同濟(jì)第六版高數(shù)答案高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題解答

1、習(xí)題3-3 1. 按(x-4)的冪展開多項(xiàng)式x4-5x3+x2-3x+4. 解 設(shè)f(x)=x4-5x3+x2-3x+4. 因?yàn)?f(4)=-56, f ¢(4)=(4x3-15x2+2x-3)|x=4=21, f ¢¢(4)=(12x2-30x+2)|x=4=74, f ¢¢¢(4)=(24x-30)|x=4=66, f (4)(4)=24, 所以 =-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4. 2. 應(yīng)用麥克勞林公式, 按x冪展開函數(shù)f(x)=(x2-3x+1)3. 解 因?yàn)?f ¢(x)=

2、3(x2-3x+1)2(2x-3), f ¢¢(x)=6(x2-3x+1)(2x-3)2+6(x2-3x+1)2=30(x2-3x+1)(x2-3x+2), f ¢¢¢(x)=30(2x-3)(x2-3x+2)+30(x2-3x+1)(2x-3)=30(2x-3)(2x2-6x+3), f (4)(x)=60(2x2-6x+3)+30(2x-3)(4x-6)=360(x2-3x+2), f (5)(x)=360(2x-3), f (6)(x)=720; f(0)=1, f ¢(0)=-9, f ¢¢(0)=60,

3、f ¢¢¢(0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以 =1-9x+30x3-45x3+30x4-9x5+x6. 3. 求函數(shù)按(x-4)的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的3階泰勒公式. 解 因?yàn)?, , , , ,所以 (0<q<1). 4. 求函數(shù)f(x)=ln x按(x-2)的冪展開的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒公式. 解 因?yàn)?f ¢(x)=x-1, f ¢¢(x)=(-1)x-2, f ¢¢¢(x)=(-1)(-2)x-3

4、 , × × × , ; (k=1, 2, × × ×, n+1), 所以 . 5. 求函數(shù)按(x+1)的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒公式. 解 因?yàn)?f(x)=x-1, f ¢(x)=(-1)x-2, f ¢¢(x)=(-1)(-2)x-3 , × × × , ; (k=1, 2, × × ×, n), 所以 (0<q<1). 6. 求函數(shù)f(x)=tan x的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的3階麥克勞林公式. 解 因?yàn)?f ¢

5、;(x)=sec2x, f ¢¢(x)=2sec x×sec x×tan x=2sec2x×tan x, f ¢¢¢(x)=4sec x×sec x×tan2x+2sec4x=4sec2x×tan2x+2sec4x, f (4)(x)=8sec2x×tan3x+8sec4x×tan x+8sec4x×tan x; f(0)=0, f ¢(0)=1, f ¢¢(0)=0, f ¢¢¢(0)=2, 所

6、以 (0<q<1). 7. 求函數(shù)f(x)=xex 的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的n階麥克勞林公式. 解 因?yàn)?f ¢(x)=ex+xex, f ¢¢(x)=ex+ex+xex=2ex+xex, f ¢¢¢(x)=2ex+ex+xex=3ex+xex, × × ×, f (n)(x)=nex+xex; f (k)(0)=k (k=1, 2, × × ×, n), 所以 . 8. 驗(yàn)證當(dāng)時(shí), 按公式計(jì)算ex的近似值時(shí), 所產(chǎn)生的誤差小于0.01, 并求的近似值, 使誤差小于0

7、.01. 解 因?yàn)楣接叶藶閑x的三階麥克勞林公式, 其余項(xiàng)為 , 所以當(dāng)時(shí)，按公式計(jì)算ex的誤差 . . 9. 應(yīng)用三階泰勒公式求下列各數(shù)的近似值, 并估計(jì)誤差: (1); (2)sin18°. 解 (1)設(shè), 則f(x)在x0=27點(diǎn)展開成三階泰勒公式為 (x介于27與x之間). 于是 , 其誤差為 . (2) 已知 (x介于0與x之間), 所以 sin 18°, 其誤差為 . 10. 利用泰勒公式求下列極限: (1); (2); (3). 解 (1). 因?yàn)? 所以 . (2) . (3) . 習(xí)題3-4 1. 判定函數(shù)f(x)=arctan x-x 單調(diào)性. 解 因

8、為, 且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立, 所以f(x)在(-¥, +¥)內(nèi)單調(diào)減少. 2. 判定函數(shù)f(x)=x+cos x (0£x£2p)的單調(diào)性. 解 因?yàn)閒 ¢(x)=1-sin x³0, 所以f(x)=x+cos x在0, 2p上單調(diào)增加. 3. 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: (1) y=2x3-6x2-18x-7; (2)(x>0); (3); (4); (5) y=(x-1)(x+1)3; (6); (7) y=xne-x (n>0, x³0); (8)y=x+|sin 2x|. 解 (1) y¢=6x

