圓錐曲線解題技巧和方法綜合(經(jīng)典)

1、GB8878185555334563BT9125XW創(chuàng)作編號上創(chuàng)作者：鳳嗚大王*圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲備：1.直線方程的形式(1)直線方程的形式有五件：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式、截距 式、一般式。(2)與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率 = tane 0,l)點(diǎn)到直線的距離d =夾角公式：tan a =(3)弦長公式直線、=丘+方上兩點(diǎn)4工,)；),8(當(dāng),月)間的距離：AB = >J + k2 |xj -x2|= >/(l + /:2)(x1 +x2y-4xx2或出卜產(chǎn)看,一時(4)兩條直線的位置關(guān)系/1_L/2=k/2=-l / /2=2且4工仇2、圓錐曲線方程及性質(zhì)

2、、橢圓的方程的形式有幾種？(三種形式)22標(biāo)準(zhǔn)方程：+ = 1(機(jī) 。, 。且機(jī)H ) m n距離式 方程：y(x+c)2 + y2 + y(x-c)2 + y2 = 2a參數(shù)方程：x = a cos O.y = Z;sin 0、雙曲線的方程的形式有兩種22標(biāo) 方程： " = 1(7 R 0) m n距_ 禹 式方程：I J(x+c) +- J(x-c)，+)廣 1= 2a、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？橢圓:空；雙曲線:祖；拋物線：2 aa(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？22如：已知人、乃是橢圓：+ ? = 1的兩個焦點(diǎn)，平面內(nèi)一個動點(diǎn)M滿足慳娟-明周=2則動點(diǎn)M的軌跡是()A、

3、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線、焦點(diǎn)三角形面積公式：尸在橢圓上時，S. = b2 tan -2n尸在雙曲線上時，的=6cot三(其中| P/7 I2 _|_ | PF I2 _4C2 _. _. 、ZF PF、=d cos 0 = !=,PF*PF,=IPF II Puleos 0 )1 2PFx-PF21-12、 記住焦半徑公式： (1)橢圓焦點(diǎn)、在斕I上時為"± %;焦點(diǎn)在y軸上時為。土,可簡記為“左加右減，上加下減”。（2）雙曲線焦點(diǎn)在X軸上時為61/1±4（3）拋物線焦點(diǎn)在X軸上時為1$ l+g焦點(diǎn)在y軸上時為ly 1+當(dāng)、橢圓和雙曲

4、線的基本量三角形你清楚嗎？ _第二、方法儲備1、點(diǎn)差法（中點(diǎn)弦問題）設(shè)A（X"J、8a2,%），力）為橢圓二+三=1的弦"中點(diǎn)則有¥+1=1，v4=i；兩式相減得號上中=。（月- >2 X必+乃） 32、朕立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題 嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個參數(shù)怎么辦？設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程朕立，消去一個未知數(shù)， 得到一個二次方程，使用判別式 20 ,以及根與系數(shù)的關(guān)系， 代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點(diǎn)4和%）,8（林乃）,將這兩點(diǎn) 代入曲線方程得到。兩個式子，然后-，整體消 元,若有兩個字母未知數(shù)，則要找到它們的朕系，消

5、去一個，比如直線過焦點(diǎn)，則可以利用三點(diǎn)A、B、F共線 解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，根與系 數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。一旦設(shè)直線為），=履+。，就意味著 k存在。例1、已知三角形ABC的三個頂點(diǎn)均在橢圓4/+5/=80上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個端點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸正半軸上).(1)若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;(2)若角A為90。，AD垂直BC于D,試求點(diǎn)D的軌跡方程.分析：第一問抓住“重心”，利用點(diǎn)差法及重心坐標(biāo)公式可求出 中點(diǎn)弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A 為90"可得出ABJ_AC,從而得巧巧+y乃一 14(y+%)+ 1

6、6 =。，然后利用朕立消元法及交軌法求出點(diǎn)D的軌跡方程;解:(1)設(shè) B (再，力)，C(“2 ),BC 中點(diǎn)為(x°,y°),F(2,0)則有%+ j粉+宗=1兩式作差有 但十七）3 一%）+（）*）（$+%）=o 上+出=o 201654F（2,0）為三角形重心，所以由土=1 = 2,得%=3,由乜+ »4=0得先=-2,代入（1）得k=；直線BC的方程為6x 5y 28 = 02）由 AB J_AC 得中2 +%>2 T4" +y2） + 16 = 0（2）設(shè)直線 BC 方程為y = Zx+4代入4/+5y2 = 80 , 得（4 + 5Z

7、2 ）x2 + 0bkx+ 5人2 - 80 = 0 TOkb5b2 -80+ 占=,X|X-> =1 2 4 + 5 攵 2- 4 + 5 公8k4/?- -80k 心入 /俎川+為=立/'9'2=代入式得9/廠32"16 = 0,解得 =%舍）或入=_±4y + -43、匕1,即4 + 5k9直線過定點(diǎn)（），設(shè)D （x,y）,則9y2+9x2-32y-16 = 0所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是/ +（）,一§2 =（尋2（）, .4）。4、設(shè)而不求法例2、如圖，已知梯形ABCD中國| = 2|曾，點(diǎn)E分有向線段恁所成的比為九，雙曲線過C、D、E

8、三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)莖三？時，求雙曲線離心率。的取值范圍。34分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線的 概念和性質(zhì)，推理、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的 能力。建立直角坐標(biāo)系xoy ,如圖，若設(shè)代入- 求得力= .，進(jìn)而求得人=.».=.、再代入%嘖=1,建立目標(biāo) 函數(shù)整理/®2） = 0,此運(yùn)算量可見是難上加難.我們對可采取設(shè)而不求的解題策略, 建立目標(biāo)函數(shù)/（也c,/l） = O,整理/（e,/l） = O,化繁為簡.解法一：如圖，以AB為垂直平分線為y軸，直線AB為x軸,建立直角坐標(biāo)系式6,則CD，y軸因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D,且 以A、B為焦點(diǎn)

9、，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于y軸對稱依題意,記 A（-c,0）, C g,h , E（A0,y0）I， /曲線的半焦距，/?是梯形的高，由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得-C + lA j2-2）c_ Ah“。=下二=藥可 ，0=TTI設(shè)雙曲線的方程為£-E=i,則離心率。=£ cr lra由點(diǎn)C、E在雙曲線上，將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和6 =，代入雙曲 a線方程得GB8878185555334563BT9125XW創(chuàng)作編號上創(chuàng)作杳：鳳嗚大王*彳一后由式得將式代入式，整理得2（4-42）=1 + 22 ,= I-7TT由題設(shè)泊4得，解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為卜工加分析：考慮|A磯wq為

10、焦半徑，可用焦半徑公式，|A目,|AC|用瓦C的 橫坐標(biāo)表示，回避力的計算，達(dá)到設(shè)而不求的解題策略.解法二：建系同解法一,|AE| = （« + exE）,|AC| = a+exc ,小=與2,又獸二上，代入整理1 + 丸 2（幾 + 1） |AC| 1 + Ze +1由題設(shè)，。工。得，343«-+2 4解得所以雙曲線的離心率的取值范圍為防,師5、判別式法例3已知雙曲線C：f-二=1,直線/過點(diǎn)人（五0）,斜率為k,當(dāng) 22Ovk<l時，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線/的距離為 叵,試求女的值及此時點(diǎn)B的坐標(biāo)。分析1:解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科,

11、 因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段.從“有且 僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點(diǎn)B作與/平行 的直線，必與雙曲線C相切.而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方 程的判另式 =（）.由此出發(fā)，可設(shè)計如下解題思路：/: y = k（x-y2） （0<A: <1）直線，在/的上方且到直線/的距離為y/2/f: y = kx+y!2k2 +2-y/2k把直線P的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式 = （）一解得A:的值解題過程略.分析2:如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代 數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線/的距離為友”，相 當(dāng)于化歸的方程有唯一解.據(jù)此設(shè)計

12、出如下解題思路：簡解：設(shè)點(diǎn)”(乂，2 +昆)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線/的距離為：卜1幻-網(wǎng)=&(0<<1)(*)ylk2+于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于工的方程.由于0 < Z < 1 ,所以，2 +/> |a-| > kx,從而有kx-yl2 + X2 -=-kx+ ：2 + 水，+ y2k.于是關(guān)于X的方程(*)<=> -kx+ j2 +/+ 41k = yl2(k +1)0-2 + 打=(也k'la + kxf,卜2伏2 + 1)-桓k + kx>0<Z> 卜 -1卜2 + 2我(12伐2 +1)

13、 -Qk卜 + Q'2(F +1) -岳-2 = 0. ，2(k】+l)-&k+kx>0.由0c A vl可知：方程 R2 _ 1卜2 + 242才+ 1)-粒k卜 +(J2(F+1)一亞k1 _ 2 = 0 的二 根同正，故52(r+1)亞女+人>0恒成立,于是等價于(攵2 1鋁 + 2山2(_+1)-血卜 + 血攵2+1)-41k -2 = 0.由如上關(guān)于X的方程有唯一解，得其判別式 = (),就可解得 ,2亞 K =.5點(diǎn)評：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體 現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性.例4已知橢圓C:/+2y2=8和點(diǎn)P (4, 1),過P

14、作直線交橢AD An圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q,使,二-治，求動點(diǎn)Q rD Qb的軌跡所在曲線的方程.分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點(diǎn)的困擾，學(xué) 生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法 求解.因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐 標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的.由于點(diǎn)。&,丁)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇 直線AB的斜率女作為參數(shù)，如何將與k朕系起來？ 一方面利 用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：£ = 一黑來rD QB轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到丫_4*八+勺)-2.% ,要

15、建8一區(qū)+/)立X與k的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利 用韋達(dá)定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但 對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).在得到工=/伙)之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識到：所謂消 參，目的不過是得到關(guān)于蒼y的方程(不含幻，則可由y = A(x-4) + 1 解得k =直接代入x = /(k)即可得到軌跡方程。從而簡化消x-4去參的過程。簡解：設(shè)A（K，yj8（X2，乃）,。（工，>）,則由可得： PB QB4-x（ _ x - X, x2 -4 x2-x解之得：,= 4（m+x2）21.（D8-（a,+x2）設(shè)直線AB的方程為：y

16、 = k（x-4） + l,代入橢圓C的方程，消 去），得出關(guān)于x的一元二次方程：（2k 2 +1卜2 + 4攵（1 _ 4k）x + 2（1 - 4攵- 一 8 = 0奴（4&一1）2（1-軟）2-84k+ 3X -k + 2代入 （1）, 化簡得與）, =&*4） + 1 朕立，消去攵得：（2x+y-4Xx-4） = 0.在（2）中，由二軟？+64攵+ 24>0 ,解得2-、歷2+、,歷 結(jié)44合（3）可求得16一2雨16 + 2、歷99故知點(diǎn)Q的軌跡方不呈為：2x+y 4 = 0（ 16-2、而<< 16 + 2、歷）.99點(diǎn)評：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一

17、個標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個變量的 一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到.這當(dāng)中， 難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參，而“引參、用 參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.6、求根公式法例5設(shè)直線/過點(diǎn)P（0, 3）,和橢圓擠+學(xué)=1順次交于A、B兩點(diǎn)，試求詼的取值范圍.分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到："二_",但從此后 PB卻一籌莫展，問題的根源在于對題目的整體把握不夠.事實(shí)上， 所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個 （或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系.A

18、P分析1:從第一條想法入手，工;=一旦已經(jīng)是一個關(guān)系式，但 PB xB由于有兩個變量4,4,同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自 然想到利用第3個變量直線月月的斜率K.問題就轉(zhuǎn)化為如何 將x“運(yùn)轉(zhuǎn)化為關(guān)于今的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓 方程，消去y得出關(guān)于工的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.所求量的取值范圍4 P簡解1：當(dāng)直線/垂直于X軸時，可求得先=一"；當(dāng)/與X軸不垂直時，設(shè)4&,），1）,8（如x2）,直線/的方程為: y = kx+3,代入橢圓方程，消去），得（9/+4*+54+45=0解之得因?yàn)闄E圓關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮4>0的情

19、形.當(dāng)心。時，12 y”- 27A - 6«9二 一 5X,=；9K+4AP 否 _-92 + 2>/9/-5 -18k1-9 + 219-9k + 249/一5 9k + 2MH - 5PB x,= - 1 =由 = （一54攵）2-180（9公+4）20,解得 Z:2 >| ,所以181< 綜上一*裝分析2:如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判 別式往往是產(chǎn)生不等的根源.由判別式值的非負(fù)性可以很快確定 k的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與k聯(lián)系起來.一般 來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用 韋達(dá)定理，原因在于"=-

20、土不是關(guān)于為，心的對稱關(guān)系式.原因PB x2找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于X,%2的對稱關(guān)系式簡解2：設(shè)直線/的方程為：），=h+3,代入橢圓方程，消去y(9 攵 2 +4卜 2 +54+45=0(*)一54攵內(nèi) +X,=; ,則 -9K+4452=赤？令三="則，"+ 2 = 324".X2A 45K+20在(*)中，由判別式AN0,可得k2 >1,從而有 4<- ?24- <,所以4<2 + 1 + 2<,解得45K+205251<2<5.5結(jié)合 0<2«1 得綜上，PB 5點(diǎn)評

21、：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法， 均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等 等.本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法.解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并 不能說明問題，有時甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實(shí)質(zhì)所 在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄， 方能決勝千里.第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題 的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題, 即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá) 到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須 注意所使用的命題之間的相互

22、關(guān)系(充分性、必要性、充要性等), 做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大 腦，快速提高解題能力。例6橢圓長軸端點(diǎn)為A8,。為橢圓中心，尸為橢圓的右焦 點(diǎn)，且赤麗=1 , |OF| = 1 .(I )求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II)記橢圓的上頂點(diǎn)為例，直線/交橢圓于RQ兩點(diǎn)，問： 是否存在直線/,使點(diǎn)F恰為APQM的垂心？若存在，求出直線/的方程;若不存在，請說明理由。思維流程：(I)由a尸方=1,|而 1=1 m+c)mc)=i, c=ia = y/2,b = 1寫出橢圓方程由 F 為PQM 的重心一 PQ 工 MF,MPLFQ -kpQ = 1(U)3.P + 4/?tv+2m

23、2 - 2 = 0“2 +2,2 = 2得出關(guān)于兩根之和,兩根之積-kMPFQ = O-m的方程解題過程：22(I )如圖建系，設(shè)橢圓方程為二+ 2 = imb0),則c = la- b又 AF FB = Pp m + c)(。-c) = 1 = a1 -c2：. a2 =2故橢圓方程為J +=1(H )假設(shè)存在直線/交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且尸恰為APQM的 垂心，則設(shè)尸(不力),。*2，為)，M(O,1),F(1,O) , ii：kPQ = 1 , .y X 4 ？于是設(shè)直線/為y = x + m ,由I ；個2 c得，r+ 2)廣=23x2 + 4inx + 2nr -2 = 0.礪.豆=0

24、=%(1)+必(凹1)又y =改+砒=1,2)創(chuàng)作編號工GB8878185555334563BT9125XW創(chuàng)作者：鳳嗚大王*得 x,(x2 -1) + (x2 + in)(x1 + / -1) = 0 即+(x+x2)(/?-1) + nr -m = 0由韋達(dá)定理得2nr -2 4/， n2 - (?-1) + nr 一團(tuán)=03 34 /4解得7 = -一或m=1 (舍)經(jīng)檢臉7 = -一符合條件.點(diǎn)石成金：垂心的特點(diǎn)是垂心與頂點(diǎn)的連線垂直對邊，然后轉(zhuǎn)化 為兩向量乘積為零.例7、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且3經(jīng)過A(-2,0)、8(2,0)、C 1,二三點(diǎn).2)(I )求橢

25、圓E的方程：(II )若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A、8的任意一點(diǎn)，F(xiàn)(-l,0),H(l,0),當(dāng)。尸內(nèi)切圓的面積最大時，求。尸內(nèi)心的 坐標(biāo)；思維流程：設(shè)方程為/nd + ny2 =1得到2,”的方程由橢圓經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)(D1(11)由AQF”內(nèi)切圓面積最大 _> 轉(zhuǎn)化為拉下77面積最大轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的絕對值最大最大一D為橢圓短軸端點(diǎn)ADFH面積最大值為a/3S= 5 "周長x乙內(nèi)切陽得出。點(diǎn)坐標(biāo)為o,±W解題過程：(I )設(shè)橢圓方程為儲+江=1 ("7 >0, >0)將A(-2,0)、5(2,0)、C(l,5)代入橢圓石的方程，得47H =

26、 1,2,2,9 解得? = , = 一.橢圓E的方才呈上+工=1 ."7 + 一 = 143434(U) FH=2,設(shè) A DFH 邊上的高為 S wfh = L X 2 X h = h2當(dāng)點(diǎn)。在橢圓的上頂點(diǎn)時，/?最大為6,所以工加的最大值為設(shè)。尸的內(nèi)切圓的半徑為R ,因?yàn)椤Ｊ闹荛L為定值6.所以，SWFH = Rx6所以R的最大值為士 .所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為(0.當(dāng)點(diǎn)石成金：S、的內(nèi)加 =5x 的周kx七的內(nèi)切削 乙例8、已知定點(diǎn)。(-1,0)及橢圓/+3V =5,過點(diǎn)C的動直線與橢圓相交于A 8兩點(diǎn).(I)若線段A8中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是求直線A8的方程；(n)在工軸上是否存在點(diǎn)，

27、使市分為常數(shù)？若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.思維流程:(I)解：依題意，直線A8的斜率存在，設(shè)直線A3的方程為y = k（x + l）,等 y = （x + l） d弋入爐+3,2 =5消去V整理得（3公 +1）/+ 6+ 3公 一 5 = 0.設(shè)A（x/yj, B（x?, y2）9A = 36k4 一 4（342 +1）（3女2-5）> 0,6k2（1）Q）由線段A3中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-;, 乙得f 奈丁解得k = ±叵,符合題意。3所以直線A3的方程為x->/3y + l =0 ,或x + /y + l = 0.(II)解：假設(shè)在X軸上存在點(diǎn)M(z,O),

28、使蘇.福為常數(shù). 當(dāng)直線A8與x軸不垂直時，由(I )知（3）所以 MA - MB =（X _ "2）（ _ "7）+ >?| >2 =（X _ 2）（/ - 。+ 攵 °（X + 1）（巧 + 1）=（k2 +1）52 +（ 一?）（再 +x2） + k2 +m2.將（3）代入, 整a . ,> v （27 ）（3攵+1） 27 -777； （6?_1火一-5,33MA MB = ；+ nr = + nr6/n + 143k2+3k2+ = nr + 2m-.一.3 3（3 公+1）？= 一注意到蘇利是與女無關(guān)的常數(shù)，從而有67 + 14 =

29、0,時月=6.當(dāng)直線A8與大軸垂直時，此時點(diǎn)A