互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

1、本周課題：互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)本周重點(diǎn)：1、互斥事件、對(duì)立事件的概率的求法2、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式.3、正向思考：通過 分類”或分步”將較復(fù)雜事件進(jìn)行分解，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的互斥事件的和事 件或相互獨(dú)立事件的積事件.4、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生n次的概率計(jì)算公式.本周難點(diǎn)：1、互斥事件、對(duì)立事件的概念2、事件的相互獨(dú)立性的判定，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的判定3、事件的概率的綜合應(yīng)用.本周內(nèi)容：1、事件的和、事件的積的意義(1)A+B表示這樣一個(gè)事件：在同一試驗(yàn)下，A或B中至少有一個(gè)發(fā)生就表示它發(fā)生.事件 油+人2+-一+人表示這樣一個(gè)事件：在同

2、一試驗(yàn)中，Ai, A2,，An中至少有一個(gè)發(fā)生即表示它發(fā)生.(2)A B表示這樣一個(gè)事件：事件 A與事件B中都發(fā)生了就表示它發(fā)生.事件 Ai A2n表示這樣一個(gè)事件：Ai, A2,，An中每一個(gè)都發(fā)生即表示它發(fā)生.2、互斥事件(1)不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件.一般地：如果事件 A1, A2,，An中的任何兩個(gè)都是互斥的，那么就說事件 A1, A2,， An,彼此互斥.(2) 一般地：如果事件 A, B互斥，那么事件 A+B發(fā)生(即A, B中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等 于事件A, B分別發(fā)生的概率的和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)(說明：如果事件 A, B不互斥，則 P(A+B尸P

3、(A)+P(B)-P(A - B)如果事件 A1, A2,，An彼此互斥，那么事件 A 1+A 2+A n發(fā)生(即A1 , A2,，An中有 一個(gè)發(fā)生)的概率，等于這 n個(gè)事件分別發(fā)生的概率的和，即P(A 1+A 2+A n)=P(A 1 )+P(A 2)+ +P(An)3、對(duì)立事件(1)必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件叫做對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記作工；二-1(3)對(duì)于互斥事件要抓住如下的特征進(jìn)行理解:第一：互斥事件研究的是兩個(gè)事件之間的關(guān)系；第二：所研究的兩個(gè)事件是在一次試驗(yàn)中涉及的；第三：兩個(gè)事件互斥是從試驗(yàn)的結(jié)果不能同時(shí)出現(xiàn)來確定的.從集合角度來看，A、B兩個(gè)事件互斥，則表示A、B這兩個(gè)事

4、件所含結(jié)果組成的集合的交集是空集.對(duì)立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件，集合A的對(duì)立事件記作 A ,從集合的角度來看，事件 A所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補(bǔ)集，即AuAU,AC A= 0 ,對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件.(4)分類討論思想是解決互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的一個(gè)重要的指導(dǎo)思想.4、相互獨(dú)立事件(1)事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件 B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú) 立事件(2)兩個(gè)相互獨(dú)立事件 A、B同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積.即：P(A B)=P(A) P(B)

5、推廣：如果事件 Ai, A2,An相互獨(dú)立，那么這 n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件 發(fā)生的概率的積。即：P(AiA2 n)=P(Al) P(A2) P(A(3)關(guān)于相互獨(dú)立事件也要抓住以下特征加以理解：第一：相互獨(dú)立也是研究?jī)蓚€(gè)事件的關(guān)系；第二：所研究的兩個(gè)事件是在兩次試驗(yàn)中得到的；第三：兩個(gè)事件相互獨(dú)立是從乙個(gè)事件的發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件的發(fā)生的概率沒有影響”來確定的.(4)互斥事件與相互獨(dú)立事件是有區(qū)別的：兩事件互斥是指同一次試驗(yàn)中兩事件不能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指不同試驗(yàn)下，二者互不影響；兩個(gè)相互獨(dú)立事件不一定互斥，即可能同時(shí)發(fā)生，而互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生.5.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(1)獨(dú)立