9、2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0, 令y¢=0得駐點(diǎn)x1=-1, x2=3. 列表得x(-¥, -1)-1(-1, 3)3(3, +¥)y¢+0-0+y 可見函數(shù)在(-¥, -1和3, +¥)內(nèi)單調(diào)增加, 在-1, 3內(nèi)單調(diào)減少. (2) ,令y¢=0得駐點(diǎn)x1=2, x2=-2(舍去). 因?yàn)楫?dāng)x>2時(shí), y>0; 當(dāng)0<x<2時(shí), y¢<0, 所以函數(shù)在(0, 2內(nèi)單調(diào)減少, 在2, +¥)內(nèi)單調(diào)增加. (3), 令y¢=0得駐點(diǎn), x2=1, 不可

10、導(dǎo)點(diǎn)為x=0. 列表得x(-¥, 0)0(0, )(, 1)1(1, +¥)y¢-不存在-0+0-y0 可見函數(shù)在(-¥, 0), , 1, +¥)內(nèi)單調(diào)減少, 在上單調(diào)增加. (4)因?yàn)? 所以函數(shù)在(-¥, +¥)內(nèi)單調(diào)增加. (5) y¢=(x+1)3+3(x-1)(x+1)2. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y¢<0; 當(dāng)時(shí), y¢>0, 所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少, 在內(nèi)單調(diào)增加. (6), 駐點(diǎn)為, 不可導(dǎo)點(diǎn)為, x3=a . 列表得xa(a, +¥)y¢+不存在+0-不存在

11、+y 可見函數(shù)在, , (a, +¥)內(nèi)單調(diào)增加, 在內(nèi)單調(diào)減少. (7)y¢=e-xxn-1(n-x), 駐點(diǎn)為x=n. 因?yàn)楫?dāng)0<x<n時(shí), y¢>0; 當(dāng)x>n時(shí), y¢<0, 所以函數(shù)在0, n上單調(diào)增加, 在n, +¥)內(nèi)單調(diào)減少. (8)(k=0, ±1, ±2, × × ×), (k=0, ±1, ±2, × × ×). y¢是以p為周期的函數(shù), 在0, p內(nèi)令y¢=0, 得駐點(diǎn),

12、, 不可導(dǎo)點(diǎn)為. 列表得xy¢+0-不存在+0-y根據(jù)函數(shù)在0, p上的單調(diào)性及y¢在(-¥, +¥)的周期性可知函數(shù)在上單調(diào)增加, 在上單調(diào)減少(k=0, ±1, ±2, × × ×). 4. 證明下列不等式: (1)當(dāng)x>0時(shí), ; (2)當(dāng)x>0時(shí), ; (3)當(dāng)時(shí), sin x+tan x>2x; (4)當(dāng)時(shí), ; (5)當(dāng)x>4時(shí), 2x>x2; 證明 (1)設(shè), 則f (x)在0, +¥)內(nèi)是連續(xù)的. 因?yàn)?, 所以f (x)在(0, +¥)內(nèi)

13、是單調(diào)增加的, 從而當(dāng)x>0時(shí)f (x)>f (0)=0, 即 , 也就是 . (2)設(shè), 則f (x)在0, +¥)內(nèi)是連續(xù)的. 因?yàn)?, 所以f (x)在(0, +¥)內(nèi)是單調(diào)增加的, 從而當(dāng)x>0時(shí)f(x)>f(0)=0, 即 , 也就是 . (3)設(shè)f(x)=sin x+tan x-2x, 則f(x)在內(nèi)連續(xù), f ¢(x)=cos x+sec2x-2. 因?yàn)樵趦?nèi)cos x-1<0, cos2x-1<0, -cos x<0, 所以f ¢(x)>0, 從而f(x)在內(nèi)單調(diào)增加, 因此當(dāng)時(shí), f(x)&

14、gt;f(0)=0, 即 sin x+tan x-2x>0, 也就是 sin x+tan x>2x. (4)設(shè), 則f(x)在內(nèi)連續(xù), . 因?yàn)楫?dāng)時(shí), tan x>x, tan x+x>0, 所以f ¢(x)在內(nèi)單調(diào)增加, 因此當(dāng)時(shí), f(x)>f(0)=0, 即 , 也就是 . (5)設(shè)f(x)=x ln2-2ln x, 則f (x)在4, +¥)內(nèi)連續(xù), 因?yàn)?, 所以當(dāng)x>4時(shí), f ¢(x)>0, 即f(x)內(nèi)單調(diào)增加. 因此當(dāng)x>4時(shí), f(x)>f(4)=0, 即x ln2-2ln x>0,

15、也就是2x>x2. 5. 討論方程ln x=ax (其中a>0)有幾個(gè)實(shí)根？ 解 設(shè)f(x)=ln x-ax. 則f(x)在(0, +¥)內(nèi)連續(xù), , 駐點(diǎn)為. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), f ¢(x)>0, 所以f(x)在內(nèi)單調(diào)增加; 當(dāng)時(shí), f ¢(x)<0, 所以f(x)在內(nèi)單調(diào)減少. 又因?yàn)楫?dāng)x®0及x®+¥時(shí), f(x)®-¥, 所以如果, 即, 則方程有且僅有兩個(gè)實(shí)根; 如果, 即, 則方程沒有實(shí)根. 如果, 即, 則方程僅有一個(gè)實(shí)根. 6. 單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是否必為單調(diào)函數(shù)？研究下面這個(gè)例子:

16、 f(x)=x+sin x . 解 單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定為單調(diào)函數(shù). 例如f(x)=x+sin x在(-¥,+¥)內(nèi)是單調(diào)增加的, 但其導(dǎo)數(shù)不是單調(diào)函數(shù). 事實(shí)上, f ¢(x)=1+cos x³0, 這就明f(x)在(-¥, +¥)內(nèi)是單調(diào)增加的. f ¢¢(x)=-sin x在(-¥, +¥)內(nèi)不保持確定的符號(hào), 故f ¢(x)在(-¥, +¥)內(nèi)不是單調(diào)的. 7. 判定下列曲線的凹凸性: (1) y=4x-x2 ; (2) y=sh x; (3)(x>

17、0); (4) y=x arctan x ; 解 (1)y¢=4-2x, y¢¢=-2, 因?yàn)閥¢¢<0, 所以曲線在(-¥, +¥)內(nèi)是凸的. (2)y¢=ch x, y¢¢=sh x. 令y¢¢=0, 得x=0. 因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí), y¢¢=sh x<0; 當(dāng)x>0時(shí), y¢¢=sh x>0, 所以曲線在(-¥, 0內(nèi)是凸的, 在0, +¥)內(nèi)是凹的. (3), . 因?yàn)楫?dāng)x>0

18、時(shí), y¢¢>0, 所以曲線在(0, +¥)內(nèi)是凹的. (4),. 因?yàn)樵?-¥, +¥)內(nèi), y¢¢>0, 所以曲線y=xarctg x在(-¥, +¥)內(nèi)是凹的. 8. 求下列函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及凹或凸的區(qū)間: (1).y=x3-5x2+3x+5 ; (2) y=xe-x ; (3) y=(x+1)4+ex ; (4) y=ln(x2+1); (5) y=earctan x ; (6) y=x4(12ln x-7), 解 (1)y¢=3x2-10x+3, y¢¢=

19、6x-10. 令y¢¢=0, 得. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y¢¢<0; 當(dāng)時(shí), y¢¢>0, 所以曲線在內(nèi)是凸的, 在內(nèi)是凹的, 拐點(diǎn)為. (2)y¢=e-x-xe-x, y¢¢=-e-x-e-x+xe-x=e-x(x-2). 令y¢¢=0, 得x=2. 因?yàn)楫?dāng)x<2時(shí), y¢¢<0; 當(dāng)x>2時(shí), y¢¢>0, 所以曲線在(-¥, 2內(nèi)是凸的, 在2, +¥)內(nèi)是凹的, 拐點(diǎn)為(2, 2e-2).

20、(3)y¢=4(x+1)3+ex, y¢¢=12(x+1)2+ex . 因?yàn)樵?-¥, +¥)內(nèi), y¢¢>0, 所以曲線y=(x+1)4+ex的在(-¥, +¥)內(nèi)是凹的, 無拐點(diǎn). (4), . 令y¢¢=0, 得x1=-1, x2=1. 列表得x(-¥, -1)-1(-1, 1)1(1, +¥)y¢¢-0+0-yÇln2拐點(diǎn)Èln2拐點(diǎn)Ç 可見曲線在(-¥, -1和1, +¥)內(nèi)是凸的

21、, 在-1, 1內(nèi)是凹的, 拐點(diǎn)為(-1, ln2)和(1, ln2). (5),. 令y¢¢=0得, . 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y¢¢>0; 當(dāng)時(shí), y¢¢<0, 所以曲線y=earctg x在內(nèi)是凹的, 在內(nèi)是凸的, 拐點(diǎn)是. (6) y¢=4x3(12ln x-7)+12x3, y¢¢=144x2×ln x. 令y¢¢=0, 得x=1. 因?yàn)楫?dāng)0<x<1時(shí), y¢¢<0; 當(dāng)x>1時(shí), y¢¢>0,

22、 所以曲線在(0, 1內(nèi)是凸的, 在1, +¥)內(nèi)是凹的, 拐點(diǎn)為(1, -7). 9. 利用函數(shù)圖形的凹凸性, 證明下列不等式: (1) (x>0, y>0, x¹y, n>1); (2); (3) (x>0, y>0, x¹y). 證明 (1)設(shè)f(t)=tn, 則f ¢(t)=ntn-1, f ¢¢(t)=n(n-1)t n-2. 因?yàn)楫?dāng)t>0時(shí), f ¢¢(t)>0, 所以曲線f(t)=t n在區(qū)間(0, +¥)內(nèi)是凹的. 由定義, 對任意的x>0,

23、 y>0, x¹y有 , 即 . (2)設(shè)f(t)=et, 則f ¢(t)=et, f ¢¢(t)=et . 因?yàn)閒 ¢¢(t)>0, 所以曲線f(t)=et在(-¥, +¥)內(nèi)是凹的. 由定義, 對任意的x, yÎ(-¥, +¥), x¹y有 , 即 . (3)設(shè)f(t)=t ln t , 則 f ¢(t)=ln t+1, . 因?yàn)楫?dāng)t>0時(shí), f ¢¢(t)>0, 所以函數(shù)f(t)=t ln t 的圖形在(0, +&#

