全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)初賽試題(解析)

1、1:設(shè)r為方程x3解析：因?yàn)樵O(shè),42(r 2r22x x2：已知1) 9f(a)解析：由題意得:3：某竹竿長為2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江賽區(qū)初賽解析x 3 0的解，則以r2為其解的首項(xiàng)系數(shù)為1的整系數(shù)7L次方程為為方程x3x 3 0的根，則r(r2 1)3 ,兩邊平方可得r(r2打開可得r62min xx a,a 1L2x2r41,2,a2,0 a a2 2a24米，一端靠在墻上,次方程為x3 2x2則f(a)在1,1上的最大值為1 ，所以f (a)在1,1上的最大值為1,a 121)1;故填1.另一端落在地面上.若竹竿上某一節(jié)點(diǎn)到墻的垂直距離和到地面的垂直距離都是 7米，則此時竹竿靠在墻

2、上的端點(diǎn)到地面的垂直距離為米解析1:以邊為參由題得:&AEC CFBAE CECF BF49即ab 72.2a b242 ,所以2ab 576 ,即因?yàn)閍b 0,所以a b 32,所以 ab224,即a, b為方程x232x224米.0的兩根,14 a b 576a 16b 164+或4 216164 2,l，故填164 24應(yīng)與 16 4s/2 -解析2:以線為參設(shè)直線AB方程為-y a b則C 7,7在直線上，所以7 a2.2a btan解析3:以角為參ACE CBF ,4：設(shè)x R,則y16為，所以AB ACsinx 的最大值為2 cosx解析1:半角+基本不等式sin xxx2

3、sin - cos-22CBcos7 sin結(jié)合sin22 cosx2 x 2 x2 x . 2 x2 sin - cos - cos - sin 一2222cos21 ,得一 .x八2sin - cos22_2 x 2 x3sin 一 cos 一2212分子分母同除以sinxcosx得 3tan31222 tan）2解析2:輔助角公式23_2733 .故填：立3sin x2 cosx2yy cosxsin x2ysin x y cosx2y sin x2y4y2.故填:3解析3：輔助角公式；3sinx cosx 2sin x2,3sin x2 cosxsin x2 cosx也故填:3解析4：

4、換元二次函數(shù)最值cosx1,3 貝U y2.2sin x2cosxd21 cos x22 cosx2 t23t231 tY3.取等號時31,3.故填：一3解析5：根判別式（萬能法）令 t cosx1,1 則 m一 2sin x4cos xcost21 t24mt4m4t 416m2m 1 4my 近.取等號時m 3故填:解析6：斜率幾何意義切線人 sin x令y 2 cosxsin x 0k可以看做1,1cosx 2動點(diǎn)A cosx, sin x 和點(diǎn)B2,0的斜率最大值貝U A cosx, sinx在單位圓1上;設(shè)則 1AB: y k xkx2k拓2kl故dO l,k2 1k2,3故填:35

5、：在四面體PABC中，棱PA AB, AC兩兩垂直，且PA ABAC, E,F分別為線段AB, PC的中點(diǎn),則直線EF與平面PBC所成角的正弦值為解析1:等體積法不妨設(shè)PA AB ACPBPC 2Sa pbc&C243 , 2，,1由Vp ABC2Ve ABC -31 AB AC2AP設(shè)E到平面PBC的距離為d ,則Ve abc1G一 Sa pbc33 dd6一故d_26，又AE , AF工PC -,且易知AE 222AFAB平面PAC )，故 EFAE22AF_J2設(shè)直線EF與平面PBC所成角為，則sin解析2：建系，納入正方體考慮 不妨設(shè)PA AB AC 1 ,因棱PA, AB,

6、AC兩兩垂直，可以以A為原點(diǎn)，以iB , AC , NP為x, y,z軸正方向單位向量建立空間直角坐標(biāo)系，一一11 11111則 A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), P(0,0,1), E(-,0,0) , F(0,-,-), EF (,),22 22 2 2(1,1,1)P ABC可視為棱長為1的正方體的一角，可知平面 PBC的法向量方向?yàn)檎襟w體對角線方向設(shè)直線EF與平面PBC所成角為，則sin6：設(shè)平面上不共線的三個單位向量EF3|n|若011,則12a tb （i t）ti的取值范圍為解析：設(shè)a OA,bOA,b OB,c OC,2aOA",則由于0

