，往往需要脫去絕對值符號，化成一般的有理數(shù)計(jì)算。脫去絕對值的符號時(shí)， 必須先確定絕對值符號內(nèi)各個(gè)數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義脫去絕對值符號。這道例題運(yùn)用了 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)位置判斷絕對值符號內(nèi)數(shù)的符號，從而去掉絕對值符號，完成化簡。例 2.已知：x00,且 y| | z| x ,那么 x + z|+|y + z - x-y的值（）A.是正數(shù)B.是負(fù)數(shù) C.是零 D.不能確定符號解：

3、由題意，x、v、z在數(shù)軸上的位置如圖所示：所以x + z| +|y +z - x-y二x z -（y z） -（x -y）1二0分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個(gè)看似復(fù)雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了 x、y、z三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數(shù) 軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問題的意識。例3.（分類討論的思想）已知甲數(shù)的絕對值是乙數(shù)絕對值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為 8,求這兩個(gè)數(shù)；若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)呢？分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)”意

4、味著甲乙兩數(shù)符號相反，即一正一負(fù)。那么究竟誰是正數(shù)誰是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問題。解：設(shè)甲數(shù)為x,乙數(shù)為y由題意得：x| = 3 y ,（1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)：若x在原點(diǎn)左側(cè)，y在原點(diǎn)右側(cè)，即 x0,則4y=8 ,所以y=2 ,x= -6若x在原點(diǎn)右側(cè)，y在原點(diǎn)左側(cè)，即 x0 , y0,則-4y=8 ,所以y=-2,x=6 （2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)：若x、y在原點(diǎn)左側(cè)，即 x0, y0, y0,則2y=8,所以y=4,x=12例4.（整體的思想）方程 x2008 =2008 x的解的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.無窮多個(gè)分析：這道

5、題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個(gè)整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程a =-a的解，利用絕對值的代數(shù)意義我們不難得到，負(fù)數(shù)和零的絕對值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負(fù)數(shù)都是方程的 解，即本題的答案為 D。例5.（非負(fù)性）已知|ab 2|與|a1|互為相互數(shù)，試求下式的值.ab a 1 b 1 j (a - 2 b 2+HI+a 2007 b 2007分析：利用絕對值的非負(fù)性，我們可以得到：|ab-2|=|a-1|=0,解得：a=1,b=21111于是+| +ab a 1 b 1 a 2 b 2 a 2007 b 20071111+ +2 2 3 3 42008 2009=11200920081

6、200920082009在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項(xiàng)的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果.同學(xué)們可以再深入思考，如果題目變成求+2008 2010值,你有辦法求解嗎？有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)探究。例6.（距離問題）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)間的距離4與-2,3與5, -2與-6, -4與3.并回答下列各題：（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答:(2)若數(shù)軸上的點(diǎn) A表示的數(shù)為x,點(diǎn)B表示的數(shù)為一1 ,則A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為 | x (1) | =|x十1 .分析：點(diǎn)B表示的數(shù)為一1,所以我們可以在數(shù)軸上找到點(diǎn)B所在的位置。那么點(diǎn) A呢？因?yàn)閤可以表示

7、任意有理數(shù)，所以點(diǎn) A可以位于數(shù)軸上的任意位置。那么，如何求出A與B兩點(diǎn)間的距離呢？結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論。11 ：4 1AK -10- X 0-10 X當(dāng)x-1時(shí)，距離為-x-1,當(dāng)-1x0,距離為x+1綜上，我們得到 A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為x +1(3)結(jié)合數(shù)軸求得 x -2 + x +3的最小值為，取得最小值時(shí)x的取值范圍為 .分析：x -2即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離。x+3|=|x-(T)即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x與-3之間的距離。如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能：LII-32-3 x 2-32 K圖1圖2圖3圖2

8、符合題意(4)滿足x+1 +|x+4 3的x的取值范圍為 分析： 同理x+1表示數(shù)軸上x與-1之間的距離，x+4表示數(shù)軸上x與-4之間的距離。本題即求，當(dāng)x是什么數(shù)時(shí)x與-1之間的距離加上 x與-4之間的距離會大于 3。借助數(shù)軸，我們可以得到正 確答案：x-1。說明：借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題。這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時(shí)可以帶來方便。事實(shí)上，A-B 表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù) A與數(shù)B的點(diǎn)之間的距離。這是一個(gè)很有用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論 并結(jié)合數(shù)軸的知識解決了(3)、(4)這兩道難題。三、小結(jié)1 .理

