人教版初二上數(shù)學培優(yōu)精編講義教師版

1、未來文化藝術學校八年級數(shù)學培優(yōu)班假期講義未來藝術學校八年級數(shù)學培優(yōu)班假期講義:_ _學校:_班級:_ 第十一章 全等三角形及其應用【知識精讀】1. 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形；兩個全等三角形中，互相重合的頂點叫做對應頂點。互相重合的邊叫對應邊，互相重合的角叫對應角。2. 全等三角形的表示方法：假設ABC和ABC是全等的三角形，記作 “ABCABC其中，“讀作“全等于。記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。3. 全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對應邊相等，對應角相等；4. 尋找對應元素的方法1根據(jù)對應頂點找如果兩個三角形全等，那么，以對應頂點為

2、頂點的角是對應角；以對應頂點為端點的邊是對應邊。通常情況下，兩個三角形全等時，對應頂點的字母都寫在對應的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫出對應的元素。2根據(jù)的對應元素尋找全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；3通過觀察，想象圖形的運動變化狀況，確定對應關系。通過對兩個全等三角形各種不同位置關系的觀察和分析，可以看出其中一個是由另一個經(jīng)過以下各種運動而形成的。翻折 如圖1，DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直線AO翻折180°得到的；旋轉 如圖2，DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA繞著點O旋轉180°得到的；平移 如圖3

3、，DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移動而得到的。5. 判定三角形全等的方法：1邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理2 推論：角角邊定理6. 注意問題：1在判定兩個三角形全等時，至少有一邊對應相等；2不能證明兩個三角形全等的是，a: 三個角對應相等，即AAA；b :有兩邊和其中一角對應相等，即SSA。全等三角形是研究兩個封閉圖形之間的根本工具，同時也是移動圖形位置的工具。在平面幾何知識應用中，假設證明線段相等或角相等，或需要移動圖形或移動圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識?！痉诸惤馕觥咳热切沃R的應用（1） 證明線段或角相等【例1】如圖，A

4、D=AE,AB=AC.求證：BF=FC分析：由條件可證出ACDABE，而BF和FC分別位于DBF和EFC中，因此先證明ACDABE，再證明DBFECF，既可以得到BF=FC.證明：在ACD和ABE中， ACDABE (SAS) B=C全等三角形對應角相等又 AD=AE,AB=AC. ABAD=ACAE 即 BD=CE在DBF和ECF中 DBFECF AAS BF=FC 全等三角形對應邊相等2證明線段平行【例2】：如圖，DEAC，BFAC，垂足分別為E、F，DE=BF，AF=CE.求證：ABCD分析：要證ABCD，需證CA，而要證CA，又需證ABFCDE.由BFAC，DEAC，知DECBFA=9

5、0°，且DE=BF，AF=CE.顯然證明ABFCDE條件已具備，故可先證兩個三角形全等，再證CA,進一步證明ABCD.證明： DEAC，BFAC DECBFA=90° 垂直的定義在ABF與CDE中， ABFCDESAS CA (全等三角形對應角相等) ABCD 內(nèi)錯角相等，兩直線平行3證明線段的倍半關系，可利用加倍法或折半法將問題轉化為證明兩條線段相等【例3】如圖，在 ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，連接CD和CE. 求證：CD=2CE分析：()折半法：取CD中點F，連接BF，再證CEBCFB.這里注意利用BF是ACD中位線這個條件。證明：

6、取CD中點F，連接BF BF=AC,且BFAC 三角形中位線定理 ACB2 (兩直線平行內(nèi)錯角相等)又 AB=AC ACB3 等邊對等角 32在CEB與CFB中， CEBCFB (SAS) CE=CF=CD 全等三角形對應邊相等即CD=2CE 加倍法證明：延長CE到F，使EF=CE，連BF.在AEC與BEF中，AECBEF (SAS) AC=BF, 43 (全等三角形對應邊、對應角相等) BFAC (內(nèi)錯角相等兩直線平行) ACB+CBF=180o,ABC+CBD=180o,又AB=AC ACB=ABCCBF=CBD 等角的補角相等在CFB與CDB中， CFBCDB (SAS) CF=CD即C