6、重復(fù)試驗(yàn)指在同樣條件下進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn).(2) 一般地，如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率它是(1-P)+Pn展開式的第k+1 項(xiàng)。本周例題例1、袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任意摸出 4個(gè)，求下列事件發(fā)生的概率：摸出2個(gè)或3個(gè)白球；(2)至少摸出1個(gè)白球；(3)至少摸出1個(gè)黑球.解：從8個(gè)球中任意摸出4個(gè)共有種不同的結(jié)果.記從8個(gè)球中任取4個(gè)，其中恰有1個(gè)白球?yàn)槭录?Ai；恰有2個(gè)白球?yàn)槭录?A2；恰有3個(gè) 白球?yàn)槭录嗀3； 4個(gè)白球?yàn)槭录?A4；恰有i個(gè)黑球?yàn)槭录?Bi,則(1)摸出2個(gè)或3個(gè)白球的概率月=?(4+4)

7、=?(4)+/4)=咎+等 ='+'=9% % ? ?至少摸出1個(gè)白球的概率 P2=1-P(B 4)=1-0=113至少摸出1個(gè)黑球的概率可二«例2、設(shè)從標(biāo)有自然數(shù) 1001到8000的7000張卡片中隨意抽出 1張，求其數(shù)字恰是 3或7 的倍數(shù)的概率。解：記抽出卡片上的數(shù)字恰是 3的倍數(shù)”的事件為A;抽出卡片上的數(shù)字恰是 7的倍數(shù)”的事件為B;A-B表示 抽出卡片上的數(shù)字恰是 21的倍數(shù)”，則：P(A+B)=PCA)+P(B)-P(A2333 WOO 333-+7000 7000 7000233 + 1000-3337000_3-7點(diǎn)評(píng)：在使用互斥事件的概率計(jì)算公式

8、時(shí)，一定要判定兩個(gè)事件是否是互斥事件，如果不是互斥事件，還應(yīng)減去事件A B的概率.例3、甲、乙二射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)一目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為 0.8,乙射中的概率為0.9,求：(1)2人都射中目標(biāo)的概率；(2)2人中T有1人射中目標(biāo)的概率；（3）2人至少有1人射中目標(biāo)的概率；（4）2人至多有1人射中目標(biāo)的概率。解：記甲射擊1次，擊中目標(biāo)”為事件A;乙射擊1次，擊中目標(biāo)”為事件B,則A與B ,律5+K與反脂B為相互獨(dú)立事件（1）2人都射中目標(biāo)的概率為：= 父0.9= 0.722人都射中目標(biāo)的概率為0.72 .（2） “隊(duì)各射擊1次，恰有1人射中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中（事件5

9、- B發(fā)生）；另一種是甲未擊中、乙擊中（事件E發(fā)生）.根據(jù)題意，事件4百與工日互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的概率為：<- - ' 一 "、.：=0.8 .1-0.9）+（1-0.8） 0.9=0.08+0.18=0.26.2人中恰有1人射中目標(biāo)的概率是0. 26;（法1）: 2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2#情況，其概率為一 一 <-11（法2）: “2人至少有一個(gè)擊中”與“2人都未擊中”為對(duì)立事件，2個(gè)都未擊中目標(biāo)的概率是尸口為=尸& 哂.8）（1 -0.9） = 0 02兩人至少有1人擊中目

10、標(biāo)”的概率為尸=10亙）一 "嵬（法1）：至多有1人擊中目標(biāo)”包括 有1人擊中”和“2人都未擊中 故所求概率為：尸三尸(N .豆)+ 尸(<.豆)+ P(A B) =. F(面 + F(N) F(B) + F(A) F(8)=0.02+0.08+0.18=0.28(法2):至多有1人擊中目標(biāo)”的對(duì)立事件是 “2人都擊中目標(biāo)”，故所求概率為F = 1萬月& = 1-尸尸=1 W2 = O28例4、如圖：用 A、B、C、D四類不同的元件連接成系統(tǒng)N,當(dāng)元件A正常工作且元件 B、C都正常工作，或當(dāng)元件 A正常工作且元件 D正常工作時(shí)，系統(tǒng) N正常工作.已知元件 A、B、2 3