9、解絕對值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對值的非負(fù)性2 .體會數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用第三講：代數(shù)式的化簡求值問題一、知識鏈接1 . “代數(shù)式”是用運(yùn)算符號把數(shù)字或表示數(shù)字的字母連結(jié)而成的式子。它包括整式、分式、二次根式 等內(nèi)容，是初中階段同學(xué)們應(yīng)該重點(diǎn)掌握的內(nèi)容之一。2 .用具體的數(shù)值代替代數(shù)式中的字母所得的數(shù)值，叫做這個(gè)代數(shù)式的值。注：一般來說，代數(shù)式的值隨著字母的取值的變化而變化3 .求代數(shù)式的值可以讓我們從中體會簡單的數(shù)學(xué)建模的好處，為以后學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等知識打下基礎(chǔ)。二、典型例題例1.若多項(xiàng)式2mx2 _x2+5x+8_（7x2 _3y + 5x的值與x無關(guān)，求 m

10、2 一 2m2 一 5m - 4 m 描直.分析：多項(xiàng)式的值與 x無關(guān)，即含x的項(xiàng)系數(shù)均為零因?yàn)?2mx2 -x2 5x 8 T7x2 -3y 5x = 2m _8 x2 3y 8所以 m=4將 m=4 代人，m2 - 2m2 一 （5m 一4 ）+ m 】=一m2 + 4m - 4 = 一16+16-4 = 一4利用“整體思想”求代數(shù)式的值例2. x=-2時(shí)，代數(shù)式ax5 +bx3 +cx 6的值為8,求當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式ax5 +bx3 +cx6的值。分析：因?yàn)?ax5 +bx3 +cx - 6 =8當(dāng) x=-2 時(shí)，25a23b2c6 =8 得到 25a + 23b + 2c + 6 =

11、 8 ,所以 25a 23b 2c -8-6 =14當(dāng) x=2 時(shí)，ax5 +bx3 +cx-6 = 25a +23b + 2c -6 =（-14） 6 = 20例3.當(dāng)代數(shù)式x2 +3x+5的值為7時(shí)，求代數(shù)式3x2 +9x2的值.分析：觀察兩個(gè)代數(shù)式的系數(shù)由x2+3x+5=7 得x2+3x=2 ，利用方程同解原理，得 3x2+9x = 6整體代人，3x2 9x -2 -4代數(shù)式的求值問題是中考中的熱點(diǎn)問題，它的運(yùn)算技巧、解決問題的方法需要我們靈活掌握，整體代人 的方法就是其中之一。例4.已知a2+a 1 =0,求a3+2a2 +2007的值.分析：解法一（整體代人）：由a2+a-1=0 得

12、a3+a2 -a = 0所以： a3 2a2 2007 322=a a a 20072=a a 2007=1 2007= 2008解法二(降次)：方程作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，還具有降次的功能。由 a2+a1=0,得 a2=1a,32a3 2a2 2007所以：22二a a 2a 2007 2 =(1 -a)a 2a2 20072_2_=a -a 2a 2007=a a2 2007=1 2007二 2008解法三(降次、消元)：a2 +a =1 (消元、減項(xiàng)) 32a 2a 2 00 7=a3 a2 a2 2 0 0 722_= a(a a) a 20072_=a a 2 00 7=

13、 1 2 0 07= 2 008例5.(實(shí)際應(yīng)用)A和B兩家公司都準(zhǔn)備向社會招聘人才，兩家公司招聘條件基本相同，只有工資待遇 有如下差異：A公司，年薪一萬元，每年加工齡工資200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工齡工資50元。從收入的角度考慮，選擇哪家公司有利？分析：分別列出第一年、第二年、第n年的實(shí)際收入(元)第一年：A 公司 10000; B 公司 5000+5050=10050第二年：A 公司 10200; B 公司 5100+5150=10250第 n 年：A 公司 10000+200(n-1);B 公司：5000+100(n-1)+5000+100(n-1)+50=10050+20