24、165;)內(nèi)是凹的. 由定義, 對任意的x>0, y>0, x¹y 有 , 即 . 10. 試證明曲線有三個(gè)拐點(diǎn)位于同一直線上. 證明 , . 令y¢¢=0, 得x1=-1, , . 例表得x(-¥. -1) -1y¢-0+0-0+yÇ-1ÈÇÈ 可見拐點(diǎn)為(-1, -1), , . 因?yàn)?, , 所以這三個(gè)拐點(diǎn)在一條直線上. 11. 問a、b為何值時(shí), 點(diǎn)(1, 3)為曲線y=ax3+bx2的拐點(diǎn)？ 解 y¢=3ax2+2bx, y¢¢=6ax+2b. 要使(1

25、, 3)成為曲線y=ax3+bx2的拐點(diǎn), 必須y(1)=3且y¢¢(1)=0, 即a+b=3且6a +2b=0, 解此方程組得, . 12. 試決定曲線y=ax3+bx2+cx+d 中的a、b、c、d, 使得x=-2處曲線有水平切線, (1, -10)為拐點(diǎn), 且點(diǎn)(-2, 44)在曲線上. 解 y¢=3ax2+2bx+c, y¢¢=6ax+2b . 依條件有 , 即. 解之得a=1, b=-3, c=-24, d=16. 13. 試決定y=k(x2-3)2中k的值, 使曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn). 解y¢=4kx3-12kx, y

26、¢¢=12k(x-1)(x+1). 令y¢¢=0, 得x1=-1, x2=1. 因?yàn)樵趚1=-1的兩側(cè)y¢¢是異號(hào)的, 又當(dāng)x=-1時(shí)y=4k, 所以點(diǎn)(-1, 4k)是拐點(diǎn). 因?yàn)閥¢(-1)=8k, 所以過拐點(diǎn)(-1, 4k)的法線方程為. 要使法線過原點(diǎn), 則(0, 0)應(yīng)滿足法線方程, 即, . 同理, 因?yàn)樵趚1=1的兩側(cè)y¢¢是異號(hào)的, 又當(dāng)x=1時(shí)y=4k, 所以點(diǎn)(1, 4k)也是拐點(diǎn). 因?yàn)閥¢(1)=-8k, 所以過拐點(diǎn)(-1, 4k)的法線方程為. 要使法線過原點(diǎn), 則(0

27、, 0)應(yīng)滿足法線方程, 即, . 因此當(dāng)時(shí), 該曲線的拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn). 14. 設(shè)y=f(x)在x=x0的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 如果f ¢¢(x 0)=0, 而f ¢¢¢(x0)¹0, 試問 (x0, f(x0)是否為拐點(diǎn)？為什么？ 解 不妨設(shè)f ¢¢¢(x0)>0. 由f ¢¢¢(x)的連續(xù)性, 存在x0的某一鄰域(x0-d, x0+d), 在此鄰域內(nèi)有f ¢¢¢(x)>0. 由拉格朗日中值定理, 有 f ¢

28、¢(x)-f ¢¢(x0)=f ¢¢¢(x)(x-x0) (x介于x0與x之間), 即 f ¢¢(x)=f ¢¢¢(x)(x-x0). 因?yàn)楫?dāng)x0-d<x<x0時(shí), f ¢¢(x)<0; 當(dāng)x0<x<x0+d 時(shí), f ¢¢(x)>0, 所以(x0, f(x0)是拐點(diǎn). 習(xí)題3-5 1. 求函數(shù)的極值: (1) y=2x3-6x2-18x+7; (2) y=x-ln(1+x) ; (3) y=-x4+2x2 ;

29、 (4); (5); (6); (7) y=ex cos x ; (8); (9); (10) y=x+tan x . 解 (1)函數(shù)的定義為(-¥, +¥), y¢=6x2-12x-18=6(x2-2x-3)=6(x-3)(x+1), 駐點(diǎn)為x1=-1, x2=3. 列表x(-¥, -1)-1(-1, 3)3(3, +¥)y¢+0-0+y 17極大值-47極小值 可見函數(shù)在x=-1處取得極大值17, 在x=3處取得極小值-47. (2)函數(shù)的定義為(-1, +¥), , 駐點(diǎn)為x=0. 因?yàn)楫?dāng)-1<x<0時(shí),

30、y¢<0; 當(dāng)x>0時(shí), y¢>0, 所以函數(shù)在x=0處取得極小值, 極小值為y(0)=0. (3)函數(shù)的定義為(-¥, +¥), y¢=-4x3+4x=-4x(x2-1), y¢¢=-12x2+4, 令y¢=0, 得x1=0, x2=-1, x3=1. 因?yàn)閥¢¢(0)=4>0, y¢¢(-1)=-8<0, y¢¢(1)=-8<0, 所以y(0)=0是函數(shù)的極小值, y(-1)=1和y(1)=1是函數(shù)的極大值. (4)

