線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述ppt課件

1、第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 第一章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 1.1 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述1.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立1.3 系統(tǒng)的傳遞函數矩陣系統(tǒng)的傳遞函數矩陣1.5 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.4 線性系統(tǒng)等價的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)等價的狀態(tài)空間描述第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 1.1 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述系統(tǒng)：是由相互關聯(lián)和相互作用的若干組成部分系統(tǒng)：是由相互關聯(lián)和相互作用的若干組成部分按一定規(guī)律組合而成的具有特定功能的整體。按一定規(guī)律組合而成的具有特定功能的整體。 對于控

2、制工程而言，它可能是被控對象、控對于控制工程而言，它可能是被控對象、控制裝置，也可能是某些部件的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋制裝置，也可能是某些部件的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋組合。組合。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖圖1-1 系統(tǒng)的方塊圖表示系統(tǒng)的方塊圖表示 圖中方塊以外的部分為系統(tǒng)環(huán)境圖中方塊以外的部分為系統(tǒng)環(huán)境; 環(huán)境對系統(tǒng)施加的作用或激勵稱為系統(tǒng)輸入，環(huán)境對系統(tǒng)施加的作用或激勵稱為系統(tǒng)輸入， 用向量用向量 表示表示; 系統(tǒng)對環(huán)境的作用即從外部量測到的系統(tǒng)信系統(tǒng)對環(huán)境的作用即從外部量測到的系統(tǒng)信 息稱為系統(tǒng)輸出，用向量息稱為系統(tǒng)輸出，用向量 表示；表示； 系統(tǒng)輸入和輸出統(tǒng)稱為系統(tǒng)的外部變量。系統(tǒng)輸入和輸出

3、統(tǒng)稱為系統(tǒng)的外部變量。 描述系統(tǒng)內部狀況的變量稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，描述系統(tǒng)內部狀況的變量稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量， 用向量用向量 表示，它是系統(tǒng)的內部變量。表示，它是系統(tǒng)的內部變量。 12 ,Tpu uuu12,Tqy yyy12,Tnx xxx第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 主要的數學描述主要的數學描述第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 1輸入輸入輸出描述外部描述）輸出描述外部描述） 輸入輸入輸出描述是描述系統(tǒng)輸入輸出描述是描述系統(tǒng)輸入輸出變量關系的輸出變量關系的模型。如傳遞函數、微分方程等模型。如傳遞函數、微分方程等.輸入輸入輸出描述外部描述僅描述系統(tǒng)的外部特輸出描述外部描述僅描述系統(tǒng)的外部特性，不

4、能反映系統(tǒng)的內部結構特征即不能反映性，不能反映系統(tǒng)的內部結構特征即不能反映“黑黑箱內部的某些部分），是對系統(tǒng)的一種不完全描述。箱內部的某些部分），是對系統(tǒng)的一種不完全描述。1qySystem1pu視系統(tǒng)為視系統(tǒng)為black box第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 例如：例如： 從輸入從輸入輸出關系來看，它們具有相同的傳遞函數：輸出關系來看，它們具有相同的傳遞函數：1( )1G ss 實際上這兩個系統(tǒng)是不等價的，一個是能觀不能控的，實際上這兩個系統(tǒng)是不等價的，一個是能觀不能控的，一個是能控不能觀的。一個是能控不能觀的。 說明說明:系統(tǒng)的內部特性比起由傳遞函數表達的外部特性系統(tǒng)的內部特性比起由傳遞函

5、數表達的外部特性要復雜得多，輸入要復雜得多，輸入輸出描述沒有包含系統(tǒng)的全部信息，輸出描述沒有包含系統(tǒng)的全部信息，不能完整的描述一個系統(tǒng)。不能完整的描述一個系統(tǒng)。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2狀態(tài)空間描述內部描述）狀態(tài)空間描述內部描述） 狀態(tài)空間描述通過建立系統(tǒng)內部狀態(tài)和系統(tǒng)的輸入狀態(tài)空間描述通過建立系統(tǒng)內部狀態(tài)和系統(tǒng)的輸入以及輸出之間的數學關系，來描述系統(tǒng)的行為。以及輸出之間的數學關系，來描述系統(tǒng)的行為。F( x，u，t )u(t)y(t)圖圖1-3 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述內部描述能完全表征系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述內部描述能完全表征系統(tǒng)的一切動力學特征，它是對系統(tǒng)的一個

6、完全描述。一切動力學特征，它是對系統(tǒng)的一個完全描述。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 狀態(tài)空間描述是基于內部結構分析的數學模型，狀態(tài)空間描述是基于內部結構分析的數學模型，通常由兩個數學方程組成。通常由兩個數學方程組成。 狀態(tài)方程：是描述系統(tǒng)內部變量狀態(tài)方程：是描述系統(tǒng)內部變量 與輸入變量與輸入變量 間因果關系的數學表達間因果關系的數學表達式，常具有微分方程或差分方程的形式。式，常具有微分方程或差分方程的形式。 輸出方程：是表征系統(tǒng)內部變量輸出方程：是表征系統(tǒng)內部變量及輸入變量及輸入變量 和輸出變量和輸出變量間轉換關系的數學表達式，具有代數方程的形間轉換關系的數學表達式，具有代數方程的形式式. 1

