第6講B樣條曲線曲面

1、第 6 講 B樣條曲面B樣條曲線與曲面樣條曲線與曲面Bezier曲線或曲面有許多優(yōu)越性，但有兩點(diǎn)不足：Bezier曲線或曲面不能作局部修改；Bezier曲線或曲面的拼接比較復(fù)雜 Some years ago a few researchers joked about NURBS, saying that the acronym really stands for NOBODY Understands Rational B-Splines, write the authors in their foreword; they formulate the aim of changing NURBS

2、to EURBS, that is, Everybody. There is no doubt that they have achieved this goal. I highly recommend the book to anyone who is interested in a detailed description of NURBS. It is extremely helpful for students, teachers and designers of geometric modeling systems. Helmut Pottmann如何理解B-樣條？樣條插值，三對(duì)角方

3、程給定分劃，所有的B樣條的全體組成一個(gè)線性空間，線性空間有基函數(shù)，這就是B樣條基函數(shù)由B樣條基函數(shù)代替Bezier曲線中底Bernstein基函數(shù)，即B樣條曲線。4.1 B樣條的遞推定義和性質(zhì)樣條的遞推定義和性質(zhì)B樣條曲線的方程定義為： 是控制多邊形的頂點(diǎn) (i=0,1,.,n) 稱為k階（k-1次)B樣條基函數(shù) B樣條基函數(shù)是一個(gè)稱為節(jié)點(diǎn)矢量的非遞減的參數(shù)t的序列所決定的k階分段多項(xiàng)式，也即為k階（k-1次)多項(xiàng)式樣條。nikiitNPtP0,)()(), 1 , 0(niPi)(,tNki de Boor-Cox遞推定義 并約定OtherwisetttNiii0t1)(11 ,)()()(

4、1, 111,1,tNtttttNtttttNkiikikikiikiiki000knknnnkktttttttt,11110B樣條基函數(shù)的基本計(jì)算1.計(jì)算節(jié)點(diǎn)區(qū)間的下標(biāo)2.)()()(1, 111,1,tNtttttNtttttNkiikikikiikiiki)()()(1, 111,1,tNtttttNtttttNkiikikikiikiiki所以，所以，Pi(t)的矩陣表達(dá)式為的矩陣表達(dá)式為 321321331036303030141 161iiiiPPPPtt ttiP10 t根據(jù)上式可以在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)計(jì)三次根據(jù)上式可以在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)計(jì)三次B樣條曲線生樣條曲線生成的程序成的

5、程序.與均勻B樣條曲線的差別在于兩端節(jié)點(diǎn)具有重復(fù)度k，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了準(zhǔn)均勻的B樣條基。均勻B樣條曲線沒(méi)有保留Bezier曲線端點(diǎn)的幾何性質(zhì)，即樣條曲線的首末端點(diǎn)不再是控制多邊形的首末端點(diǎn)。采用準(zhǔn)均勻的B樣條曲線解決了這個(gè)問(wèn)題圖3.1.24 準(zhǔn)均勻三次B樣條曲線準(zhǔn)均勻B樣條分段Bezier曲線 節(jié)點(diǎn)矢量中兩端節(jié)點(diǎn)具有重復(fù)度k，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)重復(fù)度為k-1，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了分段的Bernstein基。圖3.1.25 三次分段Bezier曲線 B樣條曲線用分段Bezier曲線表示后，各曲線段就具有了相對(duì)的獨(dú)立性，移動(dòng)曲線段內(nèi)的一個(gè)控制頂點(diǎn)只影響該曲線段的形狀，對(duì)其它曲線段的形狀沒(méi)有影響。并且B

6、ezier曲線一整套簡(jiǎn)單有效的算法都可以原封不動(dòng)地采用。缺點(diǎn)是增加了定義曲線的數(shù)據(jù)，控制頂點(diǎn)數(shù)及節(jié)點(diǎn)數(shù)?；瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4.2 B樣條曲線的性質(zhì)局部性局部性。k 階B樣條曲線上參數(shù)為的一點(diǎn)至多與k個(gè)控制頂點(diǎn)有關(guān)，與其它控制頂點(diǎn)無(wú)關(guān)；移動(dòng)該曲線的第i個(gè)控制頂點(diǎn)Pi至多影響到定義在區(qū)間 上那部分曲線的形狀，對(duì)曲線的其余部分不發(fā)生影響。,1iittt), 1(ikijPj),(kiitt 連續(xù)性連續(xù)性 P(t)在r重節(jié)點(diǎn)處的連續(xù)階不低于 k-1-r。 凸包性凸包性 P(t)在區(qū)間 上的部分位于k個(gè)點(diǎn) 的凸包 內(nèi)，整條曲線則位于各凸包 的并集之內(nèi)。nikttii1),(1ikiPP,1iCiC

