專題：立體幾何大題中有關(guān)體積的求法

1、精品文檔專題：立體幾何大題中有關(guān)體積的求法角度問題、距離問題、體積問題是立體幾何的三大基本問題。以下是求體積的一些常用方法及有關(guān)問題。一公式法1 .正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為2和4的矩形，則它的體積為2如圖，某幾何體的正視圖（主視圖），側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖分別是等邊三角形，等腰三角形和菱形，則該幾何體的體積為（）.A. 4/3B . 4 C. 2PD. 2練習(xí)3 . 一個(gè)幾何體的俯視圖是一個(gè)圓，用斜二側(cè)畫法畫出正視圖和俯視圖都是邊長為6和4的平行四邊形，則該幾何體的體積為 .4 .一個(gè)圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個(gè)球的表面積相等，那么這個(gè)圓 柱的體積，與這個(gè)球的體積之比為 來二

2、、轉(zhuǎn)換法當(dāng)所給幾何體的體積不能直接套用公式或套用公式時(shí)某一量（底面積或高）不易求出時(shí),可以轉(zhuǎn)換一下幾何體中有關(guān)元素的相對(duì)位置進(jìn)行計(jì)算求解，該方法尤其適用于求三棱錐的體積.例 在邊長為a的正方體ABCD A1B1C1D1中，M, N, P分別是棱，一13,AB1, AD1, A1A上的點(diǎn)，且滿足 AM -A1B1, A1N 2ND1, A1P AA （如 24圖1）,試求三棱錐 A MNP的體積.三、割補(bǔ)法分割法也是體積計(jì)算中的一種常用方法，在求一些不規(guī)則的幾何體的體積以及求兩個(gè)幾何體的體積之比時(shí)經(jīng)常要用到分割法.7例已知三棱錐P ABC,其中PA 4, PB PC 2,APB APC BPC

3、60求：三棱錐P ABC的體積。8練習(xí) 如圖2,在三柱ABC AB1c1中，E, F分別為AB, AC的中點(diǎn)，平面EB1c1F將三棱柱分成兩部分，求這兩部分的體積之比9練習(xí)。如圖(3),是一個(gè)平面截長方體的剩余部分, 已知 AB 4, BC 3,AE 5,BF 8, CG 12, 求幾何體ABCD EFGH的體積。10四面體S ABC的三組對(duì)棱分別相等，且依次為 2J5, Ji3,5 , 求四面體S ABC的體積。鞏固練習(xí)11如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面為直角梯形，AD/BC, BAD 90, PA垂直于底面ABCD, PA AD AB 2BC 2 ,M , N分別為PC , PB的中

4、點(diǎn)。(1)求四棱錐P ABCD的體積V ; (2)求截面 ADMN的面積。7歡迎下載12. 如圖，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC= 3, BC= 4,AB 5, AA = 4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).求多面體ADC AB1cl的體積.13.如圖3,直四棱柱 ABCD ABC1D1的底面ABCD是菱形，ABC 600,其側(cè)面展開圖是邊長為 8的正方形。E、F分別是側(cè) 棱AA、CG上的動(dòng)點(diǎn)，AE CF 8 .問多面體 AE BCFB1的體積V是否為常數(shù)？若是，求這個(gè)常數(shù)， 若不是，求V的取值范圍.14 .如圖，已知 BCD 中， BCD 90 , BC CD 1, AB，平 面BCD , A

5、DB 60 , E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且生 AC(1)求證：不論 為何值，總有EF，平面ABC ；(2)若 1 ,求三棱錐A BEF的體積. 215 .如圖，已知ABCD ABQ1D1是底面為正方形的長方體，AD1A點(diǎn)P是AD1上的動(dòng)點(diǎn).試求四棱錐P A1B1C1D1體積的最大值；AFAD(060, AD14,B1C116.如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓。上，ABEF ,矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且 AB 2, AD EF 1.設(shè)平面CBF將幾何體EFABCD分成的兩個(gè)錐體的體積分別為VF ABCD , VF CBE ,求VF ABCD : VF CBE

