新北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章整式的乘除知識(shí)點(diǎn)梳理匯總

1、幕的運(yùn)算廠（單項(xiàng)式年以單項(xiàng)式，乘法分配率Z單亓矗以藥AI乘法分配率T多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式科學(xué)訂數(shù)法J-蕖式的運(yùn)算整式的乘法新北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章整式的乘除知識(shí)點(diǎn)梳理匯總平方差公式-$T完全平方公式一、整式乘除中的運(yùn)算法則L同底數(shù)幕的乘法的運(yùn)算性質(zhì)”同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即，聲臚=&卄“（叫n都是正整數(shù)）.（1）底數(shù)必須相同.適用于兩個(gè)或兩個(gè)以上的同底數(shù)幕相乘2.幕的乘方.幕的乘方,底數(shù)不變，指數(shù)相乘即:（am）n = aran （m, n都是正整數(shù)）.3 積的乘方.積的乘方等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的幕相乘, 即,（ab）n = anbn（n是正整數(shù)）.4.

2、 同底數(shù)幕的除法的運(yùn)算性質(zhì).同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減即ara-ran = ara_n （aHO, m, n都是正整數(shù)，m>n）（1）底數(shù)必須相同.（2）適用于兩個(gè)或兩個(gè)以上的同底數(shù)幕相除.5. 零指數(shù)幕.因?yàn)閍ra4-am=l,又因?yàn)閍m-ram = am_m = a0?所以a°=l.其中aHO.即：任何不等于0的數(shù)的零次幕都等于1.對(duì)于(l)aHO (2)a° = l.6 .單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘.把它們的系數(shù)、相同字母的幕分別相乘，其余字母連同它的指 數(shù)不變，作為積的因式.7. 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘.就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.8

3、. 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘.先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得 的積相加.9. 平方差公式.兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差，即(a+b) (a-b) =a2-b2.10. 完全平方公式.兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和加上(或減去)這兩數(shù)積的2倍，即(a±b)2=a2±2ab+b2.11單項(xiàng)式相除.把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除后，作為商的因式;對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式.12 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式.先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加.二、整式乘除法則的比較1同底數(shù)幕的乘法與除法比較.名稱同底數(shù)幕的

4、乘法同底數(shù)慕的除法公式an, H曠一匕”=獷一”底數(shù)不變不變指數(shù)JUKi相加廣巳相減條件加皿都是正整數(shù)aHO"皿都是正整數(shù),2注：（1）同底數(shù)幕相乘（相除）時(shí)，對(duì)于底數(shù)可以是一個(gè)數(shù)，一個(gè) 單項(xiàng)式，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.（2）同底數(shù)幕相除時(shí)，因?yàn)榱悴荒茏鞒龜?shù)，所以底數(shù)不能為0.2 幕的乘方與積的乘方比較.名稱幕的乘方積的乘方公式amY=anot(al)y,=a,bH底數(shù)鼎的形式積的形式指數(shù)相乘C；對(duì)每個(gè)因式乘方逆用a,bn = (ab)H注：(1)同底數(shù)幕的乘法，幕的乘方，積的乘方要區(qū)分開，避免 用錯(cuò)公式.(2) 公式中的“r “b”可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.(3) 對(duì)于幕的乘方，當(dāng)

5、有三重幕時(shí)也適用此性質(zhì).(4) 對(duì)于積的乘方，積中有三個(gè)或三個(gè)以上的因式時(shí)也適用此性 質(zhì).3 整式的乘法.種類單X單單X多多X多方法(1) 系數(shù)相乘(2) 同底數(shù)幕 相乘(3) 單獨(dú)岀現(xiàn) 的字母作為 積的因式單項(xiàng)式去乘 多項(xiàng)式的每 一項(xiàng)一個(gè)多項(xiàng)式 的每一項(xiàng)乘 另一個(gè)多項(xiàng) 式的每一 項(xiàng)積再分 別相加公式無(wú)加（a + + e ） =ma + mb（a + b）（加 +/） 合并 前積 的項(xiàng) 數(shù)1多項(xiàng)式的 項(xiàng)數(shù)兩個(gè)多項(xiàng)式 的項(xiàng)數(shù)的積注：(1)對(duì)于含有負(fù)號(hào)的式子乘方時(shí)易出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤.(2) 單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式時(shí)容易漏乘只在一個(gè)單項(xiàng)式中所含有的字 母.(3) 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，漏乘多項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng).(4

