第一講：極限洛比塔法則ppt課件

1、第一講：數(shù)列極限、函數(shù)的極限第一講：數(shù)列極限、函數(shù)的極限1 數(shù)列極限數(shù)列極限2 函數(shù)極限的概念與性質(zhì)函數(shù)極限的概念與性質(zhì)3函數(shù)極限的計(jì)算方法函數(shù)極限的計(jì)算方法4無(wú)窮小量階的比較無(wú)窮小量階的比較1、數(shù)列的定義、數(shù)列的定義定義定義:按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號(hào)依次排列的一列數(shù)編號(hào)依次排列的一列數(shù) ,21nxxx (1)稱為稱為無(wú)窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的列的項(xiàng)項(xiàng),nx稱為稱為通項(xiàng)通項(xiàng)(一般項(xiàng)一般項(xiàng)).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n問(wèn)題問(wèn)題: 當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限

2、增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 問(wèn)題問(wèn)題: “無(wú)限接近意味著什么無(wú)限接近意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:定義定義 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù)N, ,使得對(duì)于使得對(duì)于Nn 時(shí)的一切時(shí)的一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列nx的

3、極限的極限, ,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列nx收斂于收斂于a, ,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxn如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的無(wú)限接近的無(wú)限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) N2、數(shù)列極限的性質(zhì)、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性有界性定義定義: 對(duì)數(shù)列對(duì)數(shù)列nx, 若存在正數(shù)若存在正數(shù)M, 使得一切自使得一切自然數(shù)然數(shù)n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 則稱數(shù)列則稱數(shù)列nx有界有界,否則否則, 稱為無(wú)界稱為無(wú)界.例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)軸軸上

4、上對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點(diǎn)點(diǎn)nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界無(wú)界無(wú)界問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過(guò)過(guò)程程中中, 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的過(guò)程的過(guò)程表示表示 xXx. 0sin)(,無(wú)無(wú)限限接接近近于于無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 問(wèn)題問(wèn)題: 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近無(wú)限接近”.2.唯一性唯一性定理定理2 2 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限. .定義定義 1 1 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正

5、數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在著正數(shù)總存在著正數(shù)X, ,使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式Xx 的一切的一切x, ,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) x時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作)()()(lim xAxfAxfx當(dāng)當(dāng)或或:. 1 定定義義定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng):.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使

6、當(dāng)Axfx )(lim2.另兩種情形另兩種情形: Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過(guò)過(guò)程程中中,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過(guò)過(guò)程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點(diǎn)點(diǎn) x.0程程度度接接近近體體現(xiàn)現(xiàn)xx 定定義義 2 2 如如果果對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ( (不不論論它它多多么么小小) ), ,總

7、總存存在在正正數(shù)數(shù) , ,使使得得對(duì)對(duì)于于適適合合不不等等式式 00 xx的的一一切切x, ,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值)(xf都都滿滿足足不不等等式式 Axf)(, ,那那末末常常數(shù)數(shù)A就就叫叫函函數(shù)數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí)的的極極限限, ,記記作作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或:. 1 定義定義定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)2.幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ay

8、xfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越越小小越越好好后后找找到到一一個(gè)個(gè)顯顯然然 例例4. 211lim21 xxx證證明明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義處沒有定義.1 x,)( Axf要要使使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx3.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0

9、xx從左側(cè)無(wú)限趨近從左側(cè)無(wú)限趨近; 00 xx記記作作,0 xx從右側(cè)無(wú)限趨近從右側(cè)無(wú)限趨近; 00 xx記記作作yox1xy 112 xy左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不不存存在在驗(yàn)驗(yàn)證證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但

10、不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性有界性定定理理 若若在在某某個(gè)個(gè)過(guò)過(guò)程程下下, ,)(xf有有極極限限, ,則則存存在在過(guò)過(guò)程程的的一一個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)刻刻, ,在在此此時(shí)時(shí)刻刻以以后后)(xf有有界界. .2.唯一性唯一性定定理理 若若)(limxf存存在在,則則極極限限唯唯一一.推論推論).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有則則且且設(shè)設(shè)3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)定理定理( (保序性保序性)

