空間幾何體的直觀圖課

1、橫看成嶺側(cè)成峰，橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同遠(yuǎn)近高低各不同.不識(shí)廬山真面目，不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中只緣身在此山中 題西林壁 蘇軾 F-141.2.1 1.2.1 平行投影和中心投影平行投影和中心投影ADCB中心投影中心投影平行投影平行投影斜投影斜投影正投影正投影三角形一定相似嗎？三角形一定相似嗎？一定是三角形嗎？一定是三角形嗎？1.1.中心投影法中心投影法: :投影線匯交于一點(diǎn)的投影法投影線匯交于一點(diǎn)的投影法. . 中心投影法sABCabcHABCabcABCabcHH平行投影法2.2.平行投影法平行投影法: :投影線相互平行的投影法.（1 1）斜投影法：）斜投影法：投影線傾斜于投影

2、面的平行投影法稱為斜投影法.（2 2）正投影法：）正投影法：投影線垂直于投影面的平行投影法稱為正投影法.斜投影法正投影法1.2.2 1.2.2 空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖 P R 首先，觀察從長(zhǎng)方體的正前方的正投影首先，觀察從長(zhǎng)方體的正前方的正投影正視圖正視圖 P R Q其次，觀察從長(zhǎng)方體的正左方的正投影其次，觀察從長(zhǎng)方體的正左方的正投影正視圖正視圖側(cè)視圖側(cè)視圖 V H W 再次，觀察從長(zhǎng)方體的正上方的正投影再次，觀察從長(zhǎng)方體的正上方的正投影正視圖正視圖側(cè)視圖側(cè)視圖俯視圖俯視圖你能發(fā)現(xiàn)你能發(fā)現(xiàn)這三個(gè)這三個(gè)視圖之間視圖之間有什么有什么關(guān)系嗎？關(guān)系嗎？三視圖的形成三視圖的形成物體向投影面

3、投影所得到的圖形稱為視圖。物體向投影面投影所得到的圖形稱為視圖。如果物體向三個(gè)互相垂直的投影面分別投影，所得到如果物體向三個(gè)互相垂直的投影面分別投影，所得到的三個(gè)圖形攤平在一個(gè)平面上，則就是三視圖。的三個(gè)圖形攤平在一個(gè)平面上，則就是三視圖。1.光線自物體的前面向后面投射所得的投光線自物體的前面向后面投射所得的投影稱為影稱為正視圖正視圖2.光線自上向下投射所得的投影稱為光線自上向下投射所得的投影稱為俯視俯視圖圖3.光線自左向右所得的投影稱為光線自左向右所得的投影稱為側(cè)視圖側(cè)視圖視圖視圖:將物體按正投影向投影面投射所得到將物體按正投影向投影面投射所得到的圖形的圖形. 幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖

4、通幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖通稱為幾何體的稱為幾何體的三視圖三視圖三視圖的對(duì)應(yīng)規(guī)律三視圖的對(duì)應(yīng)規(guī)律俯視圖和左視圖俯視圖和左視圖主視圖和俯視圖主視圖和俯視圖主視圖和左視圖主視圖和左視圖-長(zhǎng)對(duì)齊長(zhǎng)對(duì)齊-高對(duì)齊高對(duì)齊-寬對(duì)齊寬對(duì)齊 例例1、畫下例幾何體的三視圖、畫下例幾何體的三視圖俯視圖和左視圖俯視圖和左視圖主視圖和俯視圖主視圖和俯視圖主視圖和左視圖主視圖和左視圖-長(zhǎng)對(duì)齊長(zhǎng)對(duì)齊-高對(duì)齊高對(duì)齊-寬對(duì)齊寬對(duì)齊例例2、畫下例幾何體的三視圖、畫下例幾何體的三視圖例例3、畫下例幾何體的三視圖、畫下例幾何體的三視圖三視圖的畫法規(guī)則三視圖的畫法規(guī)則: :(1)(1)高平齊高平齊: :正視圖和正視圖和側(cè)視圖的高

5、保持平齊側(cè)視圖的高保持平齊(2)(2)寬相等寬相等: :側(cè)視圖的側(cè)視圖的寬和俯視圖的寬相等寬和俯視圖的寬相等(3)(3)長(zhǎng)對(duì)正長(zhǎng)對(duì)正: :正視圖和正視圖和俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正(4)看不到的棱和輪廓看不到的棱和輪廓線用虛線表示，能看線用虛線表示，能看到的則用實(shí)線表示到的則用實(shí)線表示三個(gè)視圖的位置三個(gè)視圖的位置正視圖正視圖側(cè)視圖側(cè)視圖“三視圖” 知多少左視圖左視圖俯視圖俯視圖w畫一個(gè)物體的畫一個(gè)物體的三視圖時(shí)三視圖時(shí),主視圖主視圖,左視圖左視圖,俯視圖俯視圖所畫的位置如圖所畫的位置如圖所示所示,且要符合如且要符合如下下原則原則:w長(zhǎng)對(duì)正長(zhǎng)對(duì)正,w高平齊高平齊,w寬相等寬相等.長(zhǎng)高寬主視圖主