31、函數(shù)的定義域?yàn)?-¥, 1, , 令y¢=0, 得駐點(diǎn). 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y¢>0; 當(dāng)時(shí), y¢<0, 所以為函數(shù)的極大值. (5)函數(shù)的定義為(-¥, +¥), , 駐點(diǎn)為. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y¢>0; 當(dāng)時(shí), y¢<0, 所以函數(shù)在處取得極大值, 極大值為. (6)函數(shù)的定義為(-¥, +¥), , 駐點(diǎn)為x1=0, x2=-2. 列表x(-¥, -2)-2(-2, 0)0(0, +¥)y¢-0+0-y 極小值4極大值 可見函數(shù)在x=-2處取得

32、極小值, 在x=0處取得極大值4. (7)函數(shù)的定義域?yàn)?-¥, +¥). y¢=e x(cos x-sin x ), y¢¢=-e xsin x. 令y¢=0, 得駐點(diǎn), , (k=0, ±1, ±2, × × ×). 因?yàn)? 所以是函數(shù)的極大值. 因?yàn)閥¢¢, 所以是函數(shù)的極小值. (8)函數(shù)的定義域?yàn)?0, +¥), . 令y¢=0, 得駐點(diǎn)x=e . 因?yàn)楫?dāng)x<e時(shí), y¢>0; 當(dāng)x>e時(shí), y¢&

33、lt;0, 所以為函數(shù)f(x)的極大值. (9)函數(shù)的定義域?yàn)?-¥, +¥), , 因?yàn)閥¢<0, 所以函數(shù)在(-¥, +¥)是單調(diào)減少的, 無極值. (10)函數(shù)y=x+tg x 的定義域?yàn)?k=0, ±1, ±2, × × ×). 因?yàn)閥¢=1+sec 2x >0, 所以函數(shù)f(x)無極值. 2. 試證明: 如果函數(shù)y=ax3+bx2+cx +d 滿足條件b2 -3ac<0, 那么這函數(shù)沒有極值 . 證明y¢=3a x2+2b x+c. 由b2 -3a

34、c<0, 知a¹0. 于是配方得到 y¢=3a x2+2b x+c, 因3ac-b2>0, 所以當(dāng)a>0時(shí), y¢>0; 當(dāng)a<0時(shí), y¢<0. 因此y=ax3+bx2+cx +d是單調(diào)函數(shù), 沒有極值. 3. 試問a為何值時(shí), 函數(shù)在處取得極值？它是極大值還是極小值？并求此極值. 解 f ¢(x)=acos x+cos 3x, f ¢¢(x)=-asin x-3 sin x. 要使函數(shù)f(x)在處取得極值, 必有, 即, a=2 . 當(dāng)a=2時(shí), . 因此, 當(dāng)a=2時(shí), 函數(shù)f (x

35、)在處取得極值, 而且取得極大值, 極大值為. 4. 求下列函數(shù)的最大值、最小值: (1) y=2x3-3x2 , -1£x£4; (2) y=x4-8x2+2, -1£x£3 ; (3), -5£x£1. 解 (1)y¢=6x2-6x=6x(x-1), 令y¢=0, 得x1=0, x2=1. 計(jì)算函數(shù)值得 y(-1)=-5, y(0)=0, y(1)=-1, y(4)=80, 經(jīng)比較得出函數(shù)的最小值為y(-1)=-5, 最大值為y(4)=80. (2)y¢=4x3-16x=4x(x2-4), 令y

36、62;=0, 得x1=0, x2=-2(舍去), x 3=2. 計(jì)算函數(shù)值得 y(-1)=-5, y(0)=2, y(2)=-14, y(3)=11, 經(jīng)比較得出函數(shù)的最小值為y(2)=-14, 最大值為y(3)=11. (3), 令y¢=0, 得. 計(jì)算函數(shù)值得 , , y(1)=1,經(jīng)比較得出函數(shù)的最小值為, 最大值為. 5. 問函數(shù)y=2x3-6x2-18x-7(1£x£4)在何處取得最大值？并求出它的最大值. 解 y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1), 函數(shù)f(x)在1£x£4內(nèi)的駐點(diǎn)為x=3. 比較函數(shù)值: f

37、(1)=-29, f(3)=-61, f(4)=-47, 函數(shù)f(x)在x=1處取得最大值, 最大值為f (1)=-29. 6. 問函數(shù)(x<0)在何處取得最小值？ 解 , 在(-¥, 0)的駐點(diǎn)為x=-3. 因?yàn)?, , 所以函數(shù)在x=-3處取得極小值. 又因?yàn)轳v點(diǎn)只有一個(gè), 所以這個(gè)極小值也就是最小值, 即函數(shù)在x=-3處取得最小值, 最小值為. 7. 問函數(shù)(x³0)在何處取得最大值？ 解 . 函數(shù)在(0, +¥)內(nèi)的駐點(diǎn)為x=1. 因?yàn)楫?dāng)0<x<1時(shí), y¢>0; 當(dāng)x>1時(shí)y¢<0, 所以函數(shù)在x=