7、2,Tnx xxx12 ,Tpu uuu12 ,Tnx xxx12 ,Tpu uuu12,Tqy yyy第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 系統(tǒng)的狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài) 描述系統(tǒng)的過去、現描述系統(tǒng)的過去、現在和未來行為的變量在和未來行為的變量組，是用來完善地描組，是用來完善地描述系統(tǒng)行為的最小的述系統(tǒng)行為的最小的一組變量。一組變量。 狀態(tài)變量狀態(tài)變量狀態(tài)變量是指構成系狀態(tài)變量是指構成系統(tǒng)狀態(tài)的每一個變量。統(tǒng)狀態(tài)的每一個變量。狀態(tài)變量構成的列向狀態(tài)變量構成的列向量為狀態(tài)向量。量為狀態(tài)向量。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 狀態(tài)變量組可完全地表征系統(tǒng)行為的屬性體現在：狀態(tài)變量組可完全地表征系統(tǒng)行為的屬性體現在：

8、 只要給定這組變量只要給定這組變量 在初始時刻在初始時刻t0的值，的值，以及輸入變量以及輸入變量 在各瞬時在各瞬時tt0的值，則系統(tǒng)的值，則系統(tǒng)中任何一個變量在中任何一個變量在tt0時的運動行為就可以被完全確定。時的運動行為就可以被完全確定。12( )( )( )nx tx tx t， ，12( )( )( )pu tu tut， ，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述關于狀態(tài)的幾點說明關于狀態(tài)的幾點說明 狀態(tài)變量組的最小性體現在：狀態(tài)變量組的最小性體現在： 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 是為完全表征系統(tǒng)行為是為完全表征系統(tǒng)行為所必需的系統(tǒng)變量的最少個數，減少變量數將破壞表征的完所必需的系統(tǒng)變量的最少個數

9、，減少變量數將破壞表征的完全性，而增加變量數將是完全表征系統(tǒng)行為所不需要的。全性，而增加變量數將是完全表征系統(tǒng)行為所不需要的。12( )( )( )nx tx tx t， ，第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 狀態(tài)變量組選取上的不唯一性：狀態(tài)變量組選取上的不唯一性： 由于系統(tǒng)中變量的個數必大于由于系統(tǒng)中變量的個數必大于n，而其中僅有，而其中僅有n個個是線性無關的，因此決定了狀態(tài)變量組在選取上的不是線性無關的，因此決定了狀態(tài)變量組在選取上的不唯一性。唯一性。系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述關于狀態(tài)的幾點說明關于狀態(tài)的幾點說明 系統(tǒng)的任意選取的兩個狀態(tài)變量組之間為線性非奇系統(tǒng)的任意選取的兩個狀態(tài)變

10、量組之間為線性非奇異變換的關系。異變換的關系。狀態(tài)變量是時間域的。狀態(tài)變量是時間域的。狀態(tài)變量有時是不可測量的。狀態(tài)變量有時是不可測量的。狀態(tài)變量不是所有變量的總和。狀態(tài)變量不是所有變量的總和。輸出量可以選作狀態(tài)變量。輸出量可以選作狀態(tài)變量。輸入量不允許選作狀態(tài)變量。輸入量不允許選作狀態(tài)變量。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 狀態(tài)向量：是由狀態(tài)變量所構成的向量，即向量狀態(tài)向量：是由狀態(tài)變量所構成的向量，即向量 稱為稱為n維狀態(tài)向量。維狀態(tài)向量。12( )( ),( ),( )Tnx tx tx tx t狀態(tài)空間：以狀態(tài)空間：以n個線性無關的狀態(tài)變量作為基底所個線性無關的狀態(tài)變量作為基底所組成的組

11、成的 n 維空間稱為狀態(tài)空間維空間稱為狀態(tài)空間Rn。狀態(tài)軌線：隨著時間推移，系統(tǒng)狀態(tài)狀態(tài)軌線：隨著時間推移，系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在狀態(tài)空在狀態(tài)空間所留下的軌跡稱為狀態(tài)軌線或狀態(tài)軌跡。間所留下的軌跡稱為狀態(tài)軌線或狀態(tài)軌跡。 第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 1狀態(tài)方程（狀態(tài)方程（）：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量）：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關系的一階微分方程組之間關系的一階微分方程組(連續(xù)時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng))或一階差分方或一階差分方程組程組(離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng))稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 狀態(tài)方程表征了系統(tǒng)由輸入所引起的內部狀態(tài)變化，狀態(tài)方程表征了系統(tǒng)由輸入所引起的內部狀態(tài)變化

12、，其一般形式為：其一般形式為：( ) ( ), ( ), ttt t xfxu或或 1() ( ), ( ),kkkkttttxfxu三三 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2輸出方程（輸出方程（）：描述系統(tǒng)輸出變量與狀）：描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量之間函數關系的代數方程組稱為態(tài)變量和輸入變量之間函數關系的代數方程組稱為系統(tǒng)的輸出方程。其一般形式為：系統(tǒng)的輸出方程。其一般形式為：( ) ( ), ( ), ttt tyg xu或或( ) ( ), ( ),kkkkttttyg xu第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 連續(xù)系統(tǒng)：連續(xù)系統(tǒng)：( ) (