6、視圖球的三視圖球的三視圖 正視圖正視圖側(cè)視圖側(cè)視圖俯視圖俯視圖正視圖正視圖側(cè)視圖側(cè)視圖俯視圖俯視圖圓柱的三視圖圓柱的三視圖圓錐的三視圖圓錐的三視圖正視圖正視圖側(cè)視圖側(cè)視圖俯視圖俯視圖畫下例幾何體的三視圖畫下例幾何體的三視圖正視圖側(cè)視圖俯視圖畫出下圖的三視圖畫出下圖的三視圖思考：下列兩組三視圖分別是什么幾何體？思考：下列兩組三視圖分別是什么幾何體？正視圖正視圖側(cè)視圖側(cè)視圖俯視圖俯視圖正視圖正視圖側(cè)視圖側(cè)視圖俯視圖俯視圖圓臺(tái)圓臺(tái)三棱錐三棱錐正視圖俯視圖一個(gè)幾何體的三視圖如下，則這個(gè)幾一個(gè)幾何體的三視圖如下，則這個(gè)幾何體是何體是_正視圖側(cè)視圖俯視圖六棱六棱錐錐1:1:一個(gè)幾何體某一方向的視圖是圓一個(gè)

7、幾何體某一方向的視圖是圓, ,則它不可能是則它不可能是( )( )A A 球球 B B 圓錐圓錐C C 圓柱圓柱 D D 長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體D課堂練習(xí)：2:2:三視圖有以下特點(diǎn)：正、俯視圖三視圖有以下特點(diǎn)：正、俯視圖對(duì)正；正、側(cè)視圖平齊；對(duì)正；正、側(cè)視圖平齊；俯、側(cè)視圖相等，前后照應(yīng)。俯、側(cè)視圖相等，前后照應(yīng)。長(zhǎng)高寬從上面看從上面看從左面看從左面看從正面看從正面看俯視圖俯視圖側(cè)視圖側(cè)視圖正視圖正視圖3.3.下圖的側(cè)視圖下圖的側(cè)視圖是（）是（）ABCB4.4.下圖的俯視圖是（）下圖的俯視圖是（）ABCC5.甲、乙、丙、丁四人分別面對(duì)面坐在一個(gè)四邊甲、乙、丙、丁四人分別面對(duì)面坐在一個(gè)四邊形桌子旁邊，桌上

8、一張紙上寫著數(shù)字形桌子旁邊，桌上一張紙上寫著數(shù)字“9”，甲說(shuō)，甲說(shuō)他看到的是他看到的是“6”，乙說(shuō)他看到的是，乙說(shuō)他看到的是“ ”，丙說(shuō)，丙說(shuō)他看到的是他看到的是“ ”，丁說(shuō)他看到的是，丁說(shuō)他看到的是“9”，則，則下列說(shuō)法正確的是下列說(shuō)法正確的是( )A.甲在丁的對(duì)面，乙在甲的左邊，丙在丁的右邊甲在丁的對(duì)面，乙在甲的左邊，丙在丁的右邊B.甲在丁的對(duì)面，乙在甲的右邊，丙在丁的右邊甲在丁的對(duì)面，乙在甲的右邊，丙在丁的右邊C.甲在乙的對(duì)面，甲的右邊是丙，左邊是丁甲在乙的對(duì)面，甲的右邊是丙，左邊是丁D.丙在乙的對(duì)面，丙的左邊是甲，右邊是乙丙在乙的對(duì)面，丙的左邊是甲，右邊是乙B P15探究v(1)自己動(dòng)

9、手制作一個(gè)底面是正方形、側(cè)面是全等的三角形的棱錐模型，并畫出它的三視圖。v（2）自己制作一個(gè)上、下底面都是正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形的棱臺(tái)模型，并畫出它的三視圖。課堂小結(jié)v1，三視圖中圖形之間的 內(nèi)在聯(lián)系。v2，三視圖與幾何體之間的對(duì)應(yīng)和還原。v3，全局，多角度的看問(wèn)題 三視圖是用平面圖形表示空間圖形的一種重要方法，但三三視圖是用平面圖形表示空間圖形的一種重要方法，但三視圖的直觀性較差，因此有必要繪制空間圖形的直觀圖一般視圖的直觀性較差，因此有必要繪制空間圖形的直觀圖一般采用中心投影或平行投影采用中心投影或平行投影 圖片都是空間圖形在平面上的反映，通過(guò)對(duì)圖片的研究可圖片都是空間圖形在平面上