7、D=2CE說明：關于折半法有時不在原線段上截取一半，而利用三角形中位線得到原線段一半的線段。例如上面折道理題也可這樣處理，取AC中點F，連BF(如圖)B為AD中點是利用這個方法的重要前提，然后證CE=BF.(4)證明線段相互垂直【例4】：如圖，A、D、B三點在同一條直線上，ADC、BDO為等腰三角形，AO、BC的大小關系和位置關系分別如何？證明你的結論。分析：此題沒有直接給出待證的結論，而是讓同學們先根據(jù)條件推斷出結論，然后再證明所得出的結論正確。通過觀察，可以猜想：AO=BC，AOBC.證明：延長AO交BC于E,在ADO和CDB中 ADOCDB (SAS) AO=BC, OAD=BCD全等三

8、角形對應邊、對應角相等 AODCOE 對頂角相等 COE+OCE=90o AOBC5、中考點撥：【例1】如圖，在ABC中，ABAC，E是AB的中點，以點E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點D，連結ED，并延長ED到點F，使DFDE，連結FC求證：FA分析：證明兩個角相等，常證明這兩個角所在的兩個三角形全等，在圖形中A、F不在全等的兩個三角形中，但由可證得EFAC，因此把A通過同位角轉到BDE中的BED，只要證EBDFCD即可證明：ABAC，ACBB，EBED，ACBEDBEDACBEDABEEABDCD又DEDF，BDECDFBDECDF，BEDFFA說明：證明角或線段相等可以從證明角或線段所

9、在的三角形全等入手，在尋求全等條件時，要注意結合圖形，挖掘圖中存在的對項角、公共角、公共邊、平行線的同位角、內(nèi)錯角等相等的關系。【例2】如圖， ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE=BD，連接CE、DE.求證：EC=ED 分析：把條件標注在圖上，需構造和AEC全等的三角形，因此過D點作DFAC交BE于F點，證明AECFED即可。證明：過D點作DFAC交BE于F點 ABC為等邊三角形 BFD為等邊三角形 BF=BD=FD AE=BD AE=BF=FD AEAF=BFAF 即 EF=AB EF=AC在 ACE和DFE中， AECFEDSAS EC=ED全等三角形對應邊相等題型

10、展示：【例1】如圖，ABC中，C2B，12。求證：ABACCD分析：在AB上截取AEAC，構造全等三角形，AEDACD，得DEDC，只需證DEBE問題便可以解決證明：在AB上截取AEAC，連結DE AEAC，12，ADAD， AEDACD， DEDC，AEDC AEDBEDB，C2B， 2BBEDB即 BEDB EBED，即EDDC， ABACDC剖析：證明一條線段等于另外兩條線段之和的常用方法有兩種，一種是截長法即在長線段上截取一段等于兩條短線段的一條，再證余下的局部等于另一條短線段；如作AEAC是利用了角平分線是角的對稱軸的特性，構造全等三角形，另一種方法是補短法即延長一條短線段等于長線段

11、，再證明延長的局部與另一條短線段相等，其目的是把證明線段的和差轉化為證明線段相等的問題，實際上仍是構造全等三角形，這種轉化圖形的能力是中考命題的重點考查的內(nèi)容【實戰(zhàn)模擬】1. 以下判斷正確的選項是 A有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形全等B有兩邊對應相等，且有一角為30°的兩個等腰三角形全等C有一角和一邊對應相等的兩個直角三角形全等D有兩角和一邊對應相等的兩個三角形全等2. ：如圖，CDAB于點D，BEAC于點E，BE、CD交于點O，且AO平分BAC求證：OBOC3. 如圖，C為線段AB上的一點，DACM和DCBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點，BM和CN交于E點。求證

12、：DCEF是等邊三角形。4.如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線。求證：AD<(AB+AC) 5. 如圖，在等腰RtABC中，C90°，D是斜邊上AB上任一點，AECD于E，BFCD交CD的延長線于F，CHAB于H點，交AE于G求證：BDCG【試題答案】1. D2.證明： AO平分ODB，CDAB于點D，BEAC于點E，BE、CE交于點O， ODOE，ODBOEC90°, BODCOE。 BODCOEASAOBOC3. 分析 由ÐACM=ÐBCN=60°，知ÐECF=60°，欲證DCEF是等邊三角形，只要證明DCEF