7、t i,若設(shè) tb (i t)C Op,則點(diǎn)P在線段BC上.設(shè)線段由此|tb (i t)Ci |OP OA'| |PA'|的最小值為I MAI 2 i 2,最大值為 |"BA'I故12a tb （i t）Ci的取值范圍為5,.2A'ABC的重心.由于Bbc的中點(diǎn)為M .OA,或7:設(shè)z為復(fù)數(shù)，且zi .當(dāng) i z 3z2Z4取得最小值時，此時復(fù)數(shù)解析：運(yùn)用共軻復(fù)數(shù)的性質(zhì)注意到z1 z 3z2z2113z-2-Dzz-2-z z 3 z其中z z2Re z （表不' z的實(shí)部）2 c - Fz 2zz z2,則t2 t則當(dāng)1 , 一，一2時，取最

8、小值Im z1 Rez15115.一 i .448:已知由6個正整數(shù)組成的六位十進(jìn)制數(shù)中,其個位上的數(shù)字是4的倍數(shù)，十位和百位上的數(shù)字都是 3的倍數(shù)，且六位數(shù)的數(shù)碼和為 21 ,則滿足上述條件的六位數(shù)的個數(shù)為解析:（分類+隔板法）個位為4 ,十位、百位都為3 ,則有C2 45個；個位為4 ,十位、百位為3和6 ,則有C2 A2 42個；個位為4,十位、百位為3和9或都為6,則有C2 A2 C2 18個;個位為8,十位、百位都為3,則有C： 15個；個位為8 ,十位、百位為3和6,則有C；屋 6個；綜上所述，共有 45 42 18 15 6 126個，故填126.9： 一個正整數(shù)若能寫成20a

9、8b 27c （a,b,c為非負(fù)整數(shù)）形式，則稱它為“好數(shù)”，則集合1,2, ,200中好數(shù)的個數(shù)為解析：將 1,2, ,200中的數(shù)按除以8的余數(shù)分類不妨記imod80,1,2,7八類，其中2027 3 ,則0中最小的數(shù)為 8,因?yàn)? 2027 0,最大的數(shù)是200,因?yàn)?00 202527 0 （還有其他不同的a,b,c滿足要求），共25個;1中最小的數(shù)為81,因?yàn)?1 20 0 80 274,最大的數(shù)是193,因?yàn)?93 20 0 8 14 274,共15個；依次類推，可列表如下:余數(shù)01234567最小開始數(shù)8817427201015447最大數(shù)20019319419519619719

10、8199個數(shù)2515162223131920故共有：25+15+16+22+23+13+19+20=153 個.10：設(shè)ii,i2,“|,in是集合1,2,|",n的一個排列.如果存在k l且ik ii ,則稱數(shù)對ik,ii為一個逆序，排 列中所有逆序?qū)Φ臄?shù)目稱為此排列的逆序數(shù).比如，排列1432的逆序?yàn)?3,42,32，此排列的逆序數(shù)就是 3 .則當(dāng)n 6時，且i3 4的所有排列逆序數(shù)的和為 .解析：由于第三個數(shù)為 4,故這樣的排列一共有 A55 120種，由于除4以外的每個數(shù)位置都等價(都存A5 2在一前一后)，所以除 4以外的逆序數(shù)和為 1C1 600,接下去計算與4有關(guān)的逆序

11、數(shù)和，當(dāng)1,2,3都在4右邊時，此時與 4有關(guān)的逆序數(shù)對為 5,所以共有A3A2 5 60；當(dāng)1,2,3有兩個在4右邊時，此時與 4 有關(guān)的逆序數(shù)對為 3,所以共有C32C2A3A：2 3 216；當(dāng)1,2,3只有1個在4右邊時，此時與 4有關(guān)的逆序 數(shù)對為1,所以共有C3A3A2 1 36 .綜上可得所有逆序數(shù)的和為600 60 216 36 912.11.已知數(shù)列4,且a1 夜1 , an / VJ1 1(n 2,3,11|),令bn工，記數(shù)列bn的前n項(xiàng) 1an1 Jn 1 nan和為Sn .(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若對任意的n N* , 向2(Sn 1) n 101恒成立，求

12、實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)解析：an :"當(dāng)即aJn an1 /n-,n 2,所以數(shù)列a=n是常數(shù)列，an 1n 1. nn 1, nn 1于是包二n曳j 1,所以an而7品. n 12n(2)解析：因?yàn)閎nn,所以 Snni 1,由Jn2(Sn 1) n 101,得J=赤F -40°=對任意的n N*恒成立，n 1. n 1則(l1T)maxGn 11°° )min ，所以20 . n 1n 1212.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，離心率為 字，且橢圓C的任意三個頂點(diǎn)構(gòu)成的三角1形面積為1.2(1)求橢圓C的方程；(2)若過P( ,0)的直線l與