11、 1C、D正常工作的概率依次為3 4 4 5(I)求元件A不正常工作的概率；(II)求元件A、B、C都正常工作的概率；2二二-(I)元件A正常工作的概率3 ,小-1F 二 1-F 二-它不正常工作的概率為-2 3 35 C)=/(周 口的 尸(C)=(II)元件a、b、C都正常工作的概率3 4 4(III)系統(tǒng)N正常工作可分為A、B、C都正常工作和 A、D正常工作但 B、C不都正常工作兩種情況，3前者概率8 ,后者的概率為P(A-B C D) B C-+ P(A B C D)3 4 2 3 1 4 2 1 1J II4 5 3 4 4 5 34430所以系統(tǒng)?+273N正常工作的概率是：8 3

12、0 120例5、已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機(jī)的概率為0.2. (1)假定有5門這種高炮控制某個(gè)區(qū)域，求敵機(jī)進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后未被擊中的概率;的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？要使敵機(jī)一旦進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后有0.9以上分析：因?yàn)閿硻C(jī)被擊中的就是至少有1門高炮擊中敵機(jī)，故敵機(jī)被擊中的概率即為至少有門高炮擊中敵機(jī)的概率.解：(1)設(shè)敵機(jī)被第k門高炮擊中的事件為Ak(k=1 , 2, 3, 4, 5),那么5門高炮都未擊中敵機(jī)的事件為 .事件 &相互獨(dú)立, :敵機(jī)未被擊中的概率為:雙44&三&)二雙& ¥)煩)了(4)加空:敵機(jī)未被擊中的概率為： -至少需要布

13、置n門高炮才能有0.9以上的概率被擊中，仿(1)可得:1-令敵機(jī)被擊中的概率為 一-1Tn 之-對(duì) 10 3兩邊取常用對(duì)數(shù)，得：-n N + ,n=11至少需要布置11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機(jī).點(diǎn)評(píng)：上面例1和例2的解法，都是解應(yīng)用題的逆向思考方法，采用這種方法在解決帶有詞語 至多"、至少”的問題時(shí)的運(yùn)用，常常能使問題的解答變得簡(jiǎn)便.例6、某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%,計(jì)算(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)：(1)5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率；(2)5次預(yù)報(bào)中至少有 4次準(zhǔn)確的概率.解：(1)記 預(yù)報(bào)1次，結(jié)果準(zhǔn)確”為事件A.預(yù)報(bào)5次相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)， 根據(jù)n次獨(dú)立重 復(fù)

14、試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式，5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率.=C* xOxfl-O,S)54 = 0,8* « 0.41答：5次預(yù)報(bào)中恰有4次準(zhǔn)確的概率約為 0.41 .(2)5次預(yù)報(bào)中至少有 4次準(zhǔn)確的概率，就是5次預(yù)報(bào)中恰有 4次準(zhǔn)確的概率與 5次預(yù)報(bào)都準(zhǔn) 確的概率的和，即，-.1-,I：=0.84+0.85弋 0.410+0.328 弋 0.74答：5次預(yù)報(bào)中至少有 4次準(zhǔn)確的概率約為 0.74。例7、某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是0.5(相互獨(dú)立)。(1)求至少3人同時(shí)上網(wǎng)的概率；(2)至少幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3 ?解：(1)至少3人

15、同時(shí)上網(wǎng)的概率等于l減去至多2人同時(shí)上網(wǎng)的概率，1 一落一4”I, 一"(0 5)(2)至少4人同時(shí)上網(wǎng)的概率為4(0 5/ + 喙。5尸 + 想0.5/ =-H >0.3至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率為因此至少5人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于0.3.例8、實(shí)力相等的甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽，規(guī)定 5局3勝制(即5局內(nèi)誰先贏3局 就算勝出并停止比賽).(1)試分別求甲打完 3局、4局、5局才能取勝的概率.(2)按比賽規(guī)則甲獲勝的概率.解：甲、乙兩隊(duì)實(shí)力相等，所以每局比賽甲獲勝的概率為1 1石，乙獲勝的概率為二記事件A= "甲打完3局才能取勝”，記事件B= "甲打完4局才能