6、專題一：立體幾何大題中有關(guān)體積的求法1-4略5解：VA MNP11 11112 3vp amntSawn h 二二 AM AN A1P - - a-a-aA1313 23 2 2341 3一 a -24平面慶仲代1，得A41是三梭錐艮-&1書1匚1的高線二三校建一網(wǎng)1匚1的體世V三;，AdIX45一.二打在RpaAiDKi中，二4312-01(;113。同理可自EC二J二也任二月1/二m2-口5=24等腰4lECi的底邊艮口上的中蛙等于百二相聲口？，可得5小工門=:乂2黑小=30 設(shè)點(diǎn)回到平面E&C1的距速為d，則三樓雒-1匚他的體根為=：K3A4Cixd:|Td，可得P二日，解之得d二坦W即

7、點(diǎn)至II平面EFhCi的匕口離為7解:作BC的中點(diǎn)D ,連接PD、AD ,過P作PH AD ,垂足H易證PH即為三棱錐P ABC的高，1由棱錐體積公式 VP ABC 1SABC PHP ABC _ ABC3即得三棱錐P ABC的體積-BC卡。8設(shè)棱柱的底面積為 S ,高為h ,其體積V Sh.精品文檔5歡血下載，截面從DMN的面程（MN+乩口） X AN=14生.C 14分）則三角形AEF的面積為1s.41S由于 VAEFAB1G二h1347 Sh, 12則剩余不規(guī)則幾何體的體積為V VAEF A1B1C1c7 c5 cSh Sh Sh,1212所以兩部分的體積之比為Vaef AB1cl:V

8、7:5.DH 9,9首先通過梯形 ACGE,BFHD的中位線重合，我們可以求得分別延長 AE,BF,CG, DH 到 A, BC,D,使得 AA BBCC DD17,則我們可得故長方體ABCD ABCD的體積是幾何EA 12,FB9,GC5,HDABCD EFGH 的二倍。31、，故VABCD EFGH二 VABCD ABC D211 3 4 17 102210把四面體S ABC補(bǔ)形成一個(gè)長方體 ADBE FSGC,二度分力1JzE 2,3,4 則 VS ABCVADBE FSGC4VA FSC 2344113 211（1）解：由如二加二：2甘心2，因底面直角梯形AKD的面積岸修以,反3，由F

9、A_L底面ABC口，得四棱攤F-AB的高h(yuǎn)=FA=2， 所以四棱耀PAECD的體積丁=亍公卜=|83 乂 2-2 .（2）證明；因?yàn)镹是FE的中點(diǎn)，P探FE，所以由FAL底面05。，得0C0分） 又/EAD=，即EA_LBD，AD_L平面PAB，所以內(nèi)D，PB，一（8分） .FEL 平面 ADIJb3 口分）由垢N分別為PC，PE的中立，ll EC ?且MN=LhC=L 22SADSCi jfelDAD：由（2）傅仙，平面FAB，5UN二平面FAD，故&DLAJT，四邊形ADHN是直角梯的，在RtAPAR中，PB = 比%E = p精品文檔（3）多面體且E-BCFB1是四梭椎EiTEFC和三梭

10、錐的組合體，由題意，8%二，M=2,舊四三棱雕ETBC的高，是四莪椎&1-&EFC的高， 工廠=9544片小船京梟1三為7小必?是常樹（12分）由此可得昨.A日CD；昨.C日E=3 ； 1 t 1 2分）14（1）證明：因?yàn)锳E，平面ES，斫以AB，S，又在aECD中，BCD=SOc，所以，BCCD 又必門EC二，所以,CDJ平面且BC又在且CD，E F分別是四匚、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且蘭=與二孔（。九1） AC AD所以，不論為何值，總有EF_L平面ABC：C2 ） IS ：在亂耽口 中，ZBCD90s，EC = CD二 1，斯以，EDJI，發(fā) AB _L 平面 BCD,所以，ABBC 5 ABBD -又在IHAABC中，ZADE-6uq -*-AB=BPtan60c =j6由U）知EF_L平面AHE，JR三秋陵限日EF=Y三棱瓣F-A日E二;$.四上廣二 I4xi 乂護(hù)4二所以，三棱碓火一口8的體積是；A15 1 - .- :-. L，一一 . I .一 . -謠：（1）平面ARCII的前方，舄用當(dāng)p與，王白昵及至雁件，優(yōu)又樺雄的悼和*寸，即可小出普，*-CBJ平面 ABEF，（2分）7 AF二平嗨1下Z靛D-i$；Di是長方體，惻面.仙1,底面21%0仙1丁就為陋，四梭雇P-hBiCiD