提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率的若干途徑

1、v1.0可編輯可修改提高高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率的若干途徑浙江省杭州高級(jí)中學(xué)周順鈿如何提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的效率，是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)研討的一個(gè)重要話題。一、題組串聯(lián)，提高概念復(fù)習(xí)的容量在進(jìn)行高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，前面二年的學(xué)習(xí)已使學(xué)生積累了大量的數(shù)學(xué)概念、定理、解題方法、數(shù)學(xué)思想等，這些知識(shí)象珍珠般散落在學(xué)生的腦海中，需要在高三復(fù)習(xí)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將這些知識(shí)“聯(lián)珠成線”，“織線成網(wǎng)”以函數(shù)的奇偶性為例，它涉及函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則、圖象特征等，內(nèi)涵豐富，概念性強(qiáng)，若能以題組的形式予以串聯(lián)，可大大提高復(fù)習(xí)效率。1、奇偶函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(1)判斷函數(shù)的奇偶性，須優(yōu)先考慮定義域例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性f

2、xf xf xf xf xx, x.;1x 2x2;2.x21TV(2)已知函數(shù)的奇偶性，求參變量的值1例2、已知函數(shù)fxa,x22b,4b為奇函數(shù)，求a,b的值。2x1例3、設(shè)a,bR,且a2,定義在區(qū)間b,b內(nèi)的函數(shù)fxIgLax是奇函數(shù)。12x求b的取值范圍；討論函數(shù)fx的單調(diào)性。(2003年安徽春季高考)2、活用奇偶函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則(1)奇偶函數(shù)的分拆例4、函數(shù)fxax2bxc為奇函數(shù)的充要條件是,為偶函數(shù)的充要條件是般地，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)fx一定可以表示為一個(gè)奇函數(shù)gx與一個(gè)偶函數(shù)hx之和，則；hx應(yīng)用:定義在，上的任意函數(shù)都可以表示成一個(gè)奇函數(shù)gx和一個(gè)偶函數(shù)hx之和，如果f

3、xlg10x1,x,那么()A、gxx,hxlg10x10x2；-1x1xB、gx-lg101x,hx-lg101x;22入xxxC、gx-,hxlg101一；22xXx人gx,hxlg101一；(全國(guó)局考)22已知fxax2bx3ab,xa1,2a是偶函數(shù)，則a,b。若函數(shù)fxsinxJ3cosx為奇函數(shù)，求的值。若為偶函數(shù)呢已知fxax5bx3cxx2,且f23,求f2的值。(2)抽象函數(shù)的奇偶性例5、設(shè)f(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是()(A)f(x)f(x)是奇函數(shù)(B)f(x)f(x)是奇函數(shù)(C)f(x)f(x)是偶函數(shù)(D)f(x)f(x)是偶函數(shù)(2006年遼寧高考

4、)例6、已知函數(shù)yf2x1是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)ygx的圖象與函數(shù)yfx的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，則gxgx的值為()A、2B、1C、0D、不能確定3、奇偶函數(shù)的圖象特征：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱例7、定義在R上的奇函數(shù)fx,當(dāng)x0時(shí)，fxx1。1求fx的表達(dá)式；解不等式fx0;解不等式fx；2求fx1的表達(dá)式；解不等式xfx10。注：特別地，當(dāng)x0時(shí)，fx0。例8、已知fx是定義在6,6上的奇函數(shù)，且在0,3上為一次函數(shù)，在3,6上為二次函數(shù)，并且當(dāng)x3,6時(shí)，fxf53,f62,求fx的解析式。4、奇偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇偶函數(shù)的和差積商的奇偶性例9、設(shè)fx,gx

5、分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí),xfxgx0,且g30,則不等式fxgx0的解集是A、3,03,3,00,33,0,3（2）奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性例10、定義在 2,2上的偶函數(shù)f x在0,2上為減函數(shù)，試解不等式評(píng)注：若分類(lèi)討論去做，較繁！若用偶函數(shù)性質(zhì)1 m ,從而避開(kāi)分類(lèi)討論。5、關(guān)于奇偶函數(shù)的綜合問(wèn)題11、已知X在 1,1上有定義,x, y1,1證明:求fxny ,對(duì)數(shù)列x11 xy在 1,1上為奇函數(shù);是否存在自然數(shù)m ,使得對(duì)于任意2xnk °f X1f x2HI1f xnm 8成立若存在，求出 m的4最小值。（2005年湖北省八校聯(lián)考）引申：你能求出通項(xiàng)