13、 ), ( ), ( ) ( ), ( ), ttt tttt t xfxuyg xu1() ( ), ( ),( ) ( ), ( ),kkkkkkkkttttttttxfxuyg xu(1) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), kkk kkkk k或xfxuyg xu離散系統(tǒng)：離散系統(tǒng)： 第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為：線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為：( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )tA ttB tttC ttD ttxxuyxu線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為：線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為：(1)( )( )( ) (

14、)( )( )( )( ) ( )kG kkH kkkC kkD kkxxuyxu （簡記為（簡記為 ） ( ( ),( ),( ),( )G kH k C kD k第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 式中：若狀態(tài)式中：若狀態(tài)x、輸入、輸入u、輸出、輸出y的維數分別為的維數分別為n, p, q，那么，那么系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣(或狀態(tài)矩陣、系數矩陣或狀態(tài)矩陣、系數矩陣);控制矩陣或輸入矩陣）；控制矩陣或輸入矩陣）；觀測矩陣或輸出矩陣）；觀測矩陣或輸出矩陣）；前饋矩陣或輸入輸出矩陣）；前饋矩陣或輸入輸出矩陣）；( ),( )n pB t H kR( ),( )q nC t C kR( ),( )q pD

15、tD kR( ),( )n nA t G kR第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為：線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為：( )( )( )( )( )( )tAtBttCtDtxxuyxu線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為：線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為：(1)( )( )( )( )( )kGkHkkCkDkxxuyxu （簡記為（簡記為 ） ( , ,)A B C D（簡記為（簡記為 ） ( ,)G H C D第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖圖1-4 線性連續(xù)時間系統(tǒng)結構圖線性連續(xù)時間系統(tǒng)結構圖圖圖1-5 線性離散時間系統(tǒng)結構圖線性離散時間系統(tǒng)結構圖注意：注意：

16、1每一個方塊的輸入輸出關系規(guī)定為：每一個方塊的輸入輸出關系規(guī)定為：輸出向量輸出向量 = (方塊所示矩陣方塊所示矩陣)(輸入向量輸入向量)2向量、矩陣的乘法運算中，相乘順序不允許任意顛倒。向量、矩陣的乘法運算中，相乘順序不允許任意顛倒。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 從以上兩個結構圖中可以看出，從以上兩個結構圖中可以看出，D描述了輸入描述了輸入u不不經狀態(tài)變量經狀態(tài)變量x對輸出對輸出y的直接影響，它不影響系統(tǒng)的動態(tài)的直接影響，它不影響系統(tǒng)的動態(tài)過程，實質上是系統(tǒng)外部模型的一部分。過程，實質上是系統(tǒng)外部模型的一部分。 因而，當利用狀態(tài)模型來分析系統(tǒng)動態(tài)行為時，常因而，當利用狀態(tài)模型來分析系統(tǒng)動態(tài)行

17、為時，常假設假設D0，并不失對問題討論的一性。，并不失對問題討論的一性。連續(xù)時變系統(tǒng)：連續(xù)時變系統(tǒng)：( )( )( )( ) ( )( )( )( )tA ttB tttC ttxxuyx連續(xù)時不變系統(tǒng)：連續(xù)時不變系統(tǒng)：( )( )( )( )( )tAtBttCtxxuyx第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 輸入輸出描述僅揭輸入輸出描述僅揭示系統(tǒng)在初始松弛示系統(tǒng)在初始松弛假定下輸入輸出間假定下輸入輸出間的關系，不能揭示的關系，不能揭示系統(tǒng)的內部行為。系統(tǒng)的內部行為。復雜的線性系統(tǒng)，復雜的線性系統(tǒng)，求狀態(tài)空間描述較求狀態(tài)空間描述較困難，可借助于直困難，可借助于直接量測求取輸入輸接量測求取輸入輸出描

18、述。出描述。動態(tài)方程能夠推動態(tài)方程能夠推廣到時變情形，廣到時變情形，而傳遞函數向時而傳遞函數向時變情形的推廣是變情形的推廣是不成功的。不成功的。若采用動態(tài)方程若采用動態(tài)方程描述，較容易在描述，較容易在計算機上對系統(tǒng)計算機上對系統(tǒng)進行仿真。進行仿真。 輸入輸出描述和狀態(tài)空間描述的比較輸入輸出描述和狀態(tài)空間描述的比較 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 1.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立 建立狀態(tài)空間表達式的方法主要有兩種：建立狀態(tài)空間表達式的方法主要有兩種： 1.根據系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間表達式：屬于分析的途根據系統(tǒng)機理