6、) 對(duì)“項(xiàng)”的理解存在偏差，誤認(rèn)為項(xiàng)不包括系數(shù)的符號(hào)，計(jì) 算時(shí)符號(hào)出錯(cuò).4. 乘法公式.平方差公式完全平方公式兩項(xiàng)的平方弟右邊都是二次三項(xiàng) 式，其中兩項(xiàng)是公式 左邊兩項(xiàng)中每一項(xiàng) 的平方，中間一項(xiàng)是 左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng) 乘積的2倍.名 稱平方差公式完全平方公式公 式(a+6)(a6)=a2 甘(a i 6)2 = a1 士 2ah + 62左 邊兩個(gè)二項(xiàng)式相乘并且 這兩個(gè)二項(xiàng)式有一項(xiàng) 相同9另一項(xiàng)互為 相反數(shù)一個(gè)二項(xiàng)式的平方. 兩數(shù)和的平方公式 與兩數(shù)差的平方公 式僅是一個(gè)“符號(hào)” 不同注：(1)公式中的“ b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng) 式.(2) 完全平方公式可以用口訣記憶：首平方，尾

7、平方，首尾乘積 2倍在中央.(3) 完全平方公式常用的變形有以下幾種：a2+b2= (a+b) 2-2ab= (ab) 2+2ab.(a+b)2+ (ab) 2=2 (a2+b2)(a+b)2- (ab) 2=4ab.這幾種變形在計(jì)算求值、代數(shù)式變形中有著廣泛的應(yīng)用，要熟 練掌握.5. 整式的除法.名稱單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式方法(1) 系數(shù)相除.(2) 同底數(shù)的幕 相除.(3) 只在被除式中出 現(xiàn)的字母，照行多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分 別除以單項(xiàng)式，再把 所得的商相加項(xiàng)數(shù)V VvVv(UUU1與多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)相同逆運(yùn)算單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式注：(1)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式漏掉某個(gè)同底數(shù)幕或只在

8、被除式中出現(xiàn)的字母.(2)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式時(shí)漏項(xiàng)造成錯(cuò)誤.(g)熱點(diǎn)考向1、幕的運(yùn)算【相關(guān)鏈接】幕的運(yùn)算包括同底數(shù)摹的乘法、除法、幕的乘方、積的乘 方及零指數(shù)幕和負(fù)整指數(shù)幕的運(yùn)算，它是整式運(yùn)算的基礎(chǔ)，如 單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的實(shí)質(zhì)就是同底數(shù)幕的乘法幕的運(yùn)算是中考 金題熱點(diǎn)之一，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).【例1】(2012 淮安中考)下列運(yùn)算正確的是()(A) a2 a3=a6(B) a3 4- a2=a(C) (a3) 2=a9(D) a2+a3=a5思路點(diǎn)撥|根據(jù)幕的運(yùn)算法則計(jì)算各個(gè)選項(xiàng)卜|出結(jié)論【自主解答】選B.因?yàn)閍2 a3=a5 ,故A錯(cuò)；因?yàn)?a3) 2=a6 ,故 C錯(cuò)；D中Q和a?

9、不是同類項(xiàng)，不能合并，故D錯(cuò).熱點(diǎn)考向2、乘法公式【相關(guān)鏈接】乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，即(a+b) (a-b)二和Q 土 bP二以土 2ab+b2.這類公式是簡(jiǎn)便計(jì)算整式乘法 的有利工具，也是我們繼續(xù)學(xué)習(xí)新知識(shí)的基礎(chǔ)解決此類問(wèn)題 的關(guān)鍵是把握公式的結(jié)構(gòu)特征，準(zhǔn)確應(yīng)用.【例2】（2012 佛山中考）如圖，邊長(zhǎng)為m+4的正方形紙片剪出 一個(gè)邊長(zhǎng)為m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，若 拼成的長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為4,則另一邊長(zhǎng)為【思路點(diǎn)撥】根據(jù)拼成的長(zhǎng)方形的面積等于大正方形的面積減 去小正方形的面積，列式整理即可得解.【自主解答】設(shè)拼成的長(zhǎng)方形的另一邊長(zhǎng)為x, 則 4x= (m+4)