38、1處取得極大值. 又因?yàn)楹瘮?shù)在(0, +¥)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 所以此極大值也是函數(shù)的最大值, 即函數(shù)在x=1處取得最大值, 最大值為f (1)=. 8. 某車間靠墻壁要蓋一間長方形小屋, 現(xiàn)有存磚只夠砌20cm長的墻壁, 問應(yīng)圍成怎樣的長方形才能使這間小屋的面積最大？ 解 設(shè)寬為x長為y, 則2x+y=20, y=20-2x, 于是面積為 S= xy=x(20-2x)=20x-2x2. S ¢=20-4x=4(10-x), S ¢¢=-4. 令S ¢=0, 得唯一駐點(diǎn)x=10. 因?yàn)镾 ¢¢(10)-4<0, 所以x=

39、10為極大值點(diǎn), 從而也是最大值點(diǎn). 當(dāng)寬為5米, 長為10米時(shí)這間小屋面積最大. 9. 要造一圓柱形油罐, 體積為V, 問底半徑r和高h(yuǎn)等于多少時(shí), 才能使表面積最?。窟@時(shí)底直徑與高的比是多少？ 解 由V=p r2h, 得h=Vp-1r-2. 于是油罐表面積為 S=2p r2+2p rh(0<x<+¥), . 令S ¢=0, 得駐點(diǎn). 因?yàn)? 所以S在駐點(diǎn)處取得極小值, 也就是最小值. 這時(shí)相應(yīng)的高為. 底直徑與高的比為2r : h=1 : 1. 10. 某地區(qū)防空洞的截面擬建成矩形加半圓(如圖), 截面的面積為5m2, 問底寬x為多少時(shí)才能使截面的周長最小,

40、 從而使建造時(shí)所用的材料最省？ 解 設(shè)矩形高為h , 截面的周長S, 則, . 于是 (), . 令S ¢=0, 得唯一駐點(diǎn). 因?yàn)? 所以為極小值點(diǎn), 同時(shí)也是最小值點(diǎn). 因此底寬為時(shí)所用的材料最省. 11. 設(shè)有重量為5kg的物體, 置于水平面上, 受力F的作用而開始移動(dòng)(如圖). 設(shè)摩擦系數(shù)m=0.25, 問力F與水平線的交角a為多少時(shí), 才可使力F的大小為最??？ 解 由F cos a =(m-Fsin a)m 得 (), , 駐點(diǎn)為 a = arctan m. 因?yàn)镕 的最小值一定在內(nèi)取得, 而F 在內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)a = arctan m, 所以a=arctan m一定也是F

41、 的最小值點(diǎn). 從而當(dāng)a=arctan0.25=14°時(shí), 力F 最小. 12. 有一杠桿, 支點(diǎn)在它的一端. 在距支點(diǎn)0.1m處掛一重量為49kg的物體. 加力于杠桿的另一端使杠桿保持水平(如圖). 如果杠桿的線密度為5kg/m, 求最省力的桿長? 解 設(shè)桿長為x (m), 加于杠桿一端的力為F, 則有 , 即. , 駐點(diǎn)為x=1.4. 由問題的實(shí)際意義知, F的最小值一定在(0, +¥)內(nèi)取得, 而F在(0, +¥)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)x=1.4, 所以F 一定在x=1.4m處取得最小值, 即最省力的桿長為1.4m. 13. 從一塊半徑為的圓鐵片上挖去一個(gè)扇形做成一

42、漏斗(如圖), 問留下的扇形的中心角j取多大時(shí), 做成的漏斗的容積最大？ 解 漏斗的底周長l、底半徑r、高h(yuǎn) 分別為 l=R×j, , . 漏斗的容積為 (0<j<2p). ，駐點(diǎn)為. 由問題的實(shí)際意義, V 一定在(0, 2p)內(nèi)取得最大值, 而V 在(0, 2p)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 所以該駐點(diǎn)一定也是最大值點(diǎn). 因此當(dāng)j 時(shí), 漏斗的容積最大. 14. 某吊車的車身高為1.5m, 吊臂長15m, 現(xiàn)在要把一個(gè)6m寬、2m高的屋架, 水平地吊到6m高的柱子上去(如圖), 問能否吊得上去？ 解 設(shè)吊臂對地面的傾角為j時(shí), 屋架能夠吊到的最大高度為h. 在直角三角形DEDG中

43、 15sin j=(h-1. 5)+2+3tan j, 故 , . 令h¢=0得唯一駐點(diǎn)°. 因?yàn)? 所以j=54°為極大值點(diǎn), 同時(shí)這也是最大值點(diǎn). 當(dāng)j=54°時(shí), m. 所以把此屋最高能水平地吊至7. 5m高, 現(xiàn)只要求水平地吊到6m處, 當(dāng)然能吊上去. 15. 一房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租. 當(dāng)月租金定為1000元時(shí), 公寓會(huì)全部租出去. 當(dāng)月租金每增加50元時(shí), 就會(huì)多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花費(fèi)100元的維修費(fèi). 試問房租定為多少可獲最大收入？ 解 房租定為x元, 純收入為R元. 當(dāng)x£1000時(shí), R=50x-5