11、).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設(shè)設(shè)).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若定理定理( (保號(hào)性保號(hào)性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且若若推論推論xy1sin 例例.1sinlim0不不存存在在證證明明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim

12、 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 四、小結(jié)四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后時(shí)刻時(shí)刻(見下表見下表)思考題思考題試試問(wèn)問(wèn)函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，

13、)(xf的的極極限限是是否否存存在在？思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.2函數(shù)極限運(yùn)算方法函數(shù)極限運(yùn)算方法極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)證證.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其其中中BxgAxf

14、由無(wú)窮小運(yùn)算法則由無(wú)窮小運(yùn)算法則,得得)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,2B BBBB21 B21 推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果推論推論2 2,21)(2BBB ,2)(12BB

15、B 故故有界，有界，.)3(成立成立二、求極限方法舉例二、求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小結(jié)小結(jié): :則則有有設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 則則有有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQx

16、Pxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0則則商商的的法法則則不不能能應(yīng)應(yīng)用用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時(shí)時(shí)x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無(wú)窮小先約去不為零

17、的無(wú)窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無(wú)窮大分母的極限都是無(wú)窮大分子分子時(shí)時(shí) x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無(wú)無(wú)窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無(wú)窮小因子分出法無(wú)窮小因子分出法)小結(jié)小結(jié): :為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxb

18、axaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)無(wú)窮小分出法無(wú)窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子, ,分母分母, ,以分出無(wú)窮小以分出無(wú)窮小, ,然后再求極限然后再求極限. .例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是是無(wú)無(wú)窮窮小小之之和和時(shí)時(shí), n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx .sin 是有界函數(shù)是有界函數(shù)而而x. 0sinlim xxxxxysin 例例7 7).(

19、lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設(shè)設(shè)yox1xy 112 xy解解兩個(gè)單側(cè)極限為兩個(gè)單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點(diǎn)是函數(shù)的分段點(diǎn),0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故兩邊夾定理，重要極限兩邊夾定理，重要極限1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)準(zhǔn)則則 如如果果數(shù)數(shù)列列nnyx ,及及nz滿滿足足下下列列條條件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末數(shù)數(shù)列列nx的的極極限限存存在在, , 且且axnn li

20、m. .上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果當(dāng)如果當(dāng))(00 xUx ( (或或Mx ) )時(shí)時(shí), ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. .注意注意: :.,的的極極限限是是容容易易求求的的與與并并且且與與鍵鍵是是構(gòu)構(gòu)造造出出利利用用夾夾逼逼準(zhǔn)準(zhǔn)則則求求極極限限關(guān)關(guān)nnnnzyzy原則原則 和準(zhǔn)則和準(zhǔn)則 稱為夾逼準(zhǔn)則稱為夾逼準(zhǔn)則.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,111

21、12222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnAC二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式對(duì)對(duì)于于 x,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxcos11c

22、os0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exxx )11(lim定義定義ennn )11(lim)71828. 2( e.)11(limexxx ,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim例例4 4.)11(limxxx 求

23、求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 三、小結(jié)三、小結(jié)1.兩個(gè)準(zhǔn)則兩個(gè)準(zhǔn)則2.兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .; 1sinlim10 某某過(guò)過(guò)程程.)1(lim210e 某過(guò)程某過(guò)程,為某過(guò)程中的無(wú)窮小為某過(guò)程中的無(wú)窮小設(shè)設(shè) 思考題思考題求極限求極限 xxxx193lim 思考題解答思考題解答 xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e三、小結(jié)三、小結(jié)1.極限的四則運(yùn)算