19、建立狀態(tài)空間表達式：屬于分析的途徑，適用于結構和參數為已知的系統(tǒng)。徑，適用于結構和參數為已知的系統(tǒng)。 直接根據系統(tǒng)的機理建立相應的微分方程，繼而選擇有直接根據系統(tǒng)的機理建立相應的微分方程，繼而選擇有關的物理量作為狀態(tài)變量，從而導出其狀態(tài)空間表達式。關的物理量作為狀態(tài)變量，從而導出其狀態(tài)空間表達式。 2.由系統(tǒng)其它數學模型建立狀態(tài)空間表達式：屬于辨由系統(tǒng)其它數學模型建立狀態(tài)空間表達式：屬于辨識的途徑，適用于結構和參數難以搞清楚的系統(tǒng)。識的途徑，適用于結構和參數難以搞清楚的系統(tǒng)。 通過實驗手段取得數據并采用適當的方法確定系統(tǒng)的通過實驗手段取得數據并采用適當的方法確定系統(tǒng)的輸入輸出模型，再由所得的系

20、統(tǒng)輸入輸出描述導出相應的輸入輸出模型，再由所得的系統(tǒng)輸入輸出描述導出相應的狀態(tài)空間描述。狀態(tài)空間描述。 第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 根據系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間描述的基本步驟：根據系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間描述的基本步驟： 1根據系統(tǒng)所遵循的物理規(guī)律，建立系統(tǒng)的微根據系統(tǒng)所遵循的物理規(guī)律，建立系統(tǒng)的微分方程或差分方程；分方程或差分方程； 2選取有關物理量選取有關物理量 (變量變量) 作為狀態(tài)變量，推導作為狀態(tài)變量，推導出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 例例1-1P403例例9-1）：建立）：建立RCL網絡的狀態(tài)方程網絡的狀態(tài)方程解：根據各元件的電

21、流與電壓關系、回路電壓和等于解：根據各元件的電流與電壓關系、回路電壓和等于零，得到系統(tǒng)的方程：零，得到系統(tǒng)的方程：11iodiRiLidtudtCuidtC系統(tǒng)的輸入、輸出分別為系統(tǒng)的輸入、輸出分別為oiuyuu，第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 a選取狀態(tài)變量選取狀態(tài)變量 ，則狀態(tài)空，則狀態(tài)空間描述為：間描述為： 1201xixidtuC，/1/1/1/0001R LLLC xxuyxb選取狀態(tài)變量選取狀態(tài)變量 ，則狀態(tài)空間描述為：，則狀態(tài)空間描述為： tidxix21，/1/()1/10001/R LCLLC xxuyx狀態(tài)變量選取方法不同，則狀態(tài)空間描述不同。狀態(tài)變量選取方法不同，則狀態(tài)空

22、間描述不同。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 比較兩種狀態(tài)變量選取方法，很容易得到它們比較兩種狀態(tài)變量選取方法，很容易得到它們之間的變換矩陣：之間的變換矩陣：121xixidtC12xixidt 11221xxxxC11221010 xxxxC即即和和注意：該例說明系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述不是唯一的，注意：該例說明系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述不是唯一的，各種描述之間可以相互轉換，且不改變系統(tǒng)的固各種描述之間可以相互轉換，且不改變系統(tǒng)的固有性質。有性質。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 狀態(tài)實現：由輸入狀態(tài)實現：由輸入-輸出描述建立狀態(tài)空間描述，輸出描述建立狀態(tài)空間描述，稱為狀態(tài)實現。稱為狀態(tài)實現。 一個給定系統(tǒng)的

23、狀態(tài)實現有多種形式。在線性系統(tǒng)理論中，要討論某種性質時，為敘述方便，常采用特定的標準形式。可控標準型實現可控標準型實現可觀測標準型實現可觀測標準型實現對角型實現對角型實現約當規(guī)范型實現約當規(guī)范型實現第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 1 1 問題的提法問題的提法 考慮一個單變量線性定常系統(tǒng)，其輸入輸出描述微分方程考慮一個單變量線性定常系統(tǒng)，其輸入輸出描述微分方程如下：如下： ubububyyyy01)(1)m(m0) 1 (1) 1n(1n)n(nm,dtudu,dtydyii) i (ii) i ( 狀態(tài)實現問題將歸結為選取適當的狀態(tài)變量組和狀態(tài)實現問題將歸結為選取適當的狀態(tài)變量組和確定各個系數

24、矩陣。確定各個系數矩陣。1212101110( )( )( )nnnnnnnsssY sG sU ssasa sa其中：其中：或：或：第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2. 可控標準型實現（可控標準型實現（）設設 1212101110( )( )( )( )( )nnnnnnnsssY sN sG sU ssasa saD s則矩陣形式的可控標準型實現為則矩陣形式的可控標準型實現為Auy xx+bcx式中：式中：01101210100000100,000101nnAaaaa b =c =友矩陣友矩陣第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 總結：系統(tǒng)矩陣總結：系統(tǒng)矩陣A的上方次對角線的元素全為的上方次對角