13、橢圓交于相異兩點(diǎn)A,B,且限2PB，求實(shí)數(shù) 的范圍.解析:1)設(shè)橢圓的長半軸長為a,短半軸長為b,則有色一b_ Y3,ab，解得，a 1,b 1，所a 222 '以橢圓C的方程為x2 4y2 1 .(2)設(shè)直線l的方程為x my,設(shè)兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為 A(x1, y1)，B(x2, y2).由 AP 2pB，得到 y1 2y2.聯(lián)立方程組22x 4y 1x my222得到(m 4)y2 my 1 0顯然，y122為方程的兩個相異的實(shí)根，則有22222(2 m)2 4(1)(m2 4) 0m24( 2 1)由韋達(dá)定理得y1y2馬旦，y1y2聯(lián)立得到m 4 m 42 m 2122()0 mm

14、4 m 4-1 一、又 1,3不符合題意.2、把代入得到色一) 4(9113.已知函數(shù)f(x) x24(1)-2,21221)1( 1,911 e x a ,(-,1)(1)若f(x) 0恰有三個根，求實(shí)數(shù) a的取值范圍; 在(1)的情形下，設(shè)f(x) 0的三根為x1,x2,x3 ,且“x2x3,證明 x2x1解析：(1) x11 時，f xx 1 e；, f'xxx e所以函數(shù)f x在 ，11,0, 0,且 f(x)故a 0(x ), f( 1) 0, f(0 ),f(0)0,51(2)設(shè) g(x) x 一 ,下證 g(x) x,0上恒成立.即證|"x1 x 1e &quo

15、t;,變形得到e ',0上，顯然成立.,0上有兩解*4?5,且x41x5 .可得：f x1a g x4f x4 , f x2a g x5f x5注意到f x的單調(diào)性，有x1X4?2x5.通過解二次方程可以解得x4a .a2 4,x52則有 x2 x1x5x4a .14：設(shè)正整數(shù)n 3,已知n個數(shù)a1,a2,|,an,記兩兩之和為bjai aj(i j),得到如下表格:b21bn1,bn2,bn,n 1若在上述表格中任意取定 k個數(shù)，可以唯一確定出 n個數(shù)a1,a2,|,an ,求k的最小值.解析：(1)當(dāng)n 3時，顯然由b21a2a1，b32a3a2,b31a3a1才能唯一確定出國&#

16、169;2e3,此時k 3 .(2)當(dāng)n 4時.顯然由k C； 1 4,否則取某三個數(shù)的兩兩之和不能確定出第四個數(shù).當(dāng)k 4時，如果b21, 01笛42,b43這4個值，也無法確定出 a1，a2,a3,a4 .當(dāng)k 5時，若已知 d1, dhbdhbbv中任意五個數(shù)的值.不妨設(shè) d1的值未知，則由b31, b32 ,b42 , b43 可以確定 a3(2(b32b43b42),從而唯一確定出a1，a2, a3, a4.（a）當(dāng)n5時，kC421 7,即如果知道7個bj,則一定存在一個下標(biāo)s, % （或bjs）最多出現(xiàn)2 次，至少出現(xiàn)1次.事實(shí)上，7個bj共有14個下標(biāo)，而1,2,3,4,5 每

17、個下標(biāo)出現(xiàn)3次及以上，就共出現(xiàn)15個下標(biāo)，這是不可能的.因此根據(jù)（2）,由至少5個bj,i,j 1,2,3,4,5s的值可唯一確定出ai,i1,2,3,4,5 s,再由至少出現(xiàn)一次的 小 （或bjs）唯一確定出as.（b）當(dāng)n6時，用數(shù)學(xué)歸納法證明k C21 1 .當(dāng)取k個bj時，一定存在一個下標(biāo)s,bis（或bjs）最 多出現(xiàn) n 2 次(因?yàn)?2k n(n 1),則 bj,i,j 1,2,3, ”|,ns至少有k (n 2)C21 n 3C21 1由歸納可知，這些bj可唯一確定出ai,i1,2,3, |,n s,然后再有入（或bjs）確定出as.2020m,n 115：設(shè) ai解析：證明:am-m n2020am,bj為實(shí)數(shù)列，證明2020.ambnm,n 1m . n12020-222amm 120202020不等式的左邊a