10、 2-m2= (m+4+m) (m+4-m),解得 x=2m+4.熱點(diǎn)考向3答案：2m+4整式的運(yùn)算【相關(guān)鏈接】整式的運(yùn)算包括整式的加減、乘除、幕的運(yùn)算等解決此 類問(wèn)題的關(guān)鍵是嚴(yán)格按運(yùn)算順序計(jì)算，即：先算乘方，再算乘 除，最后算加減，如果有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的.【例3】(2012 嘉興中考)計(jì)算:(x+l)2-x(x+2)【教你解題】【命題揭秘】結(jié)合近幾年中考試題分析，整式的考查有以下特點(diǎn)：1 命題內(nèi)容以幕的運(yùn)算和化簡(jiǎn)求值為主，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)考查整 式的有關(guān)概念的題目幕的運(yùn)算命題形式以選擇題為主，而整 式的化簡(jiǎn)求值通常以解答題的形式出現(xiàn).2. 命題的熱點(diǎn)為幕的運(yùn)算法則的考查以及整式的運(yùn)算及進(jìn)行

11、整 式的化簡(jiǎn)和求值.1計(jì)算-(-3aM4的結(jié)果是()(A)81a8b12(B) 12a6b7(C)-12a6b7(D) -81a8b12【解析】選D. - (-3a2b3) 4=- (-3)4a8b12=-81a8b12.2. (2012 內(nèi)江中考)下列計(jì)算正確的是()(A) a2+a4=a6(B) 4a+3b=7 ab(C) (a2) 3=a6(D) a6 4- a3=a2【解析】選C.A, B兩個(gè)選項(xiàng)中，不是同類項(xiàng)的彖根本不能相加; C選項(xiàng)是幕的乘方的應(yīng)用，是正確的；D選項(xiàng)根據(jù)同底數(shù)幕的除 法法則，應(yīng)該是a6 - a3=a3,所以正確結(jié)果是C.3. (2012 南寧中考)芝麻作為食品和藥物

12、，均被廣泛使用， 經(jīng)測(cè)算，一粒芝麻約有0. 000 002 01千克，用科學(xué)記數(shù)法表 示為() 2. 01 X 10-6千克(B) 0. 201 X IL千克(C) 20. 1 X 10-7千克(D) 2.01X KT?千克【解析】選A. 0. 000 002 01=2. 01 x 0. 000 001=2. 01 x 106.4. i+Ma3b24-ab2=.【解析】a3b2 m ab2=(a3 m a) (b2 m b2) =a2.答案：a25. (a-3b+2c) (a+3b-2c) = ()2-()2.【解析】(a-3b+2c) (a+3b-2c)=a- (3b-2c) a+ (3b-

13、2c)=a2- (3b-2c)2.答案：a3b-2c6. (2012 -濰坊中考)如圖中每一個(gè)小方格的面積為1,則可根 據(jù)面積計(jì)算得到如下算式：l+3+5+7+(2nT)二 (用n表示, n是正整數(shù))【解析】因?yàn)?1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42,所以l+3+5+7+(2n - l)=n2答案：n27. 先化簡(jiǎn)，再求值：(4ab3-8a2b2) 4-4ab+(2a+b) (2ab),其中 a=l, b=2.【解析】原式=b2-2ab+4a2-b2=-2ab+4a2,當(dāng)a=l,b=2時(shí),-2ab+4a2=-2 x 1 x 2+4 x 12=-4+4=0.【歸納整合】在化簡(jiǎn)求值的運(yùn)算中，要注意必須先化簡(jiǎn)再求值, 化簡(jiǎn)在整個(gè)題目中所占的分值比較重，而化簡(jiǎn)一般是整式的混 合運(yùn)算，應(yīng)注意其運(yùn)算順序.8. (2012 杭州中考)化簡(jiǎn)：2 (m-l)m+m(m+l) (m-l)m- m(m+l) 若in是任意整數(shù)，請(qǐng)觀察化簡(jiǎn)后的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)原式 表示一個(gè)什么數(shù)？【解析】2 (m-1) m+m (m+1) (m-1) m-m (m+1),=2 (m2-m+m2+m) (m2-m-m2-m)=-8m3,原式=(-2m)3,表示3個(gè)-2m相乘.9. (2012 寧波中考)用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放