14、0(n-1)由上可以看出B公司的年收入永遠(yuǎn)比 A公司多50元，如不細(xì)心考察很可能選錯(cuò)。例6.三個(gè)數(shù)a、b、c的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且x_a b c|a| lb IC.lab . lac . Ibc ab ac bc一. 32貝U ax + bx + cx +1的值是解：因?yàn)閍bc0,所以a、b、c中只有一個(gè)是負(fù)數(shù)。不妨設(shè) a0, c0 則 ab0, ac0 所以 x=-1+1+1-1-1+1=0 同理，當(dāng)b0, c0時(shí),將x=0代入要求的代數(shù)式，得到結(jié)果為x=0 。1。另：觀察代數(shù)式a aab lacl |bc|+ + +,交換a、b、c的位置，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)式不改變,abacbc這樣的代數(shù)式成

15、為輪換式，我們不用對 式有哪些重要的性質(zhì)。a、b、c再討論。有興趣的同學(xué)可以在課下查閱資料，看看輪換規(guī)律探索問題：例7.如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線向依次在射線上寫出數(shù)字 1, 2, 3, 4(1) “17”在射線 上，“2008”在射線 上.OA,5J,OB, OC, OD, OE, OF, 6, 7,.(2)若n為正整數(shù)，則射線 OA上數(shù)字的排列規(guī)律可以用含代數(shù)式表示為分析：OA上排列的數(shù)為：1，7, 13, 19, 觀察得出，這列數(shù)的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多6,歸納得到，這列數(shù)可以表示為6n-5因?yàn)?7=3X6-1 ,所以17在射線OE。從射線OA開始按逆時(shí)針方因?yàn)?2008=334X 6

16、+4=335X 6-2 ,例8.將正奇數(shù)按下表排成 5列：所以2008在射線OD上A列第二列第一行13第二行151311第三行1719第四行312927根據(jù)上面規(guī)律，2007應(yīng)在A. 125 行,3 列B.125 彳5,292125第三列7第四列第五列23C. 251 行,2 列D. 251 行,5 列分析：觀察第二、三、四列的數(shù)的排列規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第三列數(shù)規(guī)律容易尋找第三列數(shù)： 3, 11, 19, 27, 規(guī)律為8n-5因?yàn)?2007=250 X 8+7=251 X 8-1所以，2007應(yīng)該出現(xiàn)在第一列或第五列又因?yàn)榈?51行的排列規(guī)律是奇數(shù)行，數(shù)是從第二列開始從小到大排列，所以2007應(yīng)該在

17、第251行第5列例9. (2006年嘉興市)定義一種對正整數(shù)n的“F”運(yùn)算：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n+ 5;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，衛(wèi)果為2k(其中k是使2為奇數(shù)的正整數(shù))，并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行.例如，取 n=26,則:F第一次F第二次F第三次若n=449,則第449次“ F運(yùn)算”的結(jié)果是n分析：問題的難點(diǎn)和解題關(guān)鍵是真正理解“F”的第二種運(yùn)算，即當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為 初（其中k是n使2為奇數(shù)的正整數(shù)），要使所得的商為奇數(shù)，這個(gè)運(yùn)算才能結(jié)束。449奇數(shù)，經(jīng)過“ F”變?yōu)?352; 1352是偶數(shù)，經(jīng)過“ F”變?yōu)?69,169是奇數(shù)，經(jīng)過“ F”變?yōu)?12, 512是偶數(shù)，經(jīng)過“ F”變?yōu)?,1是奇數(shù)，經(jīng)

18、過“ F”變?yōu)?, 8是偶數(shù)，經(jīng)過“ F”變?yōu)?,我們發(fā)現(xiàn)之后的規(guī)律了，經(jīng)過多次運(yùn)算，它的結(jié)果將出現(xiàn)1、8的交替循環(huán)。再看運(yùn)算的次數(shù)是 449,奇數(shù)次。因?yàn)榈谒拇芜\(yùn)算后都是奇數(shù)次運(yùn)算得到8,偶數(shù)次運(yùn)算得到1,所以，結(jié)果是8。三、小結(jié)用字母代數(shù)實(shí)現(xiàn)了我們對數(shù)認(rèn)識的又一次飛躍。希望同學(xué)們能體會用字母代替數(shù)后思維的擴(kuò)展，體會一些簡單的數(shù)學(xué)模型。體會由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。第四講：與一元一次方程有關(guān)的問題一、知識回顧一元一次方程是我們認(rèn)識的第一種方程，使我們學(xué)會用代數(shù)解法解決一些用算術(shù)解法不容易解決的 問題。一元一次方程是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它既是對前面所學(xué)知識一一有理數(shù)部分的鞏固和深

