正多邊形和圓的有關(guān)計算復(fù)習(xí)

1、初三數(shù)學(xué)正多邊形和圓的有關(guān)計算復(fù)習(xí) 正多邊形和圓是初中幾何課本中的最后一單元,它包括正多邊形的定義、正多邊形的判定、性質(zhì),正多邊形的有關(guān)計算,圓周長及弧長公式，圓、扇形、弓形的面積。今天我們一起學(xué)習(xí)正多邊形的定義、判定、性質(zhì)及有關(guān)計算.一、基礎(chǔ)知識及其說明： 1.正多邊形的定義:各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.此定義中的條件各邊相等,各角也相等 “缺一不可”.如:菱形各邊相等,因四個角不等,所以菱形不一定是正多邊形.矩形的四個角相等,但因四條邊不一定相等,故矩形不一定是正四邊形,只有正方形是正四邊形. 2.正多邊形的判定,正多邊形的定義當(dāng)然是正多邊形的判定方法之一,但如同全等三角形的

2、判定一樣,用定義來證明兩個三角形全等顯然不可取,因此需用判定定理來證.判定定理:把圓幾等分()依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正邊形經(jīng)過各分點做圓的切線,以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正邊形.也就是說,若要證明一個多邊形是圓內(nèi)接正多邊形,只要證明這個多邊形的頂點是圓的等分點即可, 如：要證明一個圓內(nèi)接邊形ABCDEF是圓內(nèi)接正邊形,就要證A、B、C、D、E、F各點是圓的n等分點,就是要證AB=BC=CD=DE=EF=.同樣,要證明一個圓外切邊形是圓外切正邊形,只要證明各切點是圓的等分點即可.例1:證明：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形.已知:在O中,多邊形ABCDE 是O

3、的內(nèi)接n邊形, O E 且AB=BC=CD=DE=. 求證:n邊形ABCDE是正n邊形. A D證明: AB=BC=CD=DE= B C AB=BC=CD=DE OEB=AEC= BED=COE= 又AB=BC=CD=DE= n邊形ABCDE是正n邊形.例2:證明:各角相等的圓外切n邊形是正n邊形.已知:多邊形是圓外切n邊形,切點分別是A,B,C,D,E,=.求證:n邊形是正n邊形.證明:連結(jié)OB,OC,OD,在四邊形COD和四邊形BOC中 切O于B,C,D A F 而 BC=CD(在同圓中,相等的圓 B O 心角所對的弧相等). 同理BC=CD=DE=FE= D A,B,C,D,E,F是圓的

4、n等分點 C 多邊形ABCDEF是圓外切n正多邊形 3.正多邊都是軸對稱圖形,若n是奇數(shù),正n邊形是軸對稱圖形,n是偶數(shù),正n邊形既是軸對稱圖形又是中心圖形. 4.正多邊形的性質(zhì):任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓,這兩個圓是同心圓. 5.正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫正多邊形的中心.外接圓半徑叫正多邊形的半徑.內(nèi)切圓的半徑叫正多邊形的邊心距.正多邊形的每一邊所對的圓心角叫中心角,中心角的度數(shù)是.如圖:OA,OB是半徑,O是中心,OHAB于H,OH是邊心距,是中心角. O A H B 6.正多邊形的有關(guān)計算,一般是圍繞正邊形的半徑R,邊長,邊心距,周長及面積來進(jìn)行,但關(guān)健是之間的計算

5、,因為正邊形的邊心距把正邊形的一邊與該邊所對應(yīng)的兩條半徑所圍成的等腰三角形分成兩個全等的直角三角形,所以在RtAOH中,斜邊是R,直角邊分別是和,銳角,利用直角三角形的有關(guān)知識(勾股定理,銳角三角函數(shù)等)來解直角三角形即可.例：已知正六邊形ABCDEF的半徑是R,求正六邊形的邊長S6.解:作半徑OA、OB，過O做OHAB， 則AOH=30° E D F O C A H B S6=同學(xué)們在進(jìn)行正多邊形的計算時,應(yīng)很好的理解、掌握如何用解直角三角形的方法進(jìn)行計算,但也可以推出公式,然后利用公式變形進(jìn)行計算.則 O A H B 這是已知半徑R,求的公式,若記住公式則正多邊形的計算就簡單了很

6、多,如已知半徑R,求解: 再如：已知正三角形的邊長為,可以先由,求出半徑,再將求得的R代入；若已知邊心距求邊長,則先用,求出R,再代入求邊長公式即可求出,此法好處是不用畫圖,只需將上面兩個公式反復(fù)變形即可.7.如何求同圓的圓內(nèi)接正邊形與圓外切正邊形的邊長比,半徑比,邊心距比.如：求同圓的圓內(nèi)接正邊形和圓外切正邊形的邊長比. 設(shè)O的半徑的為R則圓內(nèi)接正邊形的邊長是 O A D B H C而在RtOBC中,OB=R,則,即外切正邊形的邊長是, =實際上， =,OB是的鄰邊,OC是RtBOC的斜邊,希望同學(xué)們記住此結(jié)論.如圓內(nèi)接正四邊形的邊心距與圓外切正四邊形的邊心距之比是,圓內(nèi)接正六邊形與圓外切正

7、六邊形的邊長之比是,而圓內(nèi)接正三角形與圓外切正三角形的面積之比是.(注意:此結(jié)論必須是同圓的邊數(shù)相同的圓內(nèi)接正邊形與圓外切正邊形的相似比是.若求圓外切正邊形與圓內(nèi)接正邊形的相似比則是).二、練習(xí)題:1. 判斷題:各邊相等的圓外切多邊形一定是正多邊形.( )各角相等的圓內(nèi)接多邊形一定是正多邊形.( )正多邊形的中心角等于它的每一個外角.( )若一個正多邊形的每一個內(nèi)角是150°,則這個正多邊形是正十二邊形.( )各角相等的圓外切多邊形是正多邊形.( )2. 填空題:一個外角等于它的一個內(nèi)角的正多邊形是正_邊形.正八邊形的中心角的度數(shù)為_,每一個內(nèi)角度數(shù)為_,每一個外角度數(shù)為_.邊長為6

8、cm的正三角形的半徑是_cm,邊心距是_cm,面積是_cm.面積等于cm2的正六邊形的周長是_.同圓的內(nèi)接正三角形與外切正三角形的邊長之比是_.正多邊形的面積是240cm2,周長是60cm2,則邊心距是_cm.正六邊形的兩對邊之間的距離是12cm,則邊長是_cm.同圓的外切正四邊形與內(nèi)接正四邊形的邊心距之比是_.同圓的內(nèi)接正三角形的邊心距與正六邊形的邊心距之比是_.3. 選擇題:下列命題中,假命題的是( ) A.各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形. B.正多邊形的任意兩個角的平分線如果相交,則交點為正多邊形的中心. C.正多邊形的任意兩條邊的中垂線如果相交,則交點是正多邊形的中心. D.一個外角小于一個內(nèi)角的正多邊形一定是正五邊形.若一個正多邊形的一個外角大于它的一個內(nèi)角,則它的邊數(shù)是( ) A.3 B.4 C.5 D.不能確定同圓的內(nèi)接正四邊形與外切正四邊形的面積之比是( ) A.1: B.1: C.1:2 D.:1正六邊形的兩條平行邊間距離是1,則邊長是( ) A. B. C. D.周長相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積S3、S4、S6之間的大小關(guān)系是:( ) A.S3>S4>S6 B.S6>S4>S3 C.S6>S3>S4 D.S4>S6>S3正三角形的邊心