6、 xn的表達(dá)式嗎6、奇偶函數(shù)對(duì)稱性的推廣若函數(shù)x滿足（偶函數(shù)），則f x的圖像關(guān)于直線y軸）對(duì)稱;若函數(shù)f滿足fx ,則f x的圖像關(guān)于直線 x a對(duì)稱;若函數(shù)f滿足f abx ,則f x的圖像關(guān)于直線x b對(duì)稱。2若函數(shù)x滿足0 （奇函數(shù)），則f x的圖像關(guān)于原點(diǎn) 0,0對(duì)稱;若函數(shù)f滿足fx 0,則fx的圖像關(guān)于點(diǎn) a,0對(duì)稱;若函數(shù)fx滿足faxfax2b,則fx的圖像關(guān)于點(diǎn)a,b對(duì)稱;若函數(shù)fx的圖像有兩條對(duì)稱軸xa,xbab,則fx是周期函數(shù)，且T2ab是它的一個(gè)周期；若函數(shù)fx的圖像有兩個(gè)對(duì)稱中心a,0,b,0ab,則fx是周期函數(shù)，且T2ab是它的一個(gè)周期；若函數(shù)fx的圖像有一條

7、對(duì)稱軸xa,一個(gè)對(duì)稱中心b,0ab,則fx是周期函數(shù)，且T4ab是它的一個(gè)周期；例12、例6、已知fx是定義在，上的增函數(shù),gxfxfax用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)ygx是，上的增函數(shù)；1-_當(dāng)a=0時(shí)，試解不等式gg20；m一一一一、,.，1一右a=2,（i）請(qǐng)指出函數(shù)ygx圖像的對(duì)稱中心點(diǎn)的坐標(biāo)（無(wú)須證明）；（ii）試求滿足g一g2的mm的取值范圍。在高考復(fù)習(xí)中，要重視對(duì)概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的全面梳理與回顧，弄清各知識(shí)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)在聯(lián)系。二、精選范例，通過(guò)引申、拓展、探究，提高復(fù)習(xí)的深廣度“問(wèn)渠哪得清如許，為有源頭活水來(lái)”。縱觀近三年的高考，數(shù)學(xué)試題越來(lái)越“樸素”

8、，既沒(méi)有艱深的知識(shí)，也沒(méi)有冷僻的技巧，許多題目取材于課本，由若干基礎(chǔ)知識(shí)經(jīng)組合、加工、改造而成，因此，在高三復(fù)習(xí)時(shí)要排除各種復(fù)習(xí)資料的干擾，抓住主干知識(shí)強(qiáng)化復(fù)習(xí)，精選范例，通過(guò)引申、拓展、探究，做到解一題通一片，跳出題海，提高效率。以下例題取材于人教社高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)（上）第三章數(shù)列1、探究逆命題我們知道，等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和的公式有三種形式:Snn a1 an29na1nn1d=An2Bn。引導(dǎo)學(xué)生逆向探究2探究1：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和SnAn2 Bn ,問(wèn)數(shù)列an是不是等差數(shù)列分析：當(dāng)n 2時(shí),an SnSn1A 2n 1 B,an1an2A（常數(shù)）；又a1蚪AB,知a?a2A也適合。故數(shù)列

9、an是等差數(shù)列。naa探允2：右數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,問(wèn)數(shù)列an是不是等差數(shù)列2na1an1a1a1分析1：由anSnSn1一1-1得22n2ann1an1a10,因而n3an1n2an2al0,相減得an2an1an20,變形并遞推，有anan1an1an2a2a1（常數(shù)），故an是等差數(shù)列。分析2：由n2ann1an1a10得n2ana1n1an1a1，變形并遞推，有an a1 an 1a1n 1 n 11a2a1,易知數(shù)列 an是等差數(shù)列。評(píng)注：探究2是1994年全國(guó)高考文科試題，有較強(qiáng)的抽象度，較難找到問(wèn)題的突破口，與2005年江蘇省高考題有異曲同工之妙。2005年江蘇省高考題：設(shè)數(shù)

10、列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a11色6211,且(5n8)Sn1(5n2)SnAnB,n1,2,3,，其中為常數(shù).求A與B的值；證明：數(shù)列an為等差數(shù)列；證明：不等式v;5amn、'aman1對(duì)任何正整數(shù)m,n都成立.2、探尋最優(yōu)解P117例4:已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220,由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎教材突出基本量思想，采用第二個(gè)求和公式解答，復(fù)習(xí)時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生嘗試一題多解。方法1設(shè)SnAn2皿100A10B310Bn,則400A20B1220解得A3,B1。評(píng)注：公式3比公式2簡(jiǎn)潔，因此運(yùn)算也更簡(jiǎn)便。受公式3啟發(fā)，有Sbmb萬(wàn)法2令bnAnB,則數(shù)