25、線的元素全為1，最后一行是最后一行是G(s)的特征多項式系數的相反數的逆序的特征多項式系數的相反數的逆序排列，其余元素全為零，上述形式的排列，其余元素全為零，上述形式的A陣稱為友矩陣稱為友矩陣；陣； 控制矩陣向量控制矩陣向量b是最后一個元素為是最后一個元素為1，其余，其余元素均為零的列向量；輸出矩陣向量元素均為零的列向量；輸出矩陣向量c是是G(s)分分子多項式系數的逆序排列。若動態(tài)方程中的子多項式系數的逆序排列。若動態(tài)方程中的A，b具具有這種形式，則為可控標準型。有這種形式，則為可控標準型。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 3 可觀測標準型實現（可觀測標準型實現（）Auy xxbcx121210

26、1110( )( )( )( )( )nnnnnnnsssY sN sG sU ssasa saD s則矩陣形式的狀態(tài)方程和輸出方程為則矩陣形式的狀態(tài)方程和輸出方程為式中：式中：00112211000100010;0001001nnnaaAaabc友矩陣友矩陣第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 總結：系統(tǒng)矩陣總結：系統(tǒng)矩陣A的下方次對角線的元素均為的下方次對角線的元素均為1，最后一列是最后一列是G(s)的特征多項式系數的相反數的逆序的特征多項式系數的相反數的逆序排列，其余元算全為零，上述形式的排列，其余元算全為零，上述形式的A陣稱為友矩陣稱為友矩陣；陣； 輸出矩陣向量輸出矩陣向量c是最后一個元素為

27、是最后一個元素為1，其余，其余元素均為零的行向量；控制矩陣向量元素均為零的行向量；控制矩陣向量b是是G(s)分分子多項式系數的逆序排列。若動態(tài)方程中的子多項式系數的逆序排列。若動態(tài)方程中的A，c具具有這種形式，則為可觀測標準型。有這種形式，則為可觀測標準型。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 例例1-2P411例例9-5）（）（）：已知二階系統(tǒng)的微分方程）：已知二階系統(tǒng)的微分方程22yyyT uu試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式.解：系統(tǒng)傳遞函數為解：系統(tǒng)傳遞函數為22( )1( )( )2Y sT sG sU sss可控標準型：可控標準型：1112222010121ccccccx

28、xxuyTxxx ；2111222100112ooooooxxxuyxxxT ；可觀測標準型：可觀測標準型：第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 4 對角型實現對角型實現 當系統(tǒng)傳遞函數只含單實極點時，還可作對角當系統(tǒng)傳遞函數只含單實極點時，還可作對角型實現，該實現形式系統(tǒng)矩陣型實現，該實現形式系統(tǒng)矩陣A是一個對角陣。是一個對角陣。 1212101110( )( )( )( )( )nnnnnnnsssY sN sG sU sD ssasa sa分母多項式分母多項式D(s)有有n個單實極點個單實極點 ，對傳遞，對傳遞函數作部分分式展開則有函數作部分分式展開則有 ：1( )( )( )( )( )ni

29、iicY sN sG sU sD ss其中：其中： 為為G(s)在極點在極點 處的留數。處的留數。( )()( )iiisN scsD s12,n i第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 111122221211,1nnnnnxxxxxxuycccxxx 對角型實現為：對角型實現為： 或或1111122222,1 11nnnnnxxcxxxcxuyxxcx對偶關系對偶關系 第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 例例1-3：已知系統(tǒng)的傳遞函數為：已知系統(tǒng)的傳遞函數為232( )3.573( )( )3.53.51N sssG sD ssss請寫出系統(tǒng)的對角型實現。請寫出系統(tǒng)的對角型實現。解：解：1求系統(tǒng)極點

30、：求系統(tǒng)極點： 32( )3.53.51(1)(2)(0.5)0D sssssss 故系統(tǒng)有三個單實極點，即故系統(tǒng)有三個單實極點，即 1231,2,0.5 2對傳遞函數進行部分分式展開為對傳遞函數進行部分分式展開為( )120.5( )( )120.5N sG sD ssss即：即：1231,2,0.5ccc第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 3對角型實現為：對角型實現為：10010201120.5000.51uy ；xxx100102021 1 1000.50.5uy；xxx或或第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 5 約當標準型實現約當標準型實現 當傳遞函數除含有單實極點以外，還含有重極當傳遞函數除

31、含有單實極點以外，還含有重極點時，不能作對角型實現，但總可以作成分塊對角點時，不能作對角型實現，但總可以作成分塊對角形實現，稱之為約當標準型實現，其系統(tǒng)矩陣形實現，稱之為約當標準型實現，其系統(tǒng)矩陣A是是一個含有約當塊的矩陣。一個含有約當塊的矩陣。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 322( )110111( )(3)(3)3(2)21N sD sssssss即：即：111213414261,1,0,1,1,1cccccc 例例1-4：系統(tǒng)傳遞函數為：系統(tǒng)傳遞函數為求約當標準型實現。求約當標準型實現。32( )211( )( )(3)(2)1N sssG sD ssss解：系統(tǒng)極點為：解：系統(tǒng)極點為

32、：3重極點重極點1= 3，2重極點重極點4 = - 2， 單極點單極點6 = 1。部分分式改寫為：部分分式改寫為：第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 1111121213134141424266310000003100000030001000210000002010000011xxxxxxuxxxxxx 111213414261 10111xxxyxxx約當標準型實現為：約當標準型實現為：第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 或或1111121213134141424266300000113000010130000000200100012010000011xxxxxxuxxxxxx 1112134142