13、是等腰三角形。先證DCANDMCB，得Ð1=Ð2.再證DCFNDCEB，即可推得DCEF是等邊三角形的結論。證明：在DCAN和DMCB，AC=MC，CN=CB，ÐCAN=ÐMCB=120°，DACNDMCB中， ÐFCB和DCEB中，ÐFCN=ÐECB=60°，Ð1=Ð2，CN=CB，DCFNDCEB，CF=CE，又ÐECF=60°， DCEF是等邊三角形.4. 分析： 關于線段不等的問題，一般利用在同一個三角形中三邊關系來討論，由于AB、AC、AD不在同一個三角形

14、，應設法將這三條線段轉化在同一個三角形中，也就是將線段相等地轉化，而轉化的通常方法利用三角形全等來完成，注意AD是BC邊上的中線，延長AD至E，使DEAD，即可得到ACDEBD證明：延長AD到E，使DEAD，連結BE在DACD與DEBD中 DACDDEBDSAS ACEB全等三角形對應邊相等在DABE中，ABEBAE三角形兩邊之和大于第三邊 ABAC2AD等量代換 說明：一般在有中點的條件時，考慮延長中線來構造全等三角形。5.分析：由于BD與CG分別在兩個三角形中，欲證BD與CG相等，設法證CGEBDF。由于全等條件不充分，可先證AECCFB證明：在RtAEC與RtCFB中，ACCB，AECD

15、于E，BFC交CD的延長線于FAECCFB90°又ACB90° CAE90°ACEBCF RtAECRtCFBCEBF在RtBFD與RtCEG中，F(xiàn)GEC90°，CEBF，由FBD90°FDB90°CDHECG， RtBFDRtCEG BDCG第十二章 軸對稱1.如果一個圖形沿著某一條直線對折，對折的兩局部能完全重合，那么就稱這樣的圖形為軸對稱圖形，這條直線叫做這個圖形的對稱軸。這時，我們就說這個圖形關于這條直線或軸對稱。2.把一個圖形沿著某一條直線翻折過去，如果它能夠和另一個圖形完全重合，那么就說這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱

16、軸。兩個圖形中經(jīng)過翻折之后互相重合的點叫做對應點，也叫做對稱點。注意：1、 一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條；2、 兩個圖形成軸對稱和軸對稱圖形的概念，前提不一樣，前者是兩個圖形，后者是一個圖形。3、 成軸對稱的兩個圖形不僅大小、形狀一樣而且與位置有關。題型一:軸對稱圖形的判斷【例1】如圖，我國主要銀行的商標設計根本上都融入了中國古代錢幣的圖案，以下圖中我國四大銀行的商標圖案中軸對稱圖形的是(        )         &#

17、160;                               A            B          &

18、#160; C            D分析：圖形沿一條直線折疊-相互重合-軸對稱圖形-判斷舉一反三：1、以下圖形中，不是軸對稱圖形的是(        )A角            B等邊三角形         

19、60;  C線段        D不等邊三角形2、以下圖形中，不是軸對稱圖形的是 A. 兩條相交直線 B. 線段C.有公共端點的兩條相等線段 D.有公共端點的兩條不相等線段3、以下英文字母屬于軸對稱圖形的是 A、N B、S C、L D、E4、以下說法中，正確的選項是(        )A兩個全等三角形組成一個軸對稱圖形B直角三角形一定是軸對稱圖形C軸對稱圖形是由兩個圖形組成的D等邊三角形是有三條對稱軸的軸對稱圖形題型二：找軸對稱圖形的對稱軸【例2

20、】等腰三角形的對稱軸_條.舉一反三：1、以下說法中，正確的個數(shù)是1軸對稱圖形只有一條對稱軸，2軸對稱圖形的對稱軸是一條線段，3兩個圖形成軸對稱，這兩個圖形是全等圖形，4全等的兩個圖形一定成軸對稱，5軸對稱圖形是指一個圖形，而軸對稱是指兩個圖形而言。A1個B2個C3個D4個2、軸對稱圖形的對稱軸的條數(shù)A只有一條B2條C3條D至少一條3、正五角星的對稱軸的條數(shù)是(        )A1條         B2條   &#