10、的反映，通過(guò)對(duì)圖片的研究可以了解空間圖形的一些性質(zhì)和特征以了解空間圖形的一些性質(zhì)和特征 在中心投影中，水平線在中心投影中，水平線(或垂直線或垂直線)仍保持水平仍保持水平(或垂直或垂直)，但，但斜的平行線則會(huì)相交，交點(diǎn)稱為消點(diǎn)斜的平行線則會(huì)相交，交點(diǎn)稱為消點(diǎn) 中心投影雖然可以顯示空間圖形的直觀形象，但作圖較復(fù)中心投影雖然可以顯示空間圖形的直觀形象，但作圖較復(fù)雜，又不易度量雜，又不易度量投影規(guī)律投影規(guī)律1.1.平行性不變，但形狀、長(zhǎng)度、平行性不變，但形狀、長(zhǎng)度、夾角會(huì)改變；夾角會(huì)改變；2.2.平行直線段或同一直線上的平行直線段或同一直線上的兩條線段的比不變；兩條線段的比不變；3.3.在太陽(yáng)光下，平

11、行于地面的在太陽(yáng)光下，平行于地面的直線在地面上的投影長(zhǎng)不變直線在地面上的投影長(zhǎng)不變 立體幾何中常用平行投影立體幾何中常用平行投影(斜投影斜投影)來(lái)畫空間圖形的直觀圖，來(lái)畫空間圖形的直觀圖，這種畫法叫這種畫法叫斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法ABCDEF例用斜二測(cè)畫法畫水平放置的六邊形的直觀圖例用斜二測(cè)畫法畫水平放置的六邊形的直觀圖(1)在六邊形在六邊形ABCDEF中，取中，取AD所在的直線為所在的直線為X軸，對(duì)稱軸軸，對(duì)稱軸MN所在直線為所在直線為Y軸，兩軸交于點(diǎn)軸，兩軸交于點(diǎn)O畫對(duì)應(yīng)的畫對(duì)應(yīng)的 軸，兩軸相交軸，兩軸相交于點(diǎn)于點(diǎn) ，使，使,X YO45X OY MNOyxOxy注意：注意：(1)建系時(shí)要盡

12、量考慮圖形的對(duì)稱性建系時(shí)要盡量考慮圖形的對(duì)稱性 (2)畫水平放置平面圖形的關(guān)鍵是畫水平放置平面圖形的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置確定多邊形頂點(diǎn)的位置OxyABCDEFMNABCDEFMNOyx，在，在 軸上取軸上取(2)以以O(shè)為中心，在為中心，在 上取上取xA DAD y12M NMN B CxN以點(diǎn)以點(diǎn)為中心，畫為中心，畫BC軸，并等于軸，并等于M，再以，再以為中心，畫為中心，畫E FxEF軸，并等于軸，并等于注意：平行注意：平行x x軸軸的線段長(zhǎng)不變，的線段長(zhǎng)不變，平行平行y y軸軸放置的線段長(zhǎng)變?yōu)榉胖玫木€段長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的一半原來(lái)的一半OxyABCDEFMNABCDEFMNOyx 并擦去輔助線

13、并擦去輔助線x軸和軸和y軸，便獲得軸，便獲得正六邊形正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖水平放置的直觀圖A B C D E F(3)連接連接,A B C D E F F A請(qǐng)您總結(jié)斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的方法步驟請(qǐng)您總結(jié)斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的方法步驟小結(jié)：“橫同，豎半 ,平行性不變”斜二測(cè)畫法的步驟斜二測(cè)畫法的步驟(1)在已知圖形中取互相垂直的在已知圖形中取互相垂直的x軸和軸和y軸，兩軸相交于軸，兩軸相交于O點(diǎn)點(diǎn).畫直觀圖時(shí)，把它畫成對(duì)應(yīng)的畫直觀圖時(shí)，把它畫成對(duì)應(yīng)的x軸、軸、y軸，兩軸交于軸，兩軸交于O，使，使 ，它們確定的平面表示水平平面，它們確定的平面表示水平平面45 (

14、135 )x Oy或或(2)已知圖形中平行于已知圖形中平行于x軸或軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于成平行于x軸或軸或y軸的線段軸的線段(3)已知圖形中平行于已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半 關(guān)于關(guān)于水平放置的水平放置的圓圓的直觀圖的直觀圖的畫法，常用正等測(cè)畫的畫法，常用正等測(cè)畫法在實(shí)際畫水平放置的圓的直觀圖時(shí)，通常使用橢圓模版法在實(shí)際畫水平放置的圓的直觀圖時(shí)，通常使用橢圓模版 3 3怎樣確切的表示室內(nèi)燈泡的位置？怎樣確切的表示室內(nèi)燈泡的位

