歸納中點(diǎn)坐標(biāo)法解決二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題.doc

1、專業(yè)課件課件另辟蹊徑解決二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題以二次函數(shù)為載體的平行四邊形存在性問題是近年來中考的熱點(diǎn)，其圖形復(fù)雜，知識(shí)覆蓋面廣，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題的能力要求高.對(duì)這類題，常規(guī)解法是先畫出平行四邊形，再依據(jù)“平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等”或“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”來解決.由于先要畫出草圖，若考慮不周，很容易漏解.為此，筆者另辟蹊徑，借 助探究平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來解決這一類題.1 兩個(gè)結(jié)論，解題的切入點(diǎn)數(shù)學(xué)課標(biāo)，現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材中沒有線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，也沒有平行四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，我們可幫助學(xué)生來探究，這可作為解題的切入點(diǎn)。1.1 線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式平面直

2、角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A坐標(biāo)為(xi,yi),點(diǎn)B坐標(biāo)為(x2, y2),則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為( xix2 yi y2 )2,2證明：如圖1,設(shè)AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xp,yp).由xp-xi=x2-xp,得xp= x1 2 X2 ,同理江上，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(漢J2,工).；卜;22 2 ,心1.2平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式圖1 ABCD 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(xa, yA)、B( xb, yB)、C( xc, yc)、D(xd, yD),則:xa+xc=xb+xd； yA+yc=y B+yD.證明： 如圖2,連接AC、BD,才|點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，E 點(diǎn)坐標(biāo)為(xA xc , yA yc ).

3、22又點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，xB xD y B yD 、-E點(diǎn)坐標(biāo)為(,).22. xa+xc=x b+xd ; yA+yc=yB+yD. 即平行四邊形對(duì)角線兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱可 2 一個(gè)基本事實(shí)，解題的預(yù)備知識(shí)如圖3,已知不在同一直線上的三點(diǎn) A、B、C,在平面內(nèi)另找一個(gè)點(diǎn) D,使以A、B、C、 D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.答案有三種：以 AB為對(duì)角線的口ACBD1,以AC為對(duì)角 線的DABCDz,以BC為對(duì)角線的DABD3C.3 兩類存在性問題解題策略例析與反思3.1 三個(gè)定點(diǎn)、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性問題1.例1已知拋物線y=x2-2x+a(av 0)與y軸相交于點(diǎn) A,頂點(diǎn)為M.

4、直線y= ; x-a分別與x軸、y軸相交于B、C兩點(diǎn)，并且與直線 AM相交于點(diǎn)N.(1)填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn) M與N的坐標(biāo)，則M( ), N();(2)如圖4,將 NAC沿y軸翻折，若點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N'恰好落在拋物線上，AN'與x 軸交于點(diǎn)D,連接CD,求a的值和四邊形 ADCN的面積；(3)在拋物線y=x2-2x+a(a<0)上是否存在一點(diǎn) P,使得以P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊 形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.解：(1)M(1,a-1), N( 4a,-1a); (2)a=- ； S 四邊形 ADCN = 189 ；33416(

5、3)由已知條件易得A( 0, a)、C(0, -a)、N( f a , 3當(dāng)以AC為對(duì)角線時(shí),由平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式1-_ a).設(shè) P(m, m2-2m+a). 3(解題時(shí)熟練推導(dǎo)出)4a m312-a m 2m352158Pi(|，-5)；28當(dāng)以AN為對(duì)角線時(shí),4 -a31-a3一 2a m 2m52 (不合題意,158當(dāng)以CN為對(duì)角線時(shí),0 -a31 a a3一 2a m 2m1238P2(-P78).，在拋物線上存在點(diǎn) P/ 5 , - 5 )和28P2(-r8),使得以P、A、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.運(yùn)用平行四邊形頂點(diǎn)反思：已知三個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)， 可設(shè)出拋物線上第四個(gè)頂點(diǎn)

6、的坐標(biāo),坐標(biāo)公式列方程(組)求解.這種題型由于三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段中哪條為對(duì)角線不清楚, 往往要以這三條線段分別為對(duì)角線分類，分三種情況討論3.2兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形存在性問題例2如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 A(-1, 0), B(3,0), C(0(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn) Q、P、A、B為 頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件點(diǎn)P的坐標(biāo).解：(1)易求拋物線的表達(dá)式為y=1x2 -x 1;33(2)由題意知點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為(0, t);點(diǎn)P在拋物線上, 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m, 1 m2 -m 1).33盡管點(diǎn)Q在

7、y軸上，也是個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但可理解成一個(gè)定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動(dòng)了.當(dāng)以AQ為對(duì)角線時(shí)，由四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)公式得：-1+0 = 3+m,，m=-4,，Pi(-4, 7);當(dāng)以 BQ 為對(duì)角線時(shí)，得：-1+m= 3+0,m=4,P2(4, 5)；3當(dāng)以 AB 為對(duì)角線時(shí)，得：-1+3=m+ 0,m=2,P3(2,-1).綜上，滿足條件的點(diǎn) P為Pi(-4,7)、P2(4,勺)、P3(2,-1).3反思：這種題型往往特殊，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在 x軸(y軸)或?qū)ΨQ軸 或某一定直線上.設(shè)出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)若在x軸上，縱坐標(biāo)為0,則用平行四邊形頂點(diǎn)縱坐標(biāo)公式；若在y軸上，橫坐標(biāo)為0

8、,則用平行四邊形頂點(diǎn)橫坐標(biāo)公式.該動(dòng)點(diǎn)哪個(gè)坐標(biāo)已知就用與該坐標(biāo)有關(guān)的公式.本例中點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)t沒有用上，可以不設(shè).另外，把在定直線上的動(dòng)點(diǎn)看成一個(gè)定點(diǎn)，這樣就轉(zhuǎn)化為三定一動(dòng)了，分別以三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的三條線段為對(duì)角線分類，分三種情況討論.例3如圖6,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A(-4,0), B(0,-4), C(2,0)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,4AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以 點(diǎn)P、Q、B、。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊

9、形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).解：(1)易求拋物線的解析式為 y= 1 x2+x-4;2(2) s=-m2-4m(-4<m<0) ; s最大=4 (過程略)；(3)盡管是直接寫出點(diǎn) Q的坐標(biāo)，這里也寫出過程.由題意知O(0,0)、B(0,-4).由于點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè) Q(s, -s),把Q看做定點(diǎn)；設(shè) P(m, 1 m2+m-4).當(dāng)以O(shè)Q為對(duì)角線時(shí)，0 s 0 m圖60 s 4 1 m2 m 4 2" s=-2 2-：.5 .Q1(-2+2 75, 2-25 ) , Q2( -2-2V5,2+2/5);當(dāng)以BQ為對(duì)角線時(shí)，0 m 0 s1 20 m m 44 s2s1=-4, s2=0(舍)., , Q3( -4, 4);當(dāng)以O(shè)B為對(duì)角線時(shí)，0 0 s m120 4 s m m 42s1 = 4, s2=0(舍). Q4（4, -4）.綜上，滿足條件的點(diǎn)Q 為 Qi（-2+2*；5,2-25）、Q2（-2-2春，2+26）、Q3（-4,4）、Q4（4,-4）.反思：該題中的點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（s,-s）,把Q看做定點(diǎn), 就可根據(jù)平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組了4 問題總結(jié)這種題型，關(guān)鍵是合理有序分類：無論是三定一動(dòng)，還是兩定兩動(dòng)，統(tǒng)統(tǒng)把拋物線上的 動(dòng)點(diǎn)作為第四個(gè)