多維隨機(jī)變量及其分布考研試題及答案

1、第三章 多維隨機(jī)變量及其分布一、填空題 1.（1994年數(shù)學(xué)一）設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量具有同一分布律，且的分布律為則隨機(jī)變量的分布律為 .【解題分析】首先要根據(jù)的定義確定的取值范圍,然后求取值的概率即可.解:由于僅取0、1兩個(gè)數(shù)值，故也僅取0和1兩個(gè)數(shù)值，因相互獨(dú)立，故的分布律為2（2003年數(shù)學(xué)一）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為 則= .【解題分析】利用求解.解: 如圖10-5所示 圖10-5 二、選擇題1.(1990年數(shù)學(xué)三)設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立,其概率分布律為則下列式子正確的是（）【解題分析】乍看似乎答案是,理由是和同分布,但這是錯(cuò)誤的,因?yàn)?若,說明取什么值時(shí), 也一定取相同的值,而這是

2、不可能的,所以只能從剩下的三個(gè)答案中選一個(gè),這時(shí)只要直接計(jì)算即可.解: 由和相互獨(dú)立知所以,正確答案是.2.(1999年數(shù)學(xué)三)設(shè)隨機(jī)變量,且滿足則等于（）0； ； ； 1.【解題分析】本題應(yīng)從所給條件出發(fā),找出隨機(jī)變量的聯(lián)合分布. 1解:設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布為由 知從而有,類似地進(jìn)一步可知即因此有正確答案是.3.(1999年數(shù)學(xué)四)假設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布,則隨機(jī)變量的分布函數(shù)（）是連續(xù)函數(shù)； 至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)；是階梯函數(shù)； 恰好有一個(gè)間斷點(diǎn).【解題分析】從公式出發(fā)求解即可.解:由題設(shè)令則于是的分布函數(shù)為可見其僅有一個(gè)間斷點(diǎn)正確答案是.4.(2002年數(shù)學(xué)四)設(shè)和是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨

3、機(jī)變量,它們的概率密度分別為和,分布函數(shù)分別為和,則必為某一隨機(jī)變量的分布密度； 必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)； 必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)； .必為某一隨機(jī)變量的分布密度解:由于若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，它們的分布函數(shù)分別為與，則的分布函數(shù)為，可知必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).故選擇.注：本題與2002年高數(shù)一中的選擇題類同.本題也可以用賦值法求解.三、計(jì)算與證明題1.(1994年數(shù)學(xué)三)假設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且同分布,求行列式的概率分布.【解題分析】由階行列式表示,仍是一隨機(jī)變量,且,由于獨(dú)立同分布, 故與也是獨(dú)立同分布的,因此可先求出和的分布律,再求的分布律.解:記,則.隨機(jī)變量和獨(dú)立同分布:

4、.隨機(jī)變量有三個(gè)可能值-1,0,1.易見于是2(2003年數(shù)學(xué)三)設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立,其中的概率分布律為,而的分布密度為,求隨機(jī)變量的分布密度.【解題分析】本題是求隨機(jī)變量函數(shù)的分布,這里的兩隨機(jī)變量一個(gè)是離散型,一個(gè)是連續(xù)型,我們?nèi)匀粡那蠓植己瘮?shù)出發(fā),根據(jù)的不同取值,利用全概率公式來求解.解:設(shè)為分布函數(shù),則由全概率公式及與的獨(dú)立性可知,的分布函數(shù)為,由此得 3.(2006年數(shù)學(xué)四) 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率分布律為X Y-101-1a00.200.1b0.2100.1c其中為常數(shù),且的數(shù)學(xué)期望,記.求(1) 的值;(2)的概率分布;(3)【解題分析】要求的值，只需要找到三個(gè)含有的等式即可，這可以