21、160;      C5條         D10條4、以下圖形中有4條對稱軸的是(        )A平行四邊形            B矩形         C正方形    &

22、#160;       D菱形常見圖形及其對稱軸：名稱是否是軸對稱圖形對稱軸有幾條對稱軸的位置線段是條垂直平分線或線段所在的直線角是條角平分線所在的直線長方形是條對邊中線所在的直線正方形是條對邊中線所在的直線和對角線所在的直線圓是無數(shù)條直徑所在的直線平行四邊形不是條小結：軸對稱軸對稱圖形區(qū)別指兩個圖形而言；指兩個圖形的一種形狀與位置關系。對一個圖形而言；指一個圖形的特殊形狀。聯(lián)系都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，就是一個軸對稱圖形；反過來，把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩局部，這兩局部關于這條直線成軸對

23、稱。1、線段垂直平分線的概念：垂直于一條線段，并平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線；線段的垂直平分線可以看做和線段兩個端點距離相等的所有點的集合。2、線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點距離相等。3、線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。注意:“線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點距離相等的作用是：證明兩條線段相等；2“到段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。的作用是：判定一點在線段的垂直平分線上；3“如果到兩點到一條線段的兩個端點的距離相等，那么，這兩點所在直線是該線段的垂直平分線。的作用是：垂直平

24、分線的判定。題型一:線段垂直平分線的性質(zhì)【例3】 如圖1，在ABC中，AC=27，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，BCE的周長等于50，求BC的長. 圖-1點評：此題是ABC中一邊AB的垂直平分線AC相交;那么當AB的垂直平分線與BC相交時，(如圖2),對應的是ACE的周長，它的周長也等于AC+BC.圖形變化，但結論不變. 圖-2舉一反三：1、如圖1,在ABC中, AB的垂直平分線交AB于點D,交AC于點E,假設BEC=70°，那么A=？點評：此題變式求角的計算方法，應用了兩個定理.按照同樣的方法,圖2中也能得出相應的結論：AEC=2B.【例4】圖-3如圖3，在ABC中，

25、AB=AC, BC=12,BAC =120°,AB的垂直平分線交BC邊于點E, AC的垂直平分線交BC邊于點N.(1) 求AEN的周長.(2) 求EAN的度數(shù).(3) 判斷AEN的形狀.舉一反三：1.如圖4，在ABC中，AB=AC, BC=12,BAC =130°,AB的垂直平分線交BC邊于點E, AC的垂直平分線交BC邊于點N.(1) 求AEN的周長.(2) 求EAN的度數(shù).(3) 判斷AEN的形狀. 圖-42.如圖，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E兩點，假設AB=12cm，BC=10cm,A=49º，求BCE的周長和EBC的度數(shù).【例5】如

26、圖，D是線段AB、BC的垂直平分線的交點，假設ABC50°求ADC舉一反三：1.如圖，ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，A=30°，ACB=80°，求CBE2.如圖，ABC內(nèi)有一點D，且D為直線AB、AC垂直平分線的交點，假設DAB=20°，DAC=30°，那么BDC的大小是 A100° B80° C70° D50°題型二:線段垂直平分線的判定【例6】如下圖，RtABC中，D是AB上一點，BD=BC，過D作AB的垂線交AC于點E，CD交BE于點F。求證：BE垂直平分CD。(用定義法和判定定理法兩種方法

27、)【經(jīng)典例題回憶】現(xiàn)在你有什么更加簡潔的證明過程嗎？【例7】 如圖，在ABC中，D為BC邊上的一點，AD平分BAC，且DEAB于點E，DFAC于點F，連接EF交AD于點G，求證：AD垂直平分EF。舉一反三：如下圖，AB>AC，的平分線與BC的垂直平分線相交于D，自D作于E，求證：BF=CG。1、軸對稱的性質(zhì)：關于某條直線對稱的圖形是全等形；如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線；兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上；如果兩個圖形的對應點連線被同一直線垂直平分，那么，這兩個圖形關于這條直線對稱。2、軸對稱作畫圖：畫圖形的對稱軸

