高中數(shù)學(xué)立體幾何建系設(shè)點(diǎn)專題

1、.2009-2010學(xué)年高三立幾建系設(shè)點(diǎn)專題引入空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，使解立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法進(jìn)行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行向量運(yùn)算，而如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一所謂“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”，一般應(yīng)使盡量多的點(diǎn)在數(shù)軸上或便于計(jì)算。一、建立空間直角坐標(biāo)系的三條途徑途徑一、利用圖形中的對稱關(guān)系建立坐標(biāo)系:圖形中雖沒有明顯交于一點(diǎn)的三條直線，但有一定對稱關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對稱性可建立空間直角坐標(biāo)系例1（湖南卷理科第18題）已知兩個正四棱錐PABCD與QABCD的高都為2，AB4（1）證明：PQ平面ABCD；（2）求異面直線AQ與PB所成的角

2、；（3）求點(diǎn)P到平面QAD的距離簡解：（1）略；（2）由題設(shè)知，ABCD是正方形，且ACBD由（1），PQ平面ABCD，故可分別以直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖1），易得，所求異面直線所成的角是（3）由（2）知，點(diǎn)設(shè)n=（x，y，z）是平面QAD的一個法向量，則得取x1，得點(diǎn)P到平面QAD的距離途徑二、利用面面垂直的性質(zhì)建立坐標(biāo)系:圖形中有兩個互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性質(zhì)定理，作出互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，建立坐標(biāo)系例2（全國卷理科第19題）在直三棱柱中，ABBC，D、E分別為的中點(diǎn)（1）證明：ED為異面直線與的公垂線；（2）設(shè)，求二面角的大小解：（1）如圖2，建立直

3、角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，設(shè)則，則，即同理因此ED為異面直線與的公垂線（2）不妨令，則，即BCAB，BC，又，BC面又，即ECAE，ECED，又AEEDE，EC面，即得和的夾角為所以，二面角為練2：如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，的中點(diǎn)，（I）設(shè)是的中點(diǎn)，證明：平面；（II）證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使平面，并求點(diǎn)到，的距離途徑三、利用圖形中現(xiàn)成的垂直關(guān)系建立坐標(biāo)系:當(dāng)圖形中有明顯互相垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，可以利用這三條直線直接建系例3如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形， ， ，為的中點(diǎn)。（）求異面直線AB與MD所成角的大小；（）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。方法1：

4、作于點(diǎn)P，如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系.ABOCDA1B1C1方法2：（利用菱形對角線互相垂直）連結(jié)BD，設(shè)交AC于E，取OC中點(diǎn)為F，以E為原點(diǎn)，EB、EC、EF所在直線為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系. ABOCDA1B1C1xzy練3：在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是邊長為的正三角形，點(diǎn)A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中點(diǎn)（）求證：A1ABC；（）當(dāng)側(cè)棱AA1和底面成45°角時，求二面角A1ACB的大小余弦值；二、求點(diǎn)的坐標(biāo)的兩條途徑途徑一、作該點(diǎn)在xOy面上的投影，轉(zhuǎn)化成求該投影的橫、縱坐標(biāo)和該點(diǎn)到它投影的距離（即豎坐標(biāo)）。途徑二、過該點(diǎn)和z

5、軸作xOy面的垂面，把空間的距離問題轉(zhuǎn)化平面的距離問題。例4.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底邊長為a,側(cè)棱長為a建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出A，B，A1，B1的坐標(biāo)；求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角分析：（1）所謂“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”，一般應(yīng)使盡量多的點(diǎn)在數(shù)軸上或便于計(jì)算；（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量與直線所成的角，然后再求之解：（1）建系如圖，則A（0，0，0） B（0，a,0）A1（0，0，a),C1（-a,)(2)解法一：在所建的坐標(biāo)系中，取A1B1的中點(diǎn)M，于是M（0，），連結(jié)AM，MC1則有，所以，MC1平面ABB1A1因此，AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面A

