高一數(shù)學(xué)教案：線段的定比分點(diǎn)

1、高一數(shù)學(xué)教案：線段的定比分點(diǎn)課題：依位的定砧分立教學(xué)目的：1 .把握線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式；2 .熟練運(yùn)用線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式；3 .明白得點(diǎn)尸分有向線段而所成比4的含義；4 .明確點(diǎn)尸的位置及4范疇的關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)：線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：用線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式解題時(shí)區(qū)分八0依舊人0授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1 .向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.向量加法的三角形法那么和平行四邊形法那么.2 .向量加法的交換律：a+b=b+a3 .向量加法的結(jié)合律：(a+b)+c

2、 = a + (b+c)4 .向量的減法向量a加上的6相反向量，叫做a與b 的差即:a -b = a + (-b)5 .差向量的意義：OA = a, 麗=瓦 那么區(qū)4 = a b即a-b能夠表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量o的終點(diǎn)的向量.6 .實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)人與向量力的積是一個(gè)向量，記作：,'不(1) | X «| = | X |«|；(2)40時(shí)人口與。方向相同：人0時(shí)' 2與1方向相反：X=0時(shí)入«=67 .運(yùn)算定律 人似不)=( ' 四)7 ,(人+n)%=入 , X(6/+Z? )= X J + X /?8 .向量共線定理 向量B

3、與非零向量Z共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)、，使b = X H.9 .平而向量差不多定理：假如力是同一平而內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么關(guān)于這一平面內(nèi)的任一向量不，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)3，卜：使1=3.+入二62(1)我們把不共線向量e I、e 2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;基底不惟一，關(guān)鍵是不共線：(3)由定理可將任一向量a在給出基底e ,、e 2的條件下進(jìn)行分解;基底給定時(shí)，分解形式惟一.3, 3是被7,修，的唯獨(dú)確定的數(shù)量 1工10 .平面向量的坐標(biāo)表示分不取與X軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量八，作為基底.任作一個(gè)向量。，由平而向 量差不多定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使得 =

4、* +田把(x,y)叫做向量”的(直角)坐標(biāo)，記作a = *;y) 其中x叫做u在x軸上的坐標(biāo)，y叫做u在y軸上的坐 標(biāo)，專門地,z = (1,0), ; = (0,1). 0 = (0,0).11 .平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算假設(shè)a = ($,%), b = (x2,y2), 那么a + = (Xj +x2,yt + y2), a-b = (x, -x2,yl -y2) , Aa = (Ax,Ay).假設(shè)A(X，X), B(x2,y2),那么A3 =(X2-否，乃一M)12 . a / b (/? =6 )的充要條件是 xiy2-x2yi=0二、講解新課：1 .線段的定比分點(diǎn)及人P1,P2是直線/上

5、的兩點(diǎn)，P是/上不同于P1,P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)人，使 麻=人 方，人叫做點(diǎn)P分而所成的比，有三種情形：-Pj piJ -' >0(內(nèi)分) (外分)X <0 ( X <-1) (外分)入 <0 (-K X <0)2 .定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：假設(shè)點(diǎn), P 2 D, 4為實(shí)數(shù)，且4下=/1由，那么點(diǎn)尸的坐標(biāo)為14(一"勒,我們稱共為點(diǎn)尸分麗所成的比.1+21+2廠 設(shè)至二人麗 點(diǎn)九P, P2坐標(biāo)為區(qū)1) (x,y)的以2)，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算P=(x-xuy-y1) , PP2 =( x2-x, y2-y)： PP二 x PPl - (x-x1,y-y1

6、) = X ( x2-xz y2-y)%）+ Zv2.1'2 => 上，定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式(4。T)ly),1=”力7)21111 + 2點(diǎn)尸分函所成的比與點(diǎn)?分質(zhì)所成的比是兩個(gè)不同的比，要注意方向.3 .點(diǎn)尸的位置與人的范疇的關(guān)系：當(dāng)八>0時(shí)，麻與麗同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)尸為雨的內(nèi)分點(diǎn).專門地，當(dāng)兒=1時(shí)，有庭=而，即點(diǎn)尸是線段9I尸2之中點(diǎn)，其坐標(biāo)為當(dāng)IVO (XW1)時(shí)，而與巫反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)尸為胭的外分點(diǎn).探究：假設(shè)巴、巳是直線/上的兩點(diǎn)，點(diǎn)戶是/上不同于H、尸2的任意一點(diǎn)，那么存在一個(gè)實(shí)數(shù)4,使耳下=人而，人叫做產(chǎn)分有向線段耳耳所成的比.而且，當(dāng)點(diǎn)尸在線段巴尸2上時(shí)，

7、4>0：當(dāng)點(diǎn)尸在線段P尸2或2 a的延長線上時(shí), 4 Vo.關(guān)于上述內(nèi)容，逆過來是否還成立呢？(1)假設(shè)4>0,那么點(diǎn)尸為線段尸I22的內(nèi)分點(diǎn)；(2)假設(shè)4V0,那么點(diǎn)尸為線段2 3的外分點(diǎn).一樣來講，(1)是正確的，而(2)卻不一定正確,這是因?yàn)椋?dāng)久=一1時(shí)，定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式X= 上上上乜和"=主2明顯都無意義，也確實(shí)是講，當(dāng)人=一1時(shí)，定比 1 + A1 + A分點(diǎn)不存在.由此可見，當(dāng)點(diǎn)尸為線段尸I尸2的外分點(diǎn)時(shí)，應(yīng)有八(0且共工一1.4 線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0，設(shè)函=8, 函=6,由于和=而一麗=而a, PR=OP,-OP = b-O