33、6001011xxxyxxx第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 總結：總結：1對角型實現和約當標準型實現，需要計算對角型實現和約當標準型實現，需要計算系統(tǒng)的極點系統(tǒng)的極點(特征值特征值)和特征向量，很不方便。和特征向量，很不方便。2在線性系統(tǒng)理論中，許多定理或性質的證在線性系統(tǒng)理論中，許多定理或性質的證明過程中，使用約當標準型是很方便的。明過程中，使用約當標準型是很方便的。3在作狀態(tài)實現時選用可控標準型或可觀測在作狀態(tài)實現時選用可控標準型或可觀測標準型最為方便。如需要其它標準型式，可通標準型最為方便。如需要其它標準型式，可通過非奇異變換來獲取。過非奇異變換來獲取。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 由

34、系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達式的整個思路與由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達式的整個思路與由系統(tǒng)傳遞函數建立狀態(tài)空間表達式的思路是類似的，由系統(tǒng)傳遞函數建立狀態(tài)空間表達式的思路是類似的，所以這里不再詳細介紹，請參看教材所以這里不再詳細介紹，請參看教材P405-407。 另外，當給定系統(tǒng)微分方程時，可先求出其傳遞函另外，當給定系統(tǒng)微分方程時，可先求出其傳遞函數，然后按照前面推導的公式直接寫出其可控標準型和數，然后按照前面推導的公式直接寫出其可控標準型和可觀測標準型實現，例如我們在例可觀測標準型實現，例如我們在例1-2種所做的那樣。種所做的那樣。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 方法一：方法一：（1 1

35、m=0m=0微分方程右邊不含輸入變量的導數項）微分方程右邊不含輸入變量的導數項）ubyyyy00) 1 (1) 1n(1n)n(選取系統(tǒng)的選取系統(tǒng)的n n個狀態(tài)變量為個狀態(tài)變量為) 1n(1nn)2(23121yxxyxxyxxyx第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 1021n1n00) 1 (1) 1n(1n0)n(nxxx-ubyyy-ubyx寫成向量方程的形式：寫成向量方程的形式：ub00 xxx10010 xxxx0n1n11n10n1n1第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 （2 2m=nm=n微分方程右邊含輸入變量的導數項）微分方程右邊含輸入變量的導數項）ubububyyyy01)(1)n(

36、n0) 1 (1) 1n(1n)n(按如下方法選取狀態(tài)變量組：按如下方法選取狀態(tài)變量組：uuuuyxuuuyxuu-yxu-yx1n) 1 (2n)2n(1) 1n(0) 1n(n2) 1 (1)2(0)2(31) 1 (0201第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 經推導可得：經推導可得：uxxxxuxxuxuu-yxuxu-yxn1021n1nn1nn1 -n23(1)1)2(0(2)212(1)0(1)1第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：uxxx001uxyuxxx10010 xxxx0n1n101n1 -n1n1n11n10n

37、1n1第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 方法二中間變量法）方法二中間變量法）ubububyyyy01)(1)n(n0) 1 (1) 1n(1n)n(令系統(tǒng)的輸入輸出描述微分方程如下：令系統(tǒng)的輸入輸出描述微分方程如下： 系統(tǒng)的傳遞函數為：系統(tǒng)的傳遞函數為： 011n1nn01nnsssbsbsb) s ( u) s ( y) s ( g第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 引入中間變量引入中間變量z(t),z(t),則上式表示為：則上式表示為： 01nn011n1nnbsbsb) s ( z) s ( ysss1) s (u) s ( z對上面兩式求拉氏反變換：對上面兩式求拉氏反變換： ) t ( zb

38、) t (zb) t (zb) t (zb) t ( y) t ( uz(t) t (z) t (z) t (z0) 1 (1) 1n(1n)n(n0) 1 (1) 1n(1n)n(第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 按方法一的方法選取狀態(tài)變量：按方法一的方法選取狀態(tài)變量： uxxx) t (zxzxxzxxzxxzx1021n1n)n(n) 1n(1nn)2(23121第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：u100 xxx10010 xxxxn1n11n10n1n1xbbxbubxbbbuxxby1n01n0nn1n10n1n10n第

39、1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 1.3 系統(tǒng)的傳遞函數矩陣系統(tǒng)的傳遞函數矩陣 (P421)( )( )( )( )( )( )tAtBttCtDtxxuyxu在初始條件為零時，系統(tǒng)的傳遞函數矩陣表達式為：在初始條件為零時，系統(tǒng)的傳遞函數矩陣表達式為：1( )()G sC sABDI（） 第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 證明：在初始條件為零的條件下，作拉普拉斯變換有：證明：在初始條件為零的條件下，作拉普拉斯變換有：( )( )( )( )( )( )ssAsBssCsDsXXUYXU(sI-A)非奇異非奇異1( )()( )ssIABsXU11( )()( )( )()( )( )( )sC sI