6、BB1A1所成的角，,而|由cos<>=,<>=30°解法二：， 平面ABB1A1的一個法向量AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角的正弦為：=AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°練4：請?jiān)谙铝袌D形中建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并標(biāo)明圖中所有點(diǎn)的坐標(biāo)。（1）如圖，在四棱錐中，底面是的中點(diǎn).APEBCDABCD（2）如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點(diǎn)2009-2010學(xué)年高三立幾建系設(shè)點(diǎn)專向練習(xí)1. 在正方體AC1中，E、F分別為D1C1與AB的中點(diǎn)，則A1B1與截面A1ECF所成的角的正弦值為（）Asin Bsin Csin D都不對解：（向量法）建立以D為原

7、點(diǎn)，DA,DC,DD1分別為x,y,z軸的坐標(biāo)系，設(shè)棱長為1設(shè)平面A1FCE的法向量=（x，y，z）, 則· =0，· =0 =（1，0），=（0，1）,令y=2 , =（1，2，1）又 =（0，1，0） cos<,>=A1B1與平面A1FCE成的角的正弦為sin 答案：A2.如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1，則AC1與平面BB1C1C所成的角的正弦值為（ ）ABCDC 方法：建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，則，平面BB1C1C的一個法向量為，所以AC1與平面BB1C1C所成的角的正弦值為。3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱

8、長為1，求異面直線BD與B1C的距離。解：建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0） B1（0，0，1），則設(shè)與都垂直的向量為，則由和得，異面直線BD與B1C的距離：4.四棱椎PABCD中，底面ABCD是矩形，為正三角形，平面PB中點(diǎn).（1）求證：PB 平面AEC；（2）求二面角EACD的大小.解：設(shè)，過平面ABCD，又 故可以分別以O(shè)H、HC、HP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz。由已知得H（0，0，0）,A（a,-b,0）,B(a,b,0),C(0,b,0),D(0,-b,0),P(0,0,),E(,解得，取y=1,得PBECD

9、FA5.如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，分別是的中點(diǎn)（1）證明：；（2）若為上的動點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值（2）方法：由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以PBECDFAyzx，所以設(shè)平面的一法向量為，則因此取，則，因?yàn)?，所以平面，故為平面的一法向量又，所以因?yàn)槎娼菫殇J角，所以所求二面角的余弦值為6.如圖，ABCD是邊長為a的菱形，且BAD=60°，PAD為正三角形，且面PAD面ABCD（1）求cos，的值；（2）若E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，求|的值；（3）求二面角PBCD的大小解：（1）選取AD中點(diǎn)

10、O為原點(diǎn)，OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（a，0，0），P（0，0，a），D（0，0）=（a，0），=（0，a），則cos，=（2）E、F分別為AB、PD的中點(diǎn)，E（ a，0），F(xiàn)（0，a）則|=a（3）面PAD面ABCD，POAD，PO面ABCDBOAD，ADBC，BOBC連結(jié)PB，則PBBC，PBO為二面角PBCD的平面角在RtPBO中，PO=a，BO=a，tanPBO=1則PBO=45°故二面角PBCD的大小為45°7.如圖，四棱錐中，底面，底面為梯形，點(diǎn)在棱上，且（1）求證：平面平面；（2）求證：平面；（3）（理

11、）求平面和平面所成銳二面角的余弦值方法：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，設(shè)為平面的一個法向量，則，解得，設(shè)為平面的一個法向量，則，又，解得， 平面和平面所成銳二面角的余弦值為8.三棱錐的底面是邊長為的正三角形，平面且，設(shè)、分別是、的中點(diǎn)。（I）求證：平面；（II）求二面角的余弦值（I）證明：是的中位線，平面，平面，平面 （II）以為原點(diǎn)，為軸正向，為軸正向，在平面內(nèi)作軸并以為軸正向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）則題意得:O,，設(shè)平面的法向量為， 由且得，令得，取取平面的法向量， 二面角的余弦值是 另一種建立坐標(biāo)系的方法是。9.如圖所示，、分別是圓、圓的直徑，與兩圓所在的平面均垂直，.是圓的直徑，,.(I)求二面角的大?。?II)求直線與所成的角的余弦值.19.解：()AD與兩圓所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二