8、P 1 1且有強(qiáng)=4恒，因此麗-后"卜麗).即可得77X ci + Ab1 A .OP =a +b.1 + A 1 + 21 + A這一結(jié)論在幾何咨詢題的證明過程中應(yīng)注意應(yīng)用.三、講解范例： 例1月(1, 3),夙一 2, 0), C 2, 1 為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，£、叢N分不是6G CA.oW5上的點(diǎn)，滿足 BL : BC=CM CA=NA : AB= 1 ： 3 ,求 £、M N三點(diǎn)的坐標(biāo).分析：所給線段長度的比，實(shí)為相應(yīng)向量模的比，故可轉(zhuǎn)換所給比值為點(diǎn)八M N分向量左、CA,而所成的比，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式求三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).另外，要求八M N的坐標(biāo)，即求詼、OM

9、 , 而的坐標(biāo)(那個(gè)地點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)), 為此，我們可借用定比分點(diǎn)的向量形式.下面給出第二種解法.解：?! ( 1 , 3 ) , H ( 2 , 0 ) , C ( 2 , 1 ),：.OA= ( 1 , 3), OB = (- 2 t 0), OC = (2, 1 )又: BL ： BC= CM： CA = AN： Z 1 ： 3，可得：£分而，0分 k, N分而所成的比均為4=21 1 122A OL =OC + OB =-(2, 1 )+-(-2, 0)=(-1 + A 1 + 23332(1,3)+ - 3.1.212ON =OB + OA=- (- 2,0)十二(1, 3

10、) = (0, 2) 1 + A 1 + 2332 15 5: L ( , J、M 9 )、N 0 , 2 )為所求3 33 3上述兩種解題思路，各有特色，各有側(cè)重，望同學(xué)們比較選擇，靈活應(yīng)用.例2三點(diǎn)加0, 8),夙一 4, 0), C(5, 3), 點(diǎn)內(nèi)分入后 的比為1 : 3,萬點(diǎn)在比邊上，且使區(qū)應(yīng)的面積是居'面積 的一半，求班中點(diǎn)的坐標(biāo).分析：要求正中點(diǎn)的坐標(biāo)，只要求得點(diǎn)久£的坐標(biāo)即可, 又由于點(diǎn)上在左上，9與月6。有公共頂點(diǎn)5因此它們的 面積表達(dá)式選定一公用角可建立比例關(guān)系求解.一一 1 一 一 n 4 解：由有AD = DB ,那么得-；q-= 3ab 3S11,

11、又 = ,j|j Sabde=IDBI IBEI sin/DBE,S27Saasc=- AB | BC | sinZABC,且NDBE=NABC 2網(wǎng).網(wǎng)23此胃二2一3三成比一由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式有4+2x5 合=2八 丁，即 E (2, -2),0 + 2 x (-3)=-21 + 2又由0 + 1x(-4)1 + - 3A=61 + -3記線段區(qū)的中點(diǎn)為亞（禺y）,那么2 + (-1) _1221。， ，即M (一, 2)為所求.一2+6 個(gè)2y = 2，2四、課堂練習(xí):L 點(diǎn) 4( - 2, - 3),點(diǎn)8 (4, 1 ),延長四至 IJR 使 I AP I=3 |萬 ,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).解

12、：因?yàn)辄c(diǎn)尸在四上的延長線上，尸為赤的外分點(diǎn)，因此，ap = apb9/VO,又依照 I AP I=3 | P8 I ,可知，1 = -3,由分點(diǎn)坐標(biāo)公式易得尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（7, 3）.2.兩點(diǎn)8（3, 2）,尸？8, 3）,求點(diǎn)尸（；，）分質(zhì)所成的比4及F的值.解：由線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得1 _ 3+ 2(-8)2 C，解得，2 + 2x3y =1 + 22 = A1749 v =22五、小結(jié)六、課后作業(yè):1.點(diǎn)月分有向線段8c的比為2,那么在以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）兒點(diǎn)。分布的比是及點(diǎn)。分茄的比是-33*2,C.點(diǎn)。分AC的比是- -D.點(diǎn)月分C8的比是2372.兩點(diǎn)P (1, 一6)、尸

13、2 (3, 0),點(diǎn)尸(一一，y)分有向線段片場所成的比為3-3那么兒y的值為()A4 > 8R 9 8 G - > 8D.4 , 144483 .上的兩個(gè)頂點(diǎn)月(3, 7)和鳳-2, 5),假設(shè)47的中點(diǎn)在x軸上，6。的中點(diǎn)在p軸上， 那么頂點(diǎn)。的坐標(biāo)是()%(2, -7)A(一7, 2)C.(-3, -5)D.(-5, -3)4 .點(diǎn)A(x, 2), 5(5,1),。(-4, 2x)在同一條直線上，那么看.5 .血的頂點(diǎn)3(2, 3), 6(-4, -2)和重心G(2, -1),那么。點(diǎn)坐標(biāo)為 6/為41的 邊月6上的一點(diǎn)，且S"°=一 Satsc,那么“分48所成的比為.87 .點(diǎn)月(-1,-4)、鳳5, 2),線段四上的三等分點(diǎn)依次為P、尸2,求尸、尸2點(diǎn)的坐標(biāo)以及乩 5分和所成的比L228 .過P (1, 3)、a (7, 2)的直線與一次函數(shù) )，=三穴+二的圖象交于點(diǎn)尸，求產(chǎn)分版所成的