24、法則及其推論極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2.極限求法極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.思考題思考題 在某個(gè)過(guò)程中，假設(shè)在某個(gè)過(guò)程中，假設(shè) 有極限，有極限， 無(wú)極限，那么無(wú)極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考題解答思考題解答沒有極限沒有極限假設(shè)假設(shè) 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限

25、，由極限運(yùn)算法則可知：由極限運(yùn)算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤4、無(wú)窮小、無(wú)窮小1.定義定義:極限為零的變量稱為無(wú)窮小極限為零的變量稱為無(wú)窮小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)xx, 01lim xx.1時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn注意注意1.無(wú)窮小是變量無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).3.無(wú)窮小

26、的運(yùn)算性質(zhì)無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理定理2 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小仍是無(wú)窮小.注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小. .是是無(wú)無(wú)窮窮小小，時(shí)時(shí)例例如如nn1, .11不不是是無(wú)無(wú)窮窮小小之之和和為為個(gè)個(gè)但但nn定理定理3 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論推論1 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小積是無(wú)窮小.推論推論2 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論推論3 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小

27、的乘積也是無(wú)窮小.xxxxx1arctan,1sin,0,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例如如都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小二、無(wú)窮大二、無(wú)窮大定義定義 2 2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或正數(shù)X),),使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Mxf )(, ,則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx ( (或或 x) )時(shí)為無(wú)窮小時(shí)為無(wú)窮小, ,記作記作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或絕對(duì)值無(wú)限增大的變量

28、稱為無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.無(wú)窮大是變量無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;3. 無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大界變量未必是無(wú)窮大.)(lim. 20認(rèn)為極限存在認(rèn)為極限存在切勿將切勿將 xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但但不不是是無(wú)無(wú)窮窮大大是是一一個(gè)個(gè)無(wú)無(wú)界界變變量量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例如如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0

29、kxy.)(,0Mxyk 充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(0 kkx取取, kxk充充分分大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) kkxyk2sin2)(但但.0M 不是無(wú)窮大不是無(wú)窮大無(wú)界，無(wú)界，2、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理定理4 4 在同一過(guò)程中在同一過(guò)程中, ,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小; ;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大. .意義意義 關(guān)于無(wú)窮大的討論關(guān)于無(wú)窮大的討論, ,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論小的討論. .四、小結(jié)四、小結(jié)1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容: 兩個(gè)定義兩個(gè)定義;四個(gè)定理四個(gè)定理;三個(gè)推論

30、三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意、幾點(diǎn)注意:無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.（1） 無(wú)窮小（無(wú)窮?。?大是變量大是變量,不能與很小大的數(shù)混不能與很小大的數(shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2 2無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和乘積未必是無(wú)窮小無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和乘積未必是無(wú)窮小. .（3） 無(wú)界變量未必是無(wú)窮大無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.一、無(wú)窮小的比較一、無(wú)窮小的比較例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxx 極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零

31、的“快慢程度不快慢程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在觀察各極限觀察各極限);(, 0lim)1( o記記作作高高階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是比比就就說(shuō)說(shuō)如如果果定義定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)是同一過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)設(shè)設(shè);),0(lim)2(是是同同階階的的無(wú)無(wú)窮窮小小與與就就說(shuō)說(shuō)如如果果 CC;, 1lim 記作記作是等價(jià)的無(wú)窮小是等價(jià)的無(wú)窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(無(wú)窮小無(wú)窮小階的階的的的是是就說(shuō)就說(shuō)如果如果kkCCk 例例1 1解

32、解.tan4 ,0:3的的四四階階無(wú)無(wú)窮窮小小為為時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證證明明xxxx 430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四階階無(wú)無(wú)窮窮小小為為時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng)xxxx 例例2 2.sintan,0的的階階數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于求求時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的三階無(wú)窮小的三階無(wú)窮小為為xxx 常用等價(jià)無(wú)窮小常用等價(jià)無(wú)窮小: :,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有例如例如,),(sin