3.8 周期信號(hào)的傅里葉變換

1、3.8 3.8 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 重點(diǎn)：重點(diǎn)：正弦、余弦信號(hào)的傅里葉變換正弦、余弦信號(hào)的傅里葉變換 難點(diǎn)：難點(diǎn)：一般周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換正弦、余弦信號(hào)的傅里葉變換正弦、余弦信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換一般周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)周期信號(hào)-傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)非周期信號(hào)非周期信號(hào)-傅里葉變換傅里葉變換周期無窮大周期無窮大求和變求積分求和變求積分 周期信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，但在允許沖激函周期信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，但在允許沖激函數(shù)存在并認(rèn)為它有意義的前提下，絕對(duì)可積條件就成為數(shù)存在并認(rèn)為它有意義的前提下，絕對(duì)可積條

2、件就成為不必要的限制。也就有周期信號(hào)的傅里葉變換。不必要的限制。也就有周期信號(hào)的傅里葉變換。目的：目的：把周期信號(hào)與非周期信號(hào)的分析方法統(tǒng)一起來，把周期信號(hào)與非周期信號(hào)的分析方法統(tǒng)一起來，使傅里葉變換得到廣泛應(yīng)用。使傅里葉變換得到廣泛應(yīng)用。一一、正弦、余弦周期信號(hào)的傅里葉變換正弦、余弦周期信號(hào)的傅里葉變換 111cos()()()t ：余弦信號(hào)F111sin()()()tj 正弦信號(hào)：F000f( )(),0jttFe F21( ) t F000,02()jte F頻譜頻譜0ttwtf1cos)( 10ttwtf1sin)( 1w0w0w0)(wFw0w0w0)(wjF 例子例子0t2)(tf

3、E2其頻譜圖為：其頻譜圖為：w00w20w)(wG2E0w有限長的余弦信號(hào)有限長的余弦信號(hào) 有限長余弦信號(hào)有限長余弦信號(hào)f f0 0(t)(t)的寬度的寬度 增大時(shí)，頻譜增大時(shí)，頻譜F F0 0( ( ) )越來越越來越集中到集中到1 1的附近，當(dāng)?shù)母浇?，?dāng) ，有限長余弦信號(hào)就變成無窮長，有限長余弦信號(hào)就變成無窮長余弦信號(hào)，此時(shí)頻譜在余弦信號(hào)，此時(shí)頻譜在1 1處成為無窮大，而在其他頻率處均處成為無窮大，而在其他頻率處均為零。即此時(shí)頻譜變?yōu)槲挥跒榱?。即此時(shí)頻譜變?yōu)槲挥? 1的兩個(gè)沖激函數(shù)。的兩個(gè)沖激函數(shù)。 二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換 11( )2jntnnnnf t

4、FFne 一般周：期信號(hào)F令周期信號(hào)令周期信號(hào)f(t)f(t)的周期為的周期為T T1 1，角頻率為，角頻率為 1 1=2=2 f f1 1 22111)(1TTjwtndtetfTF其中：其中： 1. 1.單脈沖信號(hào)的傅里葉變換單脈沖信號(hào)的傅里葉變換 式）（單脈沖的傅里葉變換單脈沖信號(hào)：從周期脈沖信號(hào)單脈沖信號(hào)：從周期脈沖信號(hào)f(t)f(t)中截取一個(gè)中截取一個(gè)周期，得到單脈沖信號(hào)。周期，得到單脈沖信號(hào)。 22011)()(TTjwtdtetfwF單脈沖的傅里葉變換單脈沖的傅里葉變換F F0 0( ( ):):為非周期信號(hào)直接用傅里為非周期信號(hào)直接用傅里葉變換定義公式。葉變換定義公式。v2.

5、2.利用單脈沖信號(hào)求周期信號(hào)的傅里葉變換利用單脈沖信號(hào)求周期信號(hào)的傅里葉變換 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)FnFn等于單脈沖信號(hào)的傅里等于單脈沖信號(hào)的傅里葉變換葉變換F F0 0( ( ) )在在n n 1 1頻率點(diǎn)的值乘以頻率點(diǎn)的值乘以1/T1/T1 1。111221)(1nwwTTjwtndtetfTF 或?qū)懗苫驅(qū)懗?)(1)(01nwwnwFTwF 周期信號(hào)與單脈沖信號(hào)的關(guān)系：周期信號(hào)與單脈沖信號(hào)的關(guān)系： 可利用單脈沖的傅里葉變換方便求出周期性信號(hào)的可利用單脈沖的傅里葉變換方便求出周期性信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。 例例3-103-10求周期單位沖激

6、序列的傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換。求周期單位沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換。解：畫波形解：畫波形 nTnTtt)()(1單位沖激函數(shù)的間隔為單位沖激函數(shù)的間隔為T T1 1，用符號(hào)，用符號(hào) T T(t)(t)表示周期單位沖激序列：表示周期單位沖激序列：w0)(wF10t)(t10t)(t11T1T 0wnF11T1w 1w12w12w FSFS 可見，在周期單位沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)中只包含位于可見，在周期單位沖激序列的傅里葉級(jí)數(shù)中只包含位于 =0,=0,1 1, , 2 2 1 1, , n n 1 1, , 的頻率分量，且分量大小相等，的頻率分量，且分量大小相等，均等于均等于1/T1/T1 1

7、。 ntjnwnTeFt1)(0t)(t11T1T 0w)(wF1w1w 1w12w12w FT T T(t)(t)是周期函數(shù)，求其傅里葉級(jí)數(shù)：是周期函數(shù)，求其傅里葉級(jí)數(shù)：12211)(111TdtetfTFTTjwtn ntjnwTeTt111)(求求 T T(t)(t)的傅里葉變換。的傅里葉變換。 nnFTTnwwFtf)(2)(111TFn 又 nFTTTnwwwttf)()()(11 可見，在周期單位沖激序列的傅里葉變換中只包含位可見，在周期單位沖激序列的傅里葉變換中只包含位于于 =0,=0,1 1, , 2 2 1 1, , n n 1 1, , 頻率處的沖激函數(shù)，其頻率處的沖激函數(shù)

8、，其強(qiáng)度大小相等，均等于強(qiáng)度大小相等，均等于 1 1 。 例例3-113-11求周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)和求周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。傅里葉變換。0)(tfE22TTt解：先求矩形單脈沖信號(hào)解：先求矩形單脈沖信號(hào)f f0 0(t)(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F F0 0(w)(w)0t)(0tf122)2()(0wSaEwF0w22)(0wFE再求周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)再求周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)F Fn n0) (tfE22TTtw12T022nF1TE)2()(111011nwSaTEwFTFnwwn ntjnwenwSaTEtf1)2()(11求得周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)：求得周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)：最后求周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換最后求周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換F(w)F(w)。 nnwwnwSawEwF)()2()(111看出：周期信號(hào)頻譜是離散的；看出：周期