44、0´100=50x-5000, 且當(dāng)x=1000時(shí), 得最大純收入45000元. 當(dāng)x>1000時(shí), , . 令R¢=0得(1000, +¥)內(nèi)唯一駐點(diǎn)x=1800. 因?yàn)? 所以1800為極大值點(diǎn), 同時(shí)也是最大值點(diǎn). 最大值為R=57800. 因此, 房租定為1800元可獲最大收入. 習(xí)題3-6 描繪下列函數(shù)的圖形: 1. ; 解 (1)定義域?yàn)?-¥, +¥); (2), , 令y¢=0, 得x=-2, x=1; 令y¢¢=0, 得x=-1, x=1. (3)列表x(-¥, -2)-2(-2,

45、 -1)-1(-1, 1)1(1, +¥)y¢-0+0+y¢¢+0-0+y=f(x)È極小值È拐點(diǎn)Ç2拐點(diǎn)È (4)作圖: 2. ; 解 (1)定義域?yàn)?-¥, +¥); (2)奇函數(shù), 圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱, 故可選討論x³0時(shí)函數(shù)的圖形. (3), , 當(dāng)x³0時(shí), 令y¢=0, 得x=1; 令y¢¢=0, 得x=0, . (4)列表x0(0, 1)1(1, )(, +¥)y¢+0-y¢¢0-0+y=f(x

46、)0拐點(diǎn)Ç極大值Ç拐點(diǎn)È (5)有水平漸近線y=0; (6)作圖: 3. ; 解 (1)定義域?yàn)?-¥, +¥); (2), 令y¢=0, 得x=1; 令y¢¢=0, 得, . (3)列表x1y¢+0-y¢¢+0-0+y=f(x)È拐點(diǎn)Ç1極大值Ç拐點(diǎn)È (4)有水平漸近線y=0; (5)作圖: 4. ; 解 (1)定義域?yàn)?-¥, 0)È(0, +¥); (2), , 令y¢=0, 得; 令y¢

47、¢=0, 得x=-1. (3)列表x(-¥, -1)-1(-1, 0)0y¢-無-0+y¢¢+0-無+y=f(x)È0拐點(diǎn)Ç無È極小值È (4)有鉛直漸近線x=0; (5)作圖: 5. . 解 (1)定義域?yàn)?n=0, ±1, ±2, × × ×) (2)是偶函數(shù), 周期為2 p . 可先作0, p上的圖形, 再根據(jù)對稱性作出-p, 0)內(nèi)的圖形, 最后根據(jù)周期性作出-p, p以外的圖形; (3), , 在0, p上, 令y¢=0, 得x=0,

48、x=p ; 令y¢¢=0, 得. (4)列表x0py¢0+無+無+0y¢¢+無-0+無-y=f(x)1極小值È無Ç0拐點(diǎn)È無Ç-1極大值 (5)有鉛直漸近線及; (6)作圖: 習(xí)題3-7 1. 求橢圓4x2+y2=4在點(diǎn)(0, 2)處的曲率. 解 兩邊對x求導(dǎo)數(shù)得 8x+2yy¢=0, , . y¢|(0, 2)=0, y¢¢|(0, 2)=-2. 所求曲率為 . 2. 求曲線y=lnsec x在點(diǎn)(x, y)處的曲率及曲率半徑. 解 , . 所求曲率為 , 曲率半

49、徑為 . 3. 求拋物線y=x2-4x+3在其頂點(diǎn)處的曲率及曲率半徑. 解 y¢=2x-4, y¢¢=2. 令y¢=0, 得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=2. y¢|x=2=0, y¢¢|x=2=2. 所求曲率為 , 曲率半徑為 . 4. 求曲線x=a cos3t, y=a sin 3t在t=t0處的曲率. 解 , . 所求曲率為 , . 5. 對數(shù)曲線y=ln x上哪一點(diǎn)處的曲率半徑最?。壳蟪鲈擖c(diǎn)處的曲率半徑. 解 , . , , . 令r¢=0, 得. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), r<0; 當(dāng)時(shí), r>0, 所以是r的極小值點(diǎn)

50、, 同時(shí)也最小值點(diǎn). 當(dāng)時(shí), . 因此在曲線上點(diǎn)處曲率半徑最小, 最小曲率半徑為. 6. 證明曲線在點(diǎn)(x, y)處的曲率半徑為. 解 , . 在點(diǎn)(x, y)處的曲率半徑為 . 7. 一飛機(jī)沿拋物線路徑(y軸鉛直向上, 單位為m)作俯沖飛行, 在坐標(biāo)原點(diǎn)O處飛機(jī)的速度為v=200m/s飛行員體重G=70Kg. 求飛機(jī)俯沖至最低點(diǎn)即原點(diǎn)O處時(shí)座椅對飛行員的反力. 解 , ; y¢|x=0=0, . . 向心力(牛頓). 飛行員離心力及它本身的重量對座椅的壓力為 79´9.8+560=1246(牛頓). 8. 汽車連同載重共5t, 在拋物線拱橋上行駛, 速度為21.6km/h