28、如果一個圖形關于某直線對稱，那么對稱點之間的線段的垂直平分線就是該圖形的對稱軸。畫某點關于某直線的對稱點的方法畫圖形關于某直線的對稱圖形注意：全等的圖形不一定是軸對稱的，軸對稱的圖形一定是全等的。性質(zhì)的作用是判定兩個圖形是否關于某直線對稱，它是作對對稱圖形的主要依據(jù)?！纠?】如圖，ABC和ABC關于直線對稱，以下結論中：ABCABC；BACBAC；l垂直平分CC；直線BC和BC的交點不一定在l上，正確的有(   )A4個         B3個     &

29、#160;    C2個         D1個舉一反三：1、如圖，ABC與A/B/C/關于直線l對稱，那么B的度數(shù)為 FEDCBAA50° B30° C100° D90°2、如圖六邊形ABCDEF是軸對稱圖形，CF所在的直線是它的對稱軸，假設AFC+BCF=150°，那么AFE+BCD的大小是150° 300° 210° 330°【例9】如圖，點P在AOB內(nèi)，點M、N分別是點P關于AO的對稱點、

30、BO的對稱點，假設PEF的周長為15，求MN的長等腰三角形專題講解【知識精讀】等腰三角形的性質(zhì) 1. 有關定理及其推論 定理：等腰三角形有兩邊相等； 定理：等腰三角形的兩個底角相等簡寫成“等邊對等角。 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。 推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形； 2. 定理及其推論的作用 等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角

31、形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。二等腰三角形的判定 1. 有關的定理及其推論 定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等簡寫成“等角對等邊。 推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形。 推論2：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。 推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。 2. 定理及其推論的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉化關系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關系轉化為邊的相等

32、關系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點。 3. 等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關等腰三角形問題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過它來證明線段或角的倍分問題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時需要作頂角的平分線，有時那么需要作高或中線，這要視具體情況來定?！痉诸惤馕觥俊纠?】如圖，在等邊三角形ABC中，D是AC的中點，E為BC延長線上一點，且CECD，DMBC，垂足為M。求證：M是BE的中點。 分析：欲證M是BE的中點，DMBC，所以想到連結BD，證BDED。因為

33、ABC是等邊三角形，DBEABC，而由CECD，又可證EACB，所以1E，從而問題得證。 證明：因為三角形ABC是等邊三角形，D是AC的中點 所以1ABC 又因為CECD，所以CDEE 所以ACB2E 即1E 所以BDBE，又DMBC，垂足為M 所以M是BE的中點 等腰三角形三線合一定理【例2】如圖，：中，D是BC上一點，且，求的度數(shù)。 分析：題中所要求的在中，但僅靠是無法求出來的。因此需要考慮和在題目中的作用。此時圖形中三個等腰三角形，構成了內(nèi)外角的關系。因此可利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)外角關系定理來求。 解：因為，所以 因為，所以； 因為，所以等邊對等角 而 所以 所以 又因為 即

34、所以 即求得 說明1. 等腰三角形的性質(zhì)是溝通此題中角之間關系的重要橋梁。把邊的關系轉化成角的關系是此等腰三角形性質(zhì)的本質(zhì)所在。本條性質(zhì)在解題中發(fā)揮著重要的作用，這一點在后邊的解題中將進一步表達。 2. 注意“等邊對等角是對同一個三角形而言的。 3. 此題是利用方程思想解幾何計算題，而邊證邊算又是解決這類題目的常用方法。 【例3】：如圖，中，于D。求證：。 分析：欲證角之間的倍半關系，結合題意，觀察圖形，是等腰三角形的頂角，于是想到構造它的一半，再證與的關系。 證明：過點A作于E， 所以等腰三角形的三線合一性質(zhì) 因為 又，所以 所以直角三角形兩銳角互余 所以同角的余角相等 即 說明： 1. 作

35、等腰三角形底邊高線的目的是利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，構造角的倍半關系。因此添加底邊的高是一條常用的輔助線； 2. 對線段之間的倍半關系，常采用“截長補短或“倍長中線等輔助線的添加方法，對角間的倍半關系也同理，或構造“半，或構造“倍。因此，此題還可以有其它的證法，如構造出的等角等。4、中考題型： 1.如圖，ABC中，ABAC，A36°，BD、CE分別為ABC與ACB的角平分線，且相交于點F，那么圖中的等腰三角形有 A. 6個 B. 7個 C. 8個 D. 9個 分析：由條件根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和的度數(shù)可求得等腰三角形有8個，應選擇C。 2.：如圖，在ABC中，ABAC，