19、化，又 為以后的一元二次方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。典型例題：、典型例題例1.若關(guān)于x的一元一次方程2x- +-3k =1的解是x=-1 ,則k的值是（）32A. 2 B . 1 C . - 13 D .0711分析：本題考查基本概念“方程的解”因?yàn)閤=-1是關(guān)于x的一元一次方程 ”主+紀(jì)3-4的解 322 （-1） -k -1 - 3k13所以一-1 十= 1 ,解得k=- 一3211例2.若方程3x-5=4和方程1 3a= =0的解相同，則a的值為多少？3分析：題中出現(xiàn)了兩個(gè)方程，第一個(gè)方程中只有一個(gè)未知數(shù)x,所以可以解這個(gè)方程求得x的值；第二個(gè)方程中有a與x兩個(gè)未知數(shù)，所以在

20、沒有其他條件的情況下，根本沒有辦法求得a與x的值，因此必須分析清楚題中的條件。因?yàn)閮蓚€(gè)方程的解相同，所以可以把第一個(gè)方程中解得x代入第二個(gè)方程，第二個(gè)方程也就轉(zhuǎn)化為一元一次方程了。解：3x-5=4 , 3x=9 , x=3因?yàn)?x-5=4與方程1 3a二x =0的解相同33a -x所以把x=3代人1 3a一 = 0中3一 3a -3即 1 _ _ =0 得 3-3a+3=0 , -3a=-6 , a=23例3.（方程與代數(shù)式聯(lián)系）a、b、c、d為實(shí)數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算=ad -bc.(1)則12-1 2的值為c2(1 x-x)=18 時(shí),分析：（1）即a=1b=2, c=-1 , d=2,因

21、為(2)由(1 _x)=ad -bc，所以12-1 2=2- (-2) =4=18 得：10-4 (1-x) =18所以 10-4+4x=18 ,解得 x=3例4.（方程的思想）如圖，一個(gè)瓶身為圓柱體的玻璃瓶內(nèi)裝有高 水水面高為h厘米，則瓶內(nèi)的墨水的體積約占玻璃瓶容積的（a厘米的墨水，將瓶蓋蓋好后倒置，墨）不考慮瓶子的厚度.。時(shí)，即 x ,5x-2=3 ,5x=5 , x=15因?yàn)閤=1符合大前提x -,所以此時(shí)方程的解是x=15當(dāng)5x-2=0時(shí)，即x= 2 , 得到矛盾等式。=3,所以此時(shí)方程無解5當(dāng) 5x-20 時(shí)，即 x 2 ,5x-2= -3 , x=-551 、一因?yàn)閤=-符合大前提

22、52 ，、x 2 ,所以此時(shí)方程的解是51x二 一一5、一，八.1綜上，方程的解為x=1或x= _一5注：求出x的值后應(yīng)注意檢驗(yàn)x是否符合條件解法2:（整體思想）聯(lián)想：a =3時(shí)，a=3類比：5x -2 = 3,則 5x-2=3 或 5x-2=-31解兩個(gè)一兀一次方程，方程的解為 x=1或x=15一 、巾2 x-1 -5例10. 解萬程 =13解：去分母 2| x-1|-5=3移項(xiàng) 2| x-1|=8| x-1|=4所以 x-1=4 或 x-1=-4解得x=5或x=-3例11.解方程 x -1 =一20 時(shí)，即 x1 , x-1=-2x+1 , 3x=2, x=3因?yàn)閤= 2不符合大前提x1

23、,所以此時(shí)方程無解3當(dāng)x-1=0時(shí)，即x=1 , 0=-2+1 , 0 =-1 ,此時(shí)方程無解當(dāng) x-10 時(shí)，即 x1, 1-x=-2x+1 , x=0因?yàn)閤=0符合大前提xZ 2,則/ 2的余角是()A. 1(/ 1+/ 2)B. 1/ 1C. 1(/ 1-/ 2) D. 1Z22222分析：因?yàn)? 1 + Z 2=180 ,所以 1 (/ 1 + Z 2) =90290。-Z 2= 1 (/ 1+/ 2) -7 2= 1 (/ 1 / 2)第七講：相交線與平行線一、知識框架、典型例題AB1.下列說法正確的有()對頂角相等；相等的角是對頂角；若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對頂角若兩個(gè)角

