2數(shù)列求和的方法

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法nSnk3k4一_1一1,解：由等差數(shù)列求和公式得Sn=-n(n+1),Sn=(n+1)(n+2)221n3464n)2505081當十門一7，即門=8時，f(n)max=、850f(n)=Sn(n32)Snin234n641、 等差數(shù)列求和公式：Sn=n(a1an).na1n(n-1)d222、等比數(shù)列求和公式：Sn=a1(1-qn)_1-q一(q=1)3、k21n(n1)(2n1)65、例1 1已知log3x1,求x+x2+x3+xn+的前n項和.10g23解：由log3x-1log23=l

2、og3x=-log32二由等比數(shù)列求和公式得2Sn=xx3nx(利用常用公式)11x(1-xn)_2(2ni-2)1-=12n例2 2設(shè)Sn=1+2+3+n,nCN，求f(n)=Sn(n32)&1(利用常用公式)4*-1i2n題1.等比數(shù)列也)的前n項和Sn=2n1,則。1 1+勾+%+/=3題2.若12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn,貝Ua=,b=,c=n2Sn=4一T解：原式=（理一1）盟.（2咫-1）2款？3轉(zhuǎn)口+盟答案:1.1.1_A】AA 產(chǎn)326二、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列an-bn的前項和，其中a

3、n、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列23n1例3 3求和：Sn=1+3x+5x+7x+-+(2n1)x解：由題可知，（2n1）xn的通項是等差數(shù)列2n1的通項與等比數(shù)列xn,的通項之積設(shè)xSn=1x3x25x37x4-(2n-1)xn（設(shè)制錯位）得(1-x)Sn=12x2x22x32x42xn-(2n-1)xn（錯位相減）1n1再利用等比數(shù)列的求和公式得：（1-x）Sn=12x-（2n-1）xn1一x-(2n1)xn(1x)(1-x)2246例4 4求數(shù)列一，2,3,22223空，前n項的和.2n解:由題可知，設(shè)Sn2Sn2n241的通項是等差數(shù)列2n的通項與等比數(shù)列右的通項之積2222423.9

4、.空232n1-得(1-1)Sn24二2=2222212n2n+22.（設(shè)制錯位）232n2n1242n2n1（錯位相減）已知44,求數(shù)列an答案：-1=2M-b2-2l2Hn*2n-2+l練習題1的前n項和Sn.13521,練習題2222?2*的前n項和為_2+3答案：?、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(a1+an).例5 5(選做題)求證：C0+3C：+5cl2+(2n+1)C；=(n+1)2n證明：設(shè)Sn=C；+3C：+5c2+，-+(2n+1)C：.把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得Sn=(2n+1)C

5、；+(2n1)C：,+3C：+C0(反序)又由Cnm=C：口可得Sn=(2n+1)C0+(2n1)C：十+3C：二十C：.+得2Sn=(2n+2)(C：+C；+C：/+C：)=2(n+1)2n(反序相加)Sn=(n1)2n2“、2222一”例6 6求sin1+sin2+sin3+sin88+sin89的值2223a“22斛：設(shè)S=sin1+sin2+sin3+sin88+sin89將式右邊反序得S=sin89+sin88+sin3+sin2+sin1.(反序)22又因為sinx=cos(90-x),sinxcosx=1+得(反序相加)2s=(sin21+cos21)+(sin22+cos22)

6、+(sin289+cos289)=89S=44.5已知函數(shù)(1)(1)證明:1一已知f(x)#兩足x1,x21sR,當x1+x2=1時，f(x1)+f(x2A，右2n-11,、一|+f(1),nwN，求Sn.二一，ii,解答：&=”十1).由f(Xi)十f(X2七知只要自變量X1+X2=1即成立，又知1n-d0+1=1一+=1,.,則易求sn.nn四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可111._例7 7求數(shù)列的刖n項和：1+1,+4,+7,；一+3n2,aaa-111八解：設(shè)Sn=(