36、D是BC的中點，DEAB，DFAC，E、F分別是垂足。求證：AEAF。 證明：因為，所以 又因為 所以 又D是BC的中點，所以 所以 所以，所以 說明：證法二：連結AD，通過 證明即可5、題形展示：【例1】如圖，中，BD平分。求證：。 分析一：從要證明的結論出發(fā)，在BC上截取，只需證明，考慮到，想到在BC上截取，連結DE，易得，那么有，只需證明，這就要從條件出發(fā)，通過角度計算可以得出。 證明一：在BC上截取，連結DE、DF 在和中， 又 而 即分析二：如圖，可以考慮延長BD到E，使DEAD，這樣BDAD=BD+DE=BE，只需證明BEBC，由于，只需證明易證，故作的角平分線，那么有，進而證明，

37、從而可證出。 證明二：延長BD到E，使DEAD，連結CE，作DF平分交BC于F。 由證明一知： 那么有 DF平分 ，在和中 ，而 在和中， 在中， 說明：“一題多證在幾何證明中經(jīng)常遇到，它是培養(yǎng)思維能力提高解題水平的有效途徑，讀者在以后的幾何學習中要善于從不同角度去思考、去體會，進一步提高自身的解題能力?！緦崙?zhàn)模擬】 1. 選擇題：等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩局部的差為3cm，那么腰長為 A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不對 2. 如圖，是等邊三角形，那么的度數(shù)是_。3. 求證：等腰三角形兩腰中線的交點在底邊的垂直平分線上. 4. 中，AB的中垂

38、線交AB于D，交CA延長線于E，求證：?！驹囶}答案】 1. B 2. 分析：結合三角形內(nèi)角和定理，計算圖形中角的度數(shù)是等邊三角形性質(zhì)的重要應用。 解：因為是等邊三角形 所以 因為，所以 所以 在中，因為 所以，所以 所以 3. 分析：首先將文字語言翻譯成數(shù)學的符號語言和圖形語言。：如圖，在中，D、E分別為AC、AB邊中點，BD、CE交于O點。求證：點O在BC的垂直平分線上。 分析：欲證此題結論，實際上就是證明。而OB、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么問題就轉化為證含有的兩個三角形全等。證明：因為在中，所以等邊對等角又因為D、E分別為AC、AB的中點，所以中線定義在和 中，所以所

39、以全等三角形對應角相等。所以等角對等邊。即點O在BC的垂直平分線上。說明：1正確地理解題意，并正確地翻譯成幾何符號語言是非常重要的一步。特別是把“在底邊的垂直平分線上正確地理解成“OBOC是關鍵的一點。2實際上，此題也可改成開放題：“ABC中，ABAC，D、E分別為AC、AB上的中點，BD、CE交于O。連結AO后，試判斷AO與BC的關系，并證明你的結論其解決方法是和此題解法差不多的。4. 分析：此題沒有給出圖形，那么依題意，應先畫出圖形。題目中是求線段的倍半關系，觀察圖形，考慮取BC的中點。證明：過點A作BC邊的垂線AF，垂足為F。31在中，所以 所以等腰三角形三線合一性質(zhì)。所以鄰補角定義。所

40、以又因為ED垂直平分AB，所以直角三角形兩銳角互余。線段垂直平分線定義。又因為直角三角形中 角所對的邊等于斜邊的一半。所以在和中，所以所以即。說明：1根據(jù)題意，先準確地畫出圖形，是解幾何題的一項根本功；2直角三角形中角的特殊關系，溝通了邊之間的數(shù)量關系，為順利證明打通了思路。第十三章 實數(shù)【知識要點】一、實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。1、實數(shù)有以下兩種分類方法： 1按定義分類 2按大小分類2、實數(shù)中的倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值概念和有理數(shù)一樣，例如的相反數(shù)為，倒數(shù)為，的絕對值為。3、實數(shù)與數(shù)軸上點的關系： 實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，反過來，數(shù)軸上的每一