24、不是對頂角，則這兩個(gè)角不相等.A.1個(gè) B.2 個(gè) C.3 個(gè) D.42.如圖所示，下列說法不正確的是（）A.點(diǎn)B到AC的垂線段是線段 AB; B.點(diǎn)C到AB的垂線段是線段 ACC.線段AD是點(diǎn)D到BC的垂線段；D.線段BD是點(diǎn)B到AD的垂線段3.下列說法正確的有（）在平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線在平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線在平面內(nèi)，過一點(diǎn)可以任意畫一條直線垂直于已知直線在平面內(nèi)，有且只有一條直線垂直于已知直線A.1 個(gè) B.2 個(gè) C.3 個(gè) D.4 個(gè)4. 一學(xué)員駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同,這兩次拐彎的角度可能是（第二次向

25、左拐130A.第一次向左拐30第二次向右拐30 B. 第一次向右拐50C.第一次向右拐50第二次向右拐第二次向左拐50130D.第一次向左拐1304E交于M點(diǎn)，圖中電現(xiàn)丹L對對頂角，若n條直線相交呢?8.如圖,直線 11、12、13,23的大小關(guān)系是答案:3: / 1=8:1,求/ 4的度數(shù).（方程思想）11.如圖所示,已知AB/ CD,分別探索下列四個(gè)圖形中/P與/ A, / C的關(guān)系，？請你從所得的四個(gè)關(guān)系中任選一個(gè)加以說明(1)分析：過點(diǎn)P作PE/AB/ APE+ / A+ / C=360(2) / P=/A+ ZC(3) / P=ZC-Z A,(4) / P=/A- / C12.如圖，

26、若 AB/EF , 分析：如圖，添加輔助線證出：x+y-z=90/ C= 90 ,求 x+y-z 度數(shù)。13.已知：如圖， NBAP +NAPD =180 ：/1 =2求證：. E = F分析：法一法二：由 AB/CD 證明 / PAB= APC ,所以.EAP= . APF所以AE/FP所以. E =. F第八講：與三角形有關(guān)的線段一、相關(guān)知識點(diǎn)1 .三角形的邊三角形三邊定理：三角形兩邊之和大于第三邊即： ABC中，a+bc,b+ca,c+ab （兩點(diǎn)之間線段最短）由上式可變形得至U：ac b, ba c, cb a即有：三角形的兩邊之差小于第三邊2 .高由三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直

27、線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。3 .中線：連接三角形的頂點(diǎn)和它對邊的中點(diǎn)的線段，稱為三角形的中線4 .角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的角平分線與這個(gè)角對邊的交點(diǎn)和這個(gè)角的頂點(diǎn)之間線段稱為三角形的角平分線二、典型例題（一）三邊關(guān)系1 .已知三角形三邊分別為2,a-1,4,那么a的取值范圍是（）A.1a5 B.2a6C.3a7D.4a68m和5m的木棒。如果要求第三根木棒的長度是整數(shù)2 .小穎要制作一個(gè)三角形木架，現(xiàn)有兩根長度為 小穎有幾種選法？可以是多少？分析：設(shè)第三根木棒的長度為x,則 3Vx （AB+AC ）2分析：因?yàn)?BD+ADAB、CD+ADAC所以 BD+AD+ CD+AD

28、AB+AC因?yàn)锳D是BC邊上的中線，BD=CD所以 AD+BD 1 （AB+AC ）2（二）三角形的高、中線與角平分線問題：（1）觀察圖形，指出圖中出現(xiàn)了哪些高線?（2）圖中存在哪些相等角? 注意基本圖形：雙垂直圖形4 .如圖，在直角三角形 ABC中，ACWAB, AD是斜邊上的高， DEAC, DFXAB , 垂足分別為E、F,則圖中與/ C （/ C除外）相等的角的個(gè)數(shù)是（）A . 5分析：B. 4 C. 3 D. 25 .如圖，/ ABC 中，/ A = 40 , / B = 72 , CE 平分/ ACB , DFXCE,求/ CDF的度數(shù)。分析：/ CED=40 +34 =74所以/

29、 CDF=74 6 . 一塊三角形優(yōu)良品種試驗(yàn)田，現(xiàn)引進(jìn)四種不同的種子進(jìn)行對比試驗(yàn)，需要將這塊地分成面積相等的四塊，請你設(shè)計(jì)出四種劃分方案供選擇，畫圖說明。A7 .力ABC中，/ ABC、/ ACB的平分線相交于點(diǎn) O。(1)若/ ABC = 40 , / ACB = 50 ，則/ BOC = (2)若/ ABC + / ACB =116 ,則/ BOC =。(3)若/ A = 76 ,則/ BOC =。(4)若/ BOC = 120 ，則/ A = 。(5)你能找出/ A與/BOC之間的數(shù)量關(guān)系嗎？A8 .已知：BE, CE分別為 4ABC 的外角 / MBC, / NCB的角平分線， 求：