7、11)(4)(27產(chǎn)(n/3n-2)aaa將其每一項拆開再重新組合得111Sn=(12n7)(147-3n-2)aaawM(3n-1)n(3n1)n當a=1時，Sn=n+)=)22例8 8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項和.解：(1)先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊(2)利用第(1)小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知,2、/9x=/+/if八令s=/_+/+/io)JlioJ則s寸Z-+/+-.+/10(i，g2s=9x/+/=922練習、求值:f1)+J兩式相加得:所以_.10J/1R_L_LJLf+l/2/y32+S210a+t(分組)(分組求和)當a01時,Sn1-1an.(3

8、n-1)n12a1-na-a3n1)na-12解：設(shè)ak=k(k1)(2k1)=2k33k2kSn=k(k+1)(2k+1)=(2k3+3k2十k)將其每一項拆開再重新組合得Sn=2Zk3+3k2+k（分組）=2(1323n3)3(1222n2)(12n)22-n(n1)n(n1)(2n1)n(n1)2_n(n1)(n2)五、裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如:(1)an=f(n1)-f(n)(2)sinlcosncos(n1)-=tan(n1)Tann(3)(5)

9、(6)(7)(8)anananann(n1)nn1an2(2n)2(2n-1)(2n1)=11(22n-12n1n(n-1)(n2)n(n-1)2n例9 9求數(shù)列2n(n1)(n1)(n2)2(n1)-n1n(n1)2nn2n(n1)2n，則Sn=1(n1)2n(AnB)(AnC)C-BAnBAn%)=.n1f：；n12，2.3，,.n、n1，一，的前n項和.解：設(shè)an（裂項）則Sn122.3（裂項求和）=(亞-i)+(33-22)+.+(v,rnTi而)=vK+1-1-(tan1-tan0)(tan2-tan1)(tan3-tan2)tan89-tan88此為分數(shù)數(shù)列求和問題，仍然用裂項求和

10、法k項作一些恒等變形，以便將其分裂為兩項之差,難點在于分母出現(xiàn)了階乘，為此，需將數(shù)列的第例1010在數(shù)列an中,anL+-*23-+,又b解:例1111求證:解:數(shù)列bn的前n項和bn=2,求數(shù)列bn的前n項的和.111111Sn=8(1W(2-3)(74)(n)=8(18n+*+cos1cos0cos1cos1cos22.cos88cos89sin1cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1cosncos(n1)-=tan(n1)-tann（裂項）cos0cos1cos1cos2cos88cos89（裂項求和）sin11Xtan89-tan0)=:cot1sin1cos1.

11、2.sin1原等式成立102100!.1k+111解因為=-(k=1,2,，100)(k2)k!(k2)!(k1)!(k2)!一1111所以131!42!53!102100!111111.11-(-)(-)(-),(-)2!3!3!4!4!5!10!11021112!102!21I1p1+練習題114415r-：練習題2。+J-一+=答案:答案：3 3方+1+1. .六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這sin1些項放在一起先求和，然后再求Sn.例1212求cos1+cos2+cos3+cos178+cos179的值

12、.解：設(shè)Sn=cosl+cos2+cos3+cos178+cos179cosn=cos(180二n)(找特殊性質(zhì)項)Sn=(cos1+cos179)+(cos2+cos178)+(cos3+cos177)+(cos89+cos91)+cos90(合并求和)=0例1313數(shù)列an：a=1,a2=3,a3=2,an書=an+an,求S2002.解：設(shè)S2002=a1a2a3一，a2002由a1=1a2=3,a3=2,an書=an+-an可得a4=-1,a5=一3,a6=-2,a7=1,a8=3,a9=2,a10=-1a6k1=1,a6k2=3,a6k-3=2,a6k4=一1,a6k5=一3,a6k

13、6=一2a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k6-0S2002=a1+a2+a3+a2002=(a1a2a3a6)(a?a8同？)“a6k1a6k2a6k妗).一.(a1993&994a1998)a1999H2000H2001H2002=a1999.a2000.a2001.a2002=a6k由+a6k七*a6k書+a6k44=5例1414在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6=9,求10g3a1十10g3a2+-十log3a10的值.解：設(shè)Sn=log3alog3a2一“l(fā)og3a10由等比數(shù)列的性質(zhì)m+n=p+q=aman=apaq(找特殊性質(zhì)項)和對數(shù)的運算性質(zhì)logaM+