41、個點都可以用一個實數(shù)表示。4、實數(shù)的運算： 1關于有理數(shù)的運算律和運算性質(zhì)，在實數(shù)范圍內(nèi)仍適用。 2涉及無理數(shù)的計算，可根據(jù)問題的要求取其近似值，轉化為有理數(shù)進行計算。二、二次根式：一般地，式子叫做二次根式，其中叫做被開方數(shù)。1、二次根式的性質(zhì)： 1；2； 2、最簡二次根式： 1被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式。即被開方數(shù)不含有分母。 2被開方數(shù)中不含有能開盡方的因數(shù)或因式。即被開方數(shù)中每個因數(shù)或因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2。3、同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式。4、二次根式的運算：1二次根式的運算法那么： ； ； ； ；2分母有理

42、化3二次根式的混合運算三、非負性及應用：1、非負數(shù)包括正數(shù)和零2、常見的非負數(shù)有實數(shù)的絕對值，實數(shù)的偶次方，非負實數(shù)的算術平方根等，用符號表示如下： 假設a是實數(shù)，那么； 假設a是實數(shù)，那么n為正整數(shù)，當n=1時，a20； n為正整數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，那么，此時；3、非負數(shù)有如下性質(zhì)： 有限個非負數(shù)之和是非負數(shù)；有限個非負數(shù)之和是零，那么每一個非負數(shù)是零。【典例解析】1、無理數(shù)的識別與估算方法例1 、1在實數(shù)3.14，0.10110111011110，中，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？2估算的值 A在5和6之間 B.在6和7之間 C.在7和8之間 D.在8和9之間2、實數(shù)的大小比擬方法例2、1

43、比擬大小：7_填“或“ 2，那么、的大小關系為_3比擬大?。寒攲崝?shù)時，_.填“或“ 3、實數(shù)有數(shù)軸的關系例3、如右圖：數(shù)軸上點A表示的數(shù)為x，那么x213的立方根是 A.13 B.13 C.2 D.24、實數(shù)的運算例4、1；2；3； 4。5、實數(shù)性質(zhì)的使用例5、1化簡： ； 2實數(shù)a，b在數(shù)軸上所對應的點的位置如下圖，那么2a_0；ab_0；ba_0；2aab_。 例6、1，求的值。2的整數(shù)局部為，小數(shù)局部為，那么=_【課堂檢測】1、在中，屬于有理數(shù)的是 _屬于無理數(shù)的是 _2、1 ； 。 2 。 3假設= 。 4計算 。3、比擬大小1 2 。 4、以下語句中不正確的選項是 A無理數(shù)是帶根號的

44、數(shù)，其根號下的數(shù)字開方開不盡； B8的立方根是±2； C絕對值等于的實數(shù)是 D每一個實數(shù)都有數(shù)軸上的一個點與它對應。 5、與相乘，結果為1的數(shù)是 ABCD6、以下計算正確的選項是 A B C.D7、數(shù)軸上表示實數(shù)的點在表示的點的左邊，那么式子的值是 A正數(shù)B-1C小于-1D大于-18、化簡，甲、乙兩同學的解法如下：甲：； 乙：，對于他們的解法，正確的選項是 A甲、乙的解法都正確B甲正確、乙不正確C甲、乙的解都錯誤 D.正確、甲不正確 9、計算或化簡：1； 2； 3；4； 5，求6的值。10、y=+18,求代數(shù)式的值。11、細心觀察右圖和認真分析以下各式，然后解答問題：， ；， ；，

45、；1請用含的為正整數(shù)的等式表示上述變化的規(guī)律；2推算出 ， ； ， ；3求出的值。第十四章 一次函數(shù)變化的世界 一次函數(shù)函數(shù) 圖像性質(zhì) 一元一次方程一元一次不等式 二元方程組一 函數(shù)在某變化過程中，存在 個變量x、y，y隨x的變化而發(fā)生變化，對于x在其取值范圍內(nèi)，每一個確定的值，y都有 的值與之對應，我們稱y是x的函數(shù)。練習：函數(shù)y中自變量的取值范圍是，y=中x的取值范圍是 二 一次函數(shù)和正比例函數(shù)1概念： 假設兩個變量x，y間的關系式可以表示成y=kx+bk，b為常數(shù)，k0的形式，那么稱y是x的 x為自變量，特別地，當b=0時，稱y是x的 .1一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實數(shù)，但在實際問