11、列bn仍為等差數(shù)列，結(jié)合公差的兩點(diǎn)式d-,有nmnb20b10bnb10,在這里，除bn外，其余都是已知的，一步到位，直接得到了答案。2010n10進(jìn)一步探尋更一般的規(guī)律,可以得到(1 )若Sn是等差數(shù)列前n項(xiàng)和，則點(diǎn)Sn n,- n在同一直線上。(2)若 Sp,Sq,Sn 滿足Sn/nSp/pSq/q1數(shù)學(xué)探究性問(wèn)題在培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散性方面有其獨(dú)特的作用，可以使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)產(chǎn)生一種新的領(lǐng)悟，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到有效的發(fā)展。3、歸納、引申、拓展P125第11題：已知a,b是互異的正數(shù)，A是a,b的等差中項(xiàng)，G是a,b的等比中項(xiàng)，A與G有無(wú)確定的大小關(guān)系P136第9題：(1)在a與b中

12、間插入10個(gè)數(shù)，使這12個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng);(2)已知b a 0,在a與b中間插入10個(gè)數(shù),使這12個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)。如將上述兩個(gè)問(wèn)題并聯(lián)，并進(jìn)行推廣，可以得到已知b a 0在a與b中間插入n個(gè)正數(shù)ai i1,2, ,n，使這n 2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列；再在a與b中間插入n個(gè)正數(shù)bi (i 1,2,使這n 2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列。試比較這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)ai與bi的大小。分析：容易求得ai aidaqi, q 心 aai bin 1aq naq=iaqi 1ikkq 1從而知f k為自然數(shù)集上的增函數(shù),kkq q由不等式的傳遞性有i。事實(shí)上，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)E i,

13、ai落在A 1,a與B n 2,b的連線上,占八、F i,bi落在經(jīng)過(guò)點(diǎn) A, B的指數(shù)型函數(shù)的圖像上，因?yàn)橹笖?shù)型函數(shù)的圖像是下凸的，故點(diǎn)E必在點(diǎn)F的上方，即aibi 。中項(xiàng)的概念，進(jìn)一步還可以引導(dǎo)這樣的材料還有很多，如P115第10題、P125第10題要求學(xué)生拓展等差(比)學(xué)生拓展為：已知an是等差(比)數(shù)列，若mnlk,則amanalak(或amana1ak)。又如P114第3題：已知一個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,(1)將數(shù)列中的前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少(2)取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是

14、等差數(shù)列嗎如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少(3)取出數(shù)列中所有項(xiàng)數(shù)為7的倍數(shù)的各項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等差數(shù)列嗎如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少這實(shí)際上是等差數(shù)列的一組性質(zhì)，它以探究的形式要求學(xué)生自己去得到結(jié)論。由后兩小題還可得到更一般結(jié)論：取出等差數(shù)列中的所有等距項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列仍是等差數(shù)列。4、推廣一般問(wèn)題1P110第3題，寫(xiě)出數(shù)列an的前5項(xiàng)：a1-,an4an11n2。此題可要求學(xué)生求出它的通項(xiàng)公式，并進(jìn)一步歸納為一階線性遞推關(guān)系：an1panqp1,0,q0求通項(xiàng)的通法。數(shù)列作為主干知識(shí)具有很大的交融性，常與函數(shù)、三角、方程、不等式、二項(xiàng)式定理、解析幾何

15、等知識(shí)綜合在一起。尤其是浙江省自主命題的3年，壓軸題均為有解析幾何背景的遞推數(shù)列題，因此在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)作適當(dāng)?shù)难由焱卣埂Ｈ?、關(guān)注新教材，提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的針對(duì)性和有效性根的分布定理是高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)分析的一個(gè)定理：如果連續(xù)函數(shù)yfx在閉區(qū)間a,b上滿足fafb0,那么方程fx0在開(kāi)區(qū)間a,b上至少有一個(gè)實(shí)根。上述定理在高等數(shù)學(xué)中利用極限思想，結(jié)合區(qū)間套定理進(jìn)行證明。1993年全國(guó)高考?jí)狠S題：已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2axb0有兩個(gè)實(shí)根，。證明(1)如果2,2,那么2a4b且b4;(1)如果2a4b且b4,那么2,2。2004年高考數(shù)學(xué)廣東卷理科21題：設(shè)函數(shù)f(x)xIn(xm),其中常數(shù)m為整數(shù).(1)當(dāng)m為何值時(shí)，f(x)0；(2)定理：若函數(shù)g(x)在a,b上連續(xù)，且g(a)與g(b)異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)xoC(a,b),使g(xo)=0.試用上述定理證明：當(dāng)整數(shù)m>1時(shí)，方程f(x)=0,在e-m-m,e2m-m內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.2006年高考數(shù)學(xué)浙江卷理16題:設(shè)f(x)=3ax22bxc.若abc0,f(0)>0,f(1)>0,求證:(I)a>0且-2vav-1；b（n）方程f（x）=0在（0,1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.如果函數(shù)yfx在區(qū)間a,b