14、logaN=logaMN得Sn=(log3a+log3a10)+(log3a?+log3ag)+(log3a+log3a6)(合并求和)=(log3alaQ(log3a2a9)log3a5a6)=10g39+10g39+log39=10&=1)+(J_2)_3)+(/-閏)111（找特殊性質(zhì)項）（合并求和）練習題 1 設(shè)=T+7-(2鑿-1),則名=答案：2,41-3,a12=-2,練習、求和:練習題2.若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,則S17+S33+S50 等于()，（理為奇）-日（然為偶）解：對前n項和要分奇偶分別解決，即：Sn=12答案：A練習題310012-992+

15、982-972+722-12的值是A.5000B.5050C.10100D.20200解：并項求和，每兩項合并，原式=（100+99）+（98+97）+（2+1）=5050.答案：B七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.例1515求1+11+111+11工:1之和.n個1,11.k,、解：由于111二1=父999田二一(10k1)1+11+111+U1=1日19：19nV111O1Q1.(10-1)(10-1)(10-1)(10-1)9999二4()8A.1B.-1C.0D.2（分組求和

16、）=1(10110210310n)1(11七之n9許910-1=(10n1-10-9n)81)8(n13例1616已知數(shù)列an：an(n1)(n3)QO，求Z(n+1)(anan由)的值.n1解：丁(n1)(an-an1)=8(n1)(n1)(n3)(n2)(n4)（找通項及特征）(n2)(n4)(n3)(n4)（設(shè)制分組）（裂項）(n.1)(an-an1)=4、(QO)81n1（分組、裂項求和）提高練習：1,已知數(shù)列小中，Sn是其前n項和，并且8M=4an+2(n=1,2川|),4=1,設(shè)數(shù)列bn=an卡2an(n=1,2,),求證：數(shù)列匕是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列 g=,(n=1,2,)，求證：數(shù)

17、列cn)是等差數(shù)列；2n八、組合數(shù)法求和原數(shù)列各項可寫成組合數(shù)形式，則可利用公式cnm+cm=cn求解.例5 5(參考)求1,1十2,1十2+3,，1+2+3+十n的和.1由1+2+3+一+n=n(n+1=)C：書知可利用組合數(shù)法求和.解Sn=112123123n=136n2=C；C；C2C；1322231=C3+C3+C4*Cn書h-=Cn=n(n+1)(n+2).6九待定歸納法例9 9求數(shù)列2父12,4M32,6父52j,2n(2n-1)2的前n項和Sn.因為數(shù)列的通項公式為an=2n(2n-1)2=8n3-8n2+2n它是關(guān)于n的多項式，與之類似的數(shù)列求和問題我們熟悉的有(1)1+3+5

18、+(2n-1)=n2(2)1父2十2父3十+n(n+1)=1n(n+1)(n+2)(3)13+23+33+n3=3n2(n+1)234以上各式中，左端的通項公式及右端的和展開后都是關(guān)于n的多項式，對其次數(shù)進行比較便可得到這樣的結(jié)論：若數(shù)列%的通項公式是關(guān)于n的多項式，則其前n項和是比通項公式高一次的多項式.對本題來講，因為通項公式23_2_an=2n(2n-1)2=8n3-8n22n是關(guān)于n的三次多項式，所以我們猜想IgIg數(shù)列的前n項和Sn n是關(guān)于n的四次多項式，故可設(shè)Sn=An4Bn3Cn2DnE.解令Sn=An4+Bn3+Cn2+Dn+E滿足數(shù)學歸納法的各個步驟，即n=1,n=k,n=k+1時上式均成立，有_43.2S1=ABCDE=a1=2SkuAk4Bk3Ck2DkE8k1=A(k1)B(k1)C(k1)D(k1)E=Ak4+(4A+B)k3+(6A+3B+C)k2+(4A+3B+2C+D)k+(A+B+C+D+E)又因為8k.i=8kak1=Ak4Bk3Ck2DkE8(k1)3-8(k1)22(k1)=Ak4十(