40、ABsDsC sIABDsG ssYUUUU1( )()G sC sABDI第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 三點說明：三點說明：1若輸入若輸入u為為p維向量，輸出維向量，輸出y為為q維向量，則維向量，則G(s)為為(qp)矩陣。矩陣。Y(s)=G(s)U(s)的展開式為：的展開式為：1111211221222212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )ppqqqqppY sGsGsGsU sY sGsGsGsUsY sGsGsGsUs 式中：式中：Gij(s)表示第表示第i個輸出量與第個輸出量與第j個輸入量之間的傳函。個輸入量之間的傳函。2幾

41、個概念： 系統(tǒng)的特征矩陣：系統(tǒng)的特征矩陣：(sI-A) 第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 系統(tǒng)的特征多項式：系統(tǒng)的特征多項式：det(sI-A) , ndet(sI-A) , n維系統(tǒng)的特征多項式維系統(tǒng)的特征多項式為為: :1110( )det()nnnssAsssI系統(tǒng)的特征方程：系統(tǒng)的特征方程：( )0s 系統(tǒng)的特征根或特征值）：特征方程系統(tǒng)的特征根或特征值）：特征方程 的根。的根。( )0s3前饋矩陣前饋矩陣D不影響系統(tǒng)的動態(tài)性能，在分析系統(tǒng)動不影響系統(tǒng)的動態(tài)性能，在分析系統(tǒng)動態(tài)性能時，通常認為態(tài)性能時，通常認為D =0，即：，即：BAsCsG1)()(當當D0D0時，時，G(s)G(s)

42、為真有理分式陣；為真有理分式陣；當當D=0D=0時，時，G(s)G(s)為嚴格真有理分式陣。為嚴格真有理分式陣。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 例例1-5P422例例9-10） （） ：已知系統(tǒng)動態(tài)方程為：已知系統(tǒng)動態(tài)方程為1111122222011010;020101xxuyxxxuyx解：解：試求系統(tǒng)的傳遞函數矩陣。試求系統(tǒng)的傳遞函數矩陣。011010,0020101ABCD11201)I(ssAs1121(2)101(2)0(2)sss sss ss第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 1( )()G sC sABI11111010(2)(2)01101100(2)(2)ss sss sss傳

43、遞函數矩陣為：傳遞函數矩陣為： 第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 結論：給定狀態(tài)空間描述的系數矩陣結論：給定狀態(tài)空間描述的系數矩陣A, B, C, D，求出特征多項式求出特征多項式1110( ) det()nnnssAsssI和和1212311212011nnnnnnnnnECBECABCBECABCABCBECABCABCB則相應的傳遞函數矩陣就可按下式來定出：則相應的傳遞函數矩陣就可按下式來定出：1212101( )( )nnnnG sEsEsE sEDs特別適用于特別適用于計算機計算計算機計算第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 例例1-6：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：2

44、 0 01 20 2 01 0;1 1 20 3 13 1xxuyx求傳遞函數矩陣求傳遞函數矩陣G(s)。解：解：1) 先定出系統(tǒng)的特征多項式為：先定出系統(tǒng)的特征多項式為：232( )det()(2) (1)584ssIAsssss2) 再計算系數矩陣：再計算系數矩陣：21 21 1 2 1 08 43 1ECB第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 122 0 0121 1 20 2 01 0402024140 3 13 1ECABCB 20212 0 02 411 20 2 02 0803064 3216 120 3 16 1ECA BCABCB 3) 傳遞函數矩陣為傳遞函數矩陣為:2222103

45、23218241641412( )( )584584ssssG sE sE sEsssssss第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 萊弗勒算法：給定萊弗勒算法：給定nn階常陣階常陣A，其特征多項式為：，其特征多項式為：1110( )det()nnnssAsssI其系數其系數ii=n-1,n-2,1,0可按如下順序遞推定出：可按如下順序遞推定出：11122112332231122100110(),1(),2(),3(),1(),nnnnnnnnnnnnntr RARItr RARRAItr RARRAItr R ARR AIntr R ARR AIn 其中：其中：tr表示矩陣的主對角線上元素之和，稱為

46、矩陣的跡。表示矩陣的主對角線上元素之和，稱為矩陣的跡。 I為為n階單位陣。階單位陣。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 一一 坐標變換坐標變換1 1 基底基底 設在線性空間中有一組線性無關向量，若該空設在線性空間中有一組線性無關向量，若該空間中的每一個向量均可唯一地由該組向量的線性組合間中的每一個向量均可唯一地由該組向量的線性組合表示，則稱該組向量是該線性空間中的一個基底。表示，則稱該組向量是該線性空間中的一個基底。 在在n n維向量空間中，任何維向量空間中，任何n n個線性無關向量均可作為個線性無關向量均可作為基底。基底。1.4 線性系統(tǒng)等價的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)等價的狀態(tài)空間描述第1章 線性系