15、置？ 4 4空間中的點(diǎn)空間中的點(diǎn)M用代數(shù)的方法又怎樣表示呢？用代數(shù)的方法又怎樣表示呢？ 當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系后，空間中的點(diǎn)當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系后，空間中的點(diǎn)M，可以，可以用有序?qū)崝?shù)（用有序?qū)崝?shù)（x，y，z）表示）表示OyxzMxyz（x，y，z）yxz如圖，如圖， 是單位正方體以是單位正方體以O(shè)為原點(diǎn)，分為原點(diǎn)，分別以射線別以射線OA,OC, 的方向?yàn)檎较?，以線段的方向?yàn)檎较?，以線段OA,OC, 的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立三條數(shù)軸：的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立三條數(shù)軸：x軸、軸、y 軸、軸、z 軸這時(shí)我們軸這時(shí)我們說(shuō)建立了一個(gè)說(shuō)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 ，其中點(diǎn)，其中點(diǎn)O 叫做坐標(biāo)叫做坐標(biāo)原點(diǎn)

16、，原點(diǎn)， x軸、軸、y 軸、軸、z 軸叫做坐標(biāo)軸通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平軸叫做坐標(biāo)軸通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy 平面、平面、yOz平面、平面、zOx平面平面CBADOABC ODODxyzO ABCABCDO 右手直角坐標(biāo)系：在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手右手直角坐標(biāo)系：在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向拇指指向 x 軸的正方向，食指指向軸的正方向，食指指向 y 軸的正方向，如軸的正方向，如果中指指向果中指指向 z 軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M是空間的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)是空間的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

17、M分別作垂直分別作垂直于于x 軸、軸、y 軸和軸和z 軸的平面，依次交軸的平面，依次交x 軸、軸、y 軸和軸和z 軸軸于點(diǎn)于點(diǎn)P、Q和和RyxzMO 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P、Q和和R在在x 軸、軸、y 軸和軸和z 軸上的坐標(biāo)分別軸上的坐標(biāo)分別是是x，y和和z，那么點(diǎn)，那么點(diǎn)M就對(duì)應(yīng)唯一確定的有序?qū)崝?shù)組就對(duì)應(yīng)唯一確定的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）MRQP 反過(guò)來(lái)，給定有序?qū)崝?shù)組反過(guò)來(lái)，給定有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），我們可以，我們可以在在x 軸、軸、y 軸和軸和z 軸上依次取坐標(biāo)為軸上依次取坐標(biāo)為x，y和和z的點(diǎn)的點(diǎn)P、Q和和R，分別過(guò)，分別過(guò)P、Q和和R各作一個(gè)平面，分別垂直于各作一個(gè)平面，分別垂直于x 軸、軸

18、、y 軸和軸和z 軸，這三個(gè)平面的唯一交點(diǎn)就是有序?qū)崝?shù)組軸，這三個(gè)平面的唯一交點(diǎn)就是有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）確定的點(diǎn)確定的點(diǎn)MyxzMOMRQPyxzPMQOMR 這樣空間一點(diǎn)這樣空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組（的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）來(lái)表示，）來(lái)表示，有序有序?qū)崝?shù)組（實(shí)數(shù)組（x，y，z）叫做點(diǎn)）叫做點(diǎn)M 在此空在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M（x，y，z）其中）其中x叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M的的橫橫坐標(biāo)，坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M的的縱縱坐標(biāo)，坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M的的豎坐標(biāo)豎坐標(biāo)空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)例例

19、2用用斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法畫長(zhǎng)畫長(zhǎng),寬寬,高分別是高分別是4cm,3cm,2cm的長(zhǎng)方的長(zhǎng)方體的直觀圖體的直觀圖 聯(lián)想水平放置的平聯(lián)想水平放置的平面圖形的畫法，并注意面圖形的畫法，并注意到高的處理到高的處理(2)MNPQ畫畫底底面面. .以以O(shè) O為為中中心心, ,在在x x軸軸上上取取線線段段M MN N, ,使使M MN N= = c cm m; ;在在軸軸上上取取線線段段P PQ Q, ,使使P PQ Q= = c cm m; ;分分別別過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)和和作作y y軸軸的的平平行行線線, ,過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)和和作作x x軸軸的的平平行行線線, ,設(shè)設(shè)它它們們的的交交點(diǎn)點(diǎn)分分別別為為A A, ,B B, ,C C, ,D D, ,四四邊邊形形A AB BC CD D就就是是長(zhǎng)長(zhǎng)方方形形的的底底面面A AB BC CD DxyZOxyZOABCDMNPQ41.5 ,.xOz 190畫畫軸軸. .畫畫x x軸軸, ,y y軸軸, ,z z軸軸, ,