7、分段參數(shù)多項(xiàng)式P(t)在每一區(qū)間上都是次數(shù)不高于k-1的參數(shù)t的多項(xiàng)式 導(dǎo)數(shù)公式 ,)() 1()()()(111,1110,0,nkkiniikiiinikiinikiittttNttPPktNPtNPtP變差縮減性 設(shè)平面內(nèi) n+1 個(gè)控制頂點(diǎn) 構(gòu)成B樣條曲線 P(t) 的特征多邊形。在該平面內(nèi)的任意一條直線與 P(t) 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該直線和特征多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。幾何不變性B樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。直線保持性控制多邊形退化為一條直線時(shí)， 曲線也退化為一條直線。仿射不變性即在仿射變換下，的表達(dá)式具有形式不變性。ninkkiittttNPAtPA011, )()( 造型的靈

8、活性。用B樣條曲線可以構(gòu)造直線段、尖點(diǎn)、切線等特殊情況.對(duì)于四階（三次）B樣條曲線.若要在其中得到一條直線段，只要四點(diǎn) 位于一條直線上321,iiiiPPPP為了使P(t)能過(guò)P(i)點(diǎn)，只要使 重合尖點(diǎn)也可通過(guò)三重節(jié)點(diǎn)的方法得到為了使曲線和某一直線L相切，只要取 位于L上及 的重?cái)?shù)不大于2。21,iiiPPP21,iiiPPP3it iP1iP2iP3iP)(tP(a)四頂點(diǎn)共線iP1iP2iP3iP4iP三重頂點(diǎn)二重頂點(diǎn)(b)二重頂點(diǎn)和三重頂點(diǎn)iP1iP2iP1iPiP1iP2iP3iP(c)二重節(jié)點(diǎn)和三重節(jié)點(diǎn)(d)三頂點(diǎn)共線圖.1.26 三次B樣條曲線的一些特例4.3 de Boor 算

9、法算法欲計(jì)算B樣條曲線上對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P(t)，可以利用B樣條曲線方程，但是采用de Boor 算法，計(jì)算更加快捷。de Boor 算法的導(dǎo)出,)()()()()()(11,1111111, 111,11,0,jjkijkjiiikikiiikiijkjikiikikikiikiiijkjikiinikiittttNPttttPtttttNtttttNttttPtNPtNPtP現(xiàn)令則這就是著名的de Boor 算法 jrkjrkjikrtPtttttPttttjkjkjirPtPriirkirkiriirkiiiri, 2, 1; 1, 2 , 1),()(, 2, 1, 0,)(111jkjiki

10、ijkjikiitNtPtNPtP21,11,)()()()(de Boor 算法的遞推關(guān)系如圖nkjjjjkjkjkjkjkjkjPPPPPPPPPPPPP12123133122121De Boor 算法的幾何意義de Boor算法有著直觀的幾何意義 割角，即以線段 割去角 。從多邊形 開(kāi)始，經(jīng)過(guò) k-1 層割角，最后得到P(t)上的點(diǎn)1ririPP1 riPjkjkjPPP 21)(1tPrj 1kjP2kjPjP12kjP13kjP1jP23kjP2jP34kjP1 kjP圖3.1.28 B樣條曲線的deBoor算法的幾何意義4.4 節(jié)點(diǎn)插入算法通過(guò)插入節(jié)點(diǎn)可以進(jìn)一步改善B樣條曲線的局部

11、性質(zhì)，提高B樣條曲線的形狀控制的靈活性，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)曲線的分割等。插入一個(gè)節(jié)點(diǎn) 在定義域某個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)插入 一個(gè)節(jié)點(diǎn)t，得到新的節(jié)點(diǎn)矢量： 重新編號(hào)成為1,iitt11121111101,1kniiittttttTkniittttttT,1101這個(gè)新的節(jié)點(diǎn)矢量U1決定了一組新的B樣條基,原始的B樣條曲線就可以用這組新的B樣條基與未知新頂點(diǎn) 表示1iP101,1)()(njkjtNPtPjBoehm給出了這些未知新頂點(diǎn)的計(jì)算公式 r 表示所插結(jié)點(diǎn)t在原始節(jié)點(diǎn)矢量T中的重復(fù)度。1, 1 ,1, ,)1 (, 1 , 0 ,111111nrijPPrikijPPPkijPPjjjjjjjjj111jkjjjtttt節(jié)點(diǎn)插入B樣條曲線的最小二乘逼近 1kiP2kiP3kiP1iPiP12kiP13kiP1iP圖3.1.30 實(shí)線框中k個(gè)新頂點(diǎn) 取代虛線框中k-1個(gè)原始頂點(diǎn)0P1P2P3P11P12P13P1t2t3t4t5t6tt圖3.1.31 三次B樣條曲線插入一個(gè)節(jié)點(diǎn),43ttt3.5 B樣條曲面樣條曲面給定參數(shù)軸u和v的節(jié)點(diǎn)矢量 pq階階B樣條曲面樣條曲面定義如下 ,10pmuu