51、, 橋的跨度為10m, 拱的矢高為0.25m . 求汽車越過橋頂時(shí)對橋的壓力. 解 如圖取直角坐標(biāo)系, 設(shè)拋物線拱橋方程為y=ax2, 由于拋物線過點(diǎn)(5, 0.25), 代入方程得 , 于是拋物線方程為y=0. 01x2. y¢=0.02x, y¢¢=0.02. . 向心力為(牛頓). 因?yàn)槠囍貫?噸, 所以汽車越過橋頂時(shí)對橋的壓力為 5´103´9.8-3600=45400(牛頓). *9. 求曲線y=ln x在與x軸交點(diǎn)處的曲率圓方程. *10. 求曲線y=tan x在點(diǎn)處的曲率圓方程. *11. 求拋物線y2=2px的漸屈線方程. 總

52、習(xí)題三 1. 填空: 設(shè)常數(shù)k>0, 函數(shù)在(0, +¥)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_. 解 應(yīng)填寫2. 提示: , . 在(0, +¥)內(nèi), 令f ¢(x)=0, 得唯一駐點(diǎn)x=e . 因?yàn)閒 ¢¢(x)<0, 所以曲線在(0, +¥)內(nèi)是凸的, 且駐點(diǎn)x=e一定是最大值點(diǎn), 最大值為f(e)=k>0. 又因?yàn)? , 所以曲線經(jīng)過x軸兩次, 即零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2. 2. 選擇以下題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論: 設(shè)在0, 1上f ¢¢(x)>0, 則f ¢(0), f ¢(1),

53、f(1)-f(0)或f(0)-f(1)幾個(gè)數(shù)的大小順序?yàn)? ). (A)f ¢(1)>f ¢(0)>f(1)-f(0); (B)f ¢(1)>f(1)-f(0)>f ¢(0); (C)f(1)-f(0)>f ¢(1)>f ¢(0); (D)f ¢(1)>f(0)-f(1)>f ¢(0). 解 選擇B . 提示: 因?yàn)閒 ¢¢(x)>0, 所以f ¢(x)在0, 1上單調(diào)增加, 從而f ¢(1)>f ¢(x)

54、>f ¢(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f(1)-f(0)=f ¢(x), xÎ0, 1, 所以 f ¢(1)> f(1)-f(0)>f ¢(0). 3. 列舉一個(gè)函數(shù)f(x)滿足: f(x)在a, b上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)除某一點(diǎn)外處處可導(dǎo), 但在(a, b)內(nèi)不存在點(diǎn)x , 使f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a). 解 取f(x)=|x|, xÎ-1, 1. 易知f(x)在-1, 1上連續(xù), 且當(dāng)x>0時(shí)f ¢(x)=1; 當(dāng)x>0時(shí), f ¢(x)=-1;

55、f ¢(0)不存在, 即f(x)在-1, 1上除x=0外處處可導(dǎo). 注意f(1)-f(-1)=0, 所以要使f(1)-f(-1)=f ¢(x)(1-(-1)成立, 即f ¢(x)=0, 是不可能的. 因此在(-1, 1)內(nèi)不存在點(diǎn)x , 使f(1)-f(-1)=f ¢(x)(1-(-1). 4. 設(shè), 求. 解 根據(jù)拉格朗日中值公式, f(x+a)-f (x)=f ¢(x )×a, x 介于x+a 與x之間. 當(dāng)x®¥ 時(shí), x ® ¥, 于是 . 5. 證明多項(xiàng)式f (x)=x3-3x+a在0

56、, 1上不可能有兩個(gè)零點(diǎn). 證明 f ¢(x)=3x2-3=3(x2-1), 因?yàn)楫?dāng)xÎ(0, 1)時(shí), f ¢(x)<0, 所以f (x)在0, 1上單調(diào)減少. 因此, f(x) 在0, 1上至多有一個(gè)零點(diǎn). 6. 設(shè)=0, 證明多項(xiàng)式f(x)=a0+a1x+× × ×+anxn在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn). 證明 設(shè), 則F(x)在0, 1上連續(xù), 在(0, 1)內(nèi)可導(dǎo), 且F(0)=F(1)=0. 由羅爾定理, 在(0, 1)內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)x , 使F(x )=0. 而F ¢(x)=f(x), 所以f(x)在(0

57、, 1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn). 7. 設(shè)f(x)在0, a上連續(xù), 在(0, a)內(nèi)可導(dǎo), 且f(a)=0, 證明存在一點(diǎn)xÎ(0, a), 使f(x)+xf ¢(x)=0. 證明 設(shè)F(x)=xf(x), 則F(x)在0, a 上連續(xù), 在(0, a )內(nèi)可導(dǎo), 且F(0)=F(a)=0. 由羅爾定理, 在(0, a )內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)x , 使F(x )=0. 而F(x)=f(x)+x f ¢(x), 所以f(x)+xf ¢(x)=0. 8. 設(shè)0<a<b, 函數(shù)f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 試?yán)每挛髦兄刀ɡ? 證明存在一點(diǎn)xÎ(a, b)使. 證明 對于f(x)和ln x在a, b上用柯西中值定理, 有 , xÎ(a, b), 即 , xÎ(a, b). 9. 設(shè)f(x)、g(x)都是可導(dǎo)函數(shù), 且|f ¢(x)|<g¢(x), 證明: 當(dāng)x>a時(shí), |f(x)-f(a)|<g(x)-g(a). 證明 由條件|f ¢(x)|<g¢(x)得知, , 且有g(shù)¢(x)>0, g(x