46、題中要根據(jù)函數(shù)的 來確定.2一次函數(shù)y=kx+bk，b為常數(shù)，k0中的“一次和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次意義相同，即自變量x的次數(shù)為1，一次項系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).練習：函數(shù)；1假設是一次函數(shù)，應滿足什么條件？2假設是正比例函數(shù)，應滿足什么條件？2、一次函數(shù)的圖象由于一次函數(shù)y=kx+bk，b為常數(shù)，k0的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b此直線與y軸的交點 ，與x軸的交點 .畫正比例函數(shù)y=kx的圖象時，只要描出點0， ，1， 即可.3、一次函數(shù)性質(zhì)1性質(zhì)函數(shù)kb位置Y隨x的變化草圖2點Px0，y0與直線y=kx+b的圖象的關

47、系A.如果點Px0，y0在直線y=kx+b的圖象上，那么x0,y0的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b；B.如果x0，y0是滿足函數(shù)解析式的一對對應值，那么以x0，y0為坐標的點必在函數(shù)的圖象上3確定正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達式的條件A.由于正比例函數(shù)y=kxk0中只有一個待定系數(shù)k，故只需一個條件如一對x，y的值或一個點就可求得k的值B.由于一次函數(shù)y=kx+bk0中有兩個待定系數(shù)k，b，需要兩個獨立的條件確定兩個關于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對x，y的值4.一次函數(shù)與方程不等式(1). 一元一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)的關系 一次函數(shù)及其圖像與一元一次方程及一元一

48、次不等式有著密切的關系，解決此類問題關鍵是找到函數(shù)y=kx+bk0，k，b為常數(shù)與x軸的交點 ，直線y=kx+b在x軸的上方，也就是函數(shù)的值大于零，x的值是不等式 k0的解；在x軸的下方也就是函數(shù)的值小于零，x的值是不等式 k0的解；在x軸上也就是函數(shù)值等于零，x的值是方程 的解。(2) 一次函數(shù)與二元一次方程組的關系 兩個函數(shù)的交點就是對應的二元一次方程組的解，此時兩個函數(shù)的值 ；圖像在上方的函數(shù)的值較 。熱身訓練1以下各式y(tǒng)是x一次函數(shù)的為 A y=1x+3 B y=x2+2x+5 C y=2x D y=2x+35 E y=a+3F 2如圖的四個圖象中，不表示某一函數(shù)圖象的是 3函數(shù)y=x

49、的圖象是一條過原點及2，_ 的直線，這條直線經(jīng)過第_象限，當x增大時，y隨之_ 4. 函數(shù)y=2x4，與x軸的交點是 ，當x_，y<0；.當x_，y>0。5函數(shù)y=-3x+5上取x1=1，x2=2，比擬大?。簓1_y2；函數(shù)y=(m2+1)x+2 m為常數(shù)有x1=1，x2=2，比擬大小y1_y2； 6某一次函數(shù)圖像過一、三、四象限，那么：k_0，b_07如右圖，判斷那些點屬于該直線A.1，3B.-1，1C.2，-2D.-12，-1根本訓練一、 填空題 1 小華用500元去購置單價為3元的一種商品，剩余的錢y元與購置這種商品的件數(shù)x件之間的函數(shù)關系是_， x的取值范圍是_ 2 函數(shù)y

50、=2x4的圖象經(jīng)過_象限，它與兩坐標軸圍成的三角形面積為_3 一次函數(shù)y=kxb的圖象經(jīng)過點1，5，交y軸的點的縱坐標是3，那么k=_，b=_ 4假設點m，m3在函數(shù)y= x2的圖象上，那么m=_ 5、直線y=3-9x與x軸的交點坐標為_，與y軸的交點坐標為_ 6、假設直線y=kxb平行直線y=3x4，且過點1，-2，那么k= ；b= . 二、選擇題1一次函數(shù)y=x-1的圖像不經(jīng)過(   )A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限2.正比例