16、取勝”，記事件C= "甲打完5局才能取勝甲打完3局取勝，相當(dāng)于進(jìn)行 3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每局比賽甲均取勝.產(chǎn)= ch-/ 二-甲打完3局取勝的概率為“2 g甲打完4局才能取勝，相當(dāng)于進(jìn)行 4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且甲第 4局比賽取勝，前 3局為2 勝l負(fù).甲打完4局才能取勝的概率為甲打完5局才能取勝，相當(dāng)于進(jìn)行5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)， 且甲第5局比賽取勝，前4局恰好2勝2負(fù).甲打完5局才能取勝的概率為F©二尸心13X=2 16事件D= "按比賽規(guī)則甲獲勝"，則D=A+B+C , 又因?yàn)槭录?A、B、C彼此互斥，.c c 133尸1白）=H + 3=產(chǎn)（ + 產(chǎn)國）+

17、 F（ C）= g + 療 + 77 =o 1O 102答：按比賽規(guī)則甲獲勝的概率為-例9、甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是-4，假設(shè)兩人每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響.(I)求甲射擊5次，有兩次未擊中目標(biāo)的概率；(II)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則中止其射擊，求乙恰好射擊 率.5次后，被中止射擊的概解：(I)設(shè)甲射擊5次，有兩次未擊中目標(biāo) ”為事件A,則RY答：甲射擊5次，有兩次未擊中目標(biāo)的概率為80243一二審+*鴻.吳凝答：乙恰攵?射擊 5次后，被中止射擊的概率為鞏固練習(xí)1451024（II）設(shè)上恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件C,由于乙恰好射擊 5次后被中止射擊，所

18、 以必然是最后兩次未擊中目標(biāo)，第一次及第二次至多次有一次未擊中目標(biāo)，則1 11、甲射擊命中目標(biāo)的概率是2 ,乙命中目標(biāo)的概率是 3 ,丙命中目標(biāo)的概率是 4 ,現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為 （）3242A.B.C.D. 12、一批零件10個(gè)，其中有8個(gè)合格品，2個(gè)次品，每次任取一個(gè)零件裝配機(jī)器，若第一次 取得合格品的概率是 Pi,第二次取得合格品的概率是P2,則（）A. Pi>P2B. P1=P2C. P1<P2 D. P1=2P23、一個(gè)學(xué)生通過某種英語聽力測(cè)試的概率是1/2,他連續(xù)測(cè)試n次，要保證他至少有一次通過的概率大于 0.9,那么n的最小值為（）A、 3 B

19、、 4 C、 5 D、 64、甲、乙兩人投籃命中的概率分別為p、q,他們各投兩次，若 p=1/2,且甲比乙投中次數(shù)多的概率恰好等于7/36,則q的值為（）432£A.B.C.D.二5、有1個(gè)數(shù)字難題，在半小時(shí)內(nèi)，甲能解決它的概率是2 ,乙能解決它的概率是 3 ,兩人試圖獨(dú)立地在半小時(shí)內(nèi)解決它，則：兩人都未解決的概率為 ；問題得到解決的概率為 C6、在5名學(xué)生(3男2女)中安排兩名學(xué)生值日，其中至少有 1名女生的概率是 .7、有10件產(chǎn)品分三個(gè)等次，其中一等品4件，二等品3件，三等品3件，從10件產(chǎn)品中任取2件，則取出的2件產(chǎn)品同等次的概率為 .8、甲、乙兩名圍棋選手在一次比賽中對(duì)局，分析甲勝的概率比乙勝的概率高5%,和棋的概率為59%,則乙勝的概率為 .9、甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.6,計(jì)算：(1)兩人都擊中目標(biāo)的概率；(2)其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率；(3)至少有一人擊中目標(biāo)的概率.10、從52張(沒有大小王)撲克牌中隨機(jī)抽取 5張，