5、由分布函數(shù)的性質(zhì)及題設(shè)中所給的兩個(gè)條件得到；求的概率分布，首先要弄清楚的可能取值，由的取值可知，的可能取值為-2，-1，0，1，2，然后再求取值的概率；要求，只需要轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的概率，由，既可得出結(jié)論. 解:(1)由概率分布的性質(zhì)知,即 由 ,可得 再由，得 .解以上關(guān)于的三個(gè)方程得 .(2) 的可能取值為-2，-1，0，1，2,，即的概率分布律為-2-10120.20.10.30.30.1(3) =.4.(1987年數(shù)學(xué)一)設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,其概率密度函數(shù)分別為 求的概率密度函數(shù).【解題分析】此類問題,一般有兩種解法:一種是先寫出二維隨機(jī)變量()的聯(lián)合概率分布密度函數(shù),再計(jì)算的概率分布密度

6、函數(shù),另一種是直接利用兩獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布密度計(jì)算公式(即卷積公式)求解.解:方法 由于隨機(jī)變量相互獨(dú)立,所以二維隨機(jī)變量()的概率分布密度函數(shù)為因此,隨機(jī)變量的分布函數(shù)為所以,隨機(jī)變量的分布密度函數(shù)為方法 由于隨機(jī)變量相互獨(dú)立,所以,由卷積公式知,隨機(jī)變量的密度函數(shù)為=5.(1999年數(shù)學(xué)四)設(shè)二維隨機(jī)變量()在矩形上服從均勻分布,試求邊長為和的矩形面積的概率分布密度函數(shù).【解題分析】由題設(shè)容易得出隨機(jī)變量()的分布密度,本題相當(dāng)于求隨機(jī)變量的函數(shù)的分布密度.可先求出其分布函數(shù),再求導(dǎo)得分布密度.在求分布函數(shù)時(shí),一定要注意對的取值范圍進(jìn)行討論.解:由于二維隨機(jī)變量()服從均勻分布,所以,它

7、的概率分布密度函數(shù)為設(shè)為的分布函數(shù),則當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 現(xiàn)在，設(shè)如圖10-6所示, 曲線與矩形的上邊交于點(diǎn)； 圖10-6位于曲線上方的點(diǎn)滿足,位于下方的點(diǎn)滿足,于是于是, 6.(2001年數(shù)學(xué)一)設(shè)某班車起點(diǎn)站上車人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布,每位乘客中途下車的概率為,且中途下車與否相互獨(dú)立.以表示在中途下車的人數(shù),求：（1）在發(fā)車時(shí)有個(gè)乘客的條件下，中途有人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量的概率分布.【解題分析】顯然，第一問求的是條件概率, 發(fā)車時(shí)有個(gè)乘客, 中途有人下車的概率,為重伯努利概型,可以依此求解.其次，要求二維隨機(jī)變量的概率分布,首先確定的取值,然后按乘法公式求解.解:(1)設(shè)事件發(fā)車時(shí)

8、有個(gè)乘客,中途有個(gè)人下車,則在發(fā)車時(shí)有個(gè)乘客的條件下,中途有個(gè)人下車的概率是一個(gè)條件概率,即根據(jù)重伯努利概型,有，其中.(2)由于而上車人數(shù)服從,因此 于是的概率分布律為其中.7.(2001年數(shù)學(xué)三)設(shè)隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布在正方形(如圖10-7)上服從均勻分布,試求隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)圖10-7【解題分析】本題主要考查隨機(jī)變量函數(shù)的分布,可從分布函數(shù)出發(fā)求解.但是,這里要注意的是隨機(jī)變量函數(shù)帶有絕對值.解:由條件知和聯(lián)合密度為以表示隨機(jī)變量的分布函數(shù),顯然,當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí)，.設(shè)則,于是,隨機(jī)變量的分布密度為8.(2002年數(shù)學(xué)三、四)假設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作的時(shí)間服從指數(shù)分布，平均無故障工作的時(shí)間（）為5小時(shí)，設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動關(guān)機(jī)，而在無故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī).試求該設(shè)備每次開機(jī)無故障工作的時(shí)間的分布函數(shù)【解題分析】本題主要考查隨機(jī)變量函數(shù)的分布.首先要找到與的關(guān)系,然