47、統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2 2 坐標變換坐標變換 將系統(tǒng)在狀態(tài)空間的一個基底上的表征，將系統(tǒng)在狀態(tài)空間的一個基底上的表征，化為另一個基底上的表征。化為另一個基底上的表征。 坐標變換是一種非奇異變換。坐標變換是一種非奇異變換。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 二二 線性系統(tǒng)等價狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)等價狀態(tài)空間描述DuCxyBuAxx對對x x進行非奇異變換進行非奇異變換 ，則有，則有Pxx uDxCyuBxAx式中：式中： 稱兩種狀態(tài)空間描述是代數等價的。稱兩種狀態(tài)空間描述是代數等價的。DD,CPC,PBB,PAPA-1-1第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 D(t)uC(t)xyB(t)uA(t)xx對對

48、x x進行非奇異變換進行非奇異變換 ，則有，則有P(t)xx (t)uDx(t)Cy(t)uBx(t)Ax式中：式中：D(t)(t)D,(t)C(t)P(t)C,P(t)B(t)(t)B(t)P(t)A(t)P(t)PP(t)(t)A1 -1代數等價狀態(tài)空間描述代數等價狀態(tài)空間描述第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 三三 代數等價系統(tǒng)的主要性質代數等價系統(tǒng)的主要性質u 對于兩個代數等價系統(tǒng)對于兩個代數等價系統(tǒng)u （1 1它們的特征值相同；它們的特征值相同；u （2 2它們的傳遞函數矩陣相同。它們的傳遞函數矩陣相同。u 對于線性定常系統(tǒng)，兩個代數等價的對于線性定常系統(tǒng)，兩個代數等價的狀態(tài)空狀態(tài)空u

49、間描述，可以化為相同的對角線規(guī)間描述，可以化為相同的對角線規(guī)范形或約范形或約u 當規(guī)范形。當規(guī)范形。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 對角規(guī)范形對角規(guī)范形狀態(tài)方程中的狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A A具具 有對角形的形有對角形的形式。式。 約當規(guī)范形約當規(guī)范形狀態(tài)方程中的狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A A具具 有分塊對角形有分塊對角形的形式。的形式。四四 狀態(tài)方程的對角規(guī)范形和約當規(guī)范形狀態(tài)方程的對角規(guī)范形和約當規(guī)范形第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 u當當A A的的n n個特征值個特征值 兩兩互異時兩兩互異時u或當系統(tǒng)矩陣或當系統(tǒng)矩陣A A的的n n個特征向量個特征向量 線性無關線性無關u 此時

50、，系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以通過線性非奇異變此時，系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以通過線性非奇異變換，變換為對角線規(guī)范形形式。換，變換為對角線規(guī)范形形式。n21,n21,化對角規(guī)化對角規(guī)范形的條件范形的條件1 1 化對角規(guī)范形的條件化對角規(guī)范形的條件第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2 2 化對角線規(guī)范形的方法化對角線規(guī)范形的方法（1 1） 當當A A矩陣為一般形式時矩陣為一般形式時 結論：設系統(tǒng)滿足化為對角規(guī)范形的條件，那么結論：設系統(tǒng)滿足化為對角規(guī)范形的條件，那么系統(tǒng)的狀態(tài)方程在變換系統(tǒng)的狀態(tài)方程在變換 下必可化為如下下必可化為如下的對角線規(guī)范形：的對角線規(guī)范形：xQPxx-112nxxBuBPB其中：其中：q,

51、q,qPQn21-1 (1) Q矩陣由矩陣由A的的n個線個線性無關的特征向量構成性無關的特征向量構成的。的。 (2)在對角規(guī)范形下，在對角規(guī)范形下，各個狀態(tài)變量間實現了各個狀態(tài)變量間實現了完全解耦。完全解耦。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 （2 2） 當當A A為友矩陣時為友矩陣時 即即0121010000100001nAaaaa 當當A A的特征值的特征值 兩兩互異時，則下兩兩互異時，則下列的范德蒙特列的范德蒙特VandermodeVandermode矩陣矩陣P P可使可使A A對角化：對角化：121222212111111211111nnnnnnnnnnPn21,范德蒙特矩陣范德蒙特矩陣第

52、1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 p 組合系統(tǒng)：由兩個或兩個以上的子系統(tǒng)按一組合系統(tǒng)：由兩個或兩個以上的子系統(tǒng)按一定方式相互聯(lián)接而構成的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)。定方式相互聯(lián)接而構成的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)。p 基本的互聯(lián)方式有三種：并聯(lián)、串聯(lián)和反饋?；镜幕ヂ?lián)方式有三種：并聯(lián)、串聯(lián)和反饋。 兩個線性時不變子系統(tǒng)兩個線性時不變子系統(tǒng)S1和和S2的狀態(tài)空間描的狀態(tài)空間描述分別為：述分別為： 11111111111ABSCD：xxuyxu22222222222ABSCD：xxuyxu第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 圖圖1-11 并聯(lián)組合系統(tǒng)并聯(lián)組合系統(tǒng)12dim()dim()uu12dim()dim()yy1212uuuyyy第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 對并聯(lián)組合系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為：對并聯(lián)組合系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為：1111222212112212ABABCCDDxxuxxuyyyxxuu即：即：1111222211212200ABABCCDDxxuxxxyux第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 對于對于N個子系統(tǒng)并聯(lián)所構成的組合系統(tǒng)，其狀個子