30、/E與/ A的關(guān)系分析：/ E=90 -1 Z A29 .已知：BF為/ ABC的角平分線,CF為外角/ ACG的角平分線 求：Z F與Z A的關(guān)系分析:Z F= 1 Z A2思考題：如圖：/ ABC與/ ACG的平分線交于 F1; / F1BC與/ F1CG的平分線交于 F2;如此下去,/F2BC與/ F2CG的平分線交于 F3;探究/ Fn與/ A的關(guān)系（n為自然數(shù)）F1第九講：與三角形有關(guān)的角一、相關(guān)定理180（一）三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為（二）三角形的外角性質(zhì)定理：1 .三角形的任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和2 .三角形的任意一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角（三）

31、多邊形內(nèi)角和定理： n邊形的內(nèi)角和為（n2）x1800二、典型例題問題1:如何證明三角形的內(nèi)角和為EAF;BC1 .如圖，在 ABC中，/ B=Z C, /分析：/ CDEh ADC-/ 2/ 1 = /B+40 - Z2/ 1 = ZB+40 - (/ 1 + /C)2 / 1=40/ 1=202.如圖：在 ABC 中，/ C/B,180 ?Aa:Ak 乙 1-_4 B D C B/ OCMFBAD=40 ,且 / ADEh AED,求/ CDEW度數(shù).B 口 /ADL BC于 D, AE 平分/ BAC多邊形外角和定理：多邊形的外角和為360，1求證：/ EAD= 1 （/ C / B）

32、23.已知：CE是4ABC外角/ ACD勺角平分線，求證：/ BAC豆BE分析：BC DBE D CCE交BA于EFABC D問題2：如何證明n邊形的內(nèi)角和為（n2）父180。4.多邊形內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和是1350。，求多邊形的邊數(shù)。4中的步驟行走，那么該機(jī)器人所走的5.科技館為某機(jī)器人編制一段程序，如果機(jī)器人在平地上按照圖總路程為()A. 6米 B. 8米C. 12米 D.不能確定第十講：二元一次方程組一、相關(guān)知識點(diǎn)1、二元一次方程的定義：經(jīng)過整理以后，方程只有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1,系數(shù)都不為0,這樣的整式方程稱為二元一次方程。2、二元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)式：ax+by+c =

33、 0 (a#0,b#0)3、一元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對x和y的值，叫做這個(gè)方程的一個(gè)解。4、二元一次方程組的定義：方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程都是一次方程，這樣的方程組稱為二元一次方程組。5、二元一次方程組的解：使二元一次方程組的二個(gè)方程左右兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。二、典型例題1 .下列方程組中，不是二元一次方程組的是（a. ?=i, B,卜+y=1，c, j+y=1,D. y，2 =3.x -y =0.xy =0.c )iy =x, x -2y -1.jx+2y -5 =0，的解?2x 3y5 =0小明的解答過程是：將x=

34、3, y =1代入方程x+2y 5=0 ,等式成立.所以1x=3是方程組 y=1卜+2y _5=0,的解2x 3y -5 =0小穎的解答過程是：將x=3, y =1分別代入方程x + 2y 5= 0和2x + 3y5 = 0中，得x = 3, x+2y5=0, 2x+3y 5。0 .所以 y =1x 2y - 5 = 0,不是方程組x y 的解.2x 3y-5 = 0你認(rèn)為上面的解答過程哪個(gè)對？為什么？3.若下列三個(gè)二元一次方程：3x-y=7 ; 2x+3y=1 ; y=kx-9有公共解,那么k的取值應(yīng)是（B ）A、 k=-4 B 、 k=4 C、k=-3 D 、k=3分析：利用方程 3x-y=7和2x+3y=1組成方程組，求出x、y,再代入y=kx-9求出k值。3x-y=7 2x+3y=1 得:y - 12 .有這樣一道題目：判斷 廣=3是否是方程組 y =1x = 2代入 y=kx-9 , k=4 = 一16m -3n 1=04 .解方程組V3m 2n -10 =0方法一：（代入消元法）解：由（2）,得 n J m2把（3）代入（4m 二 一3n =34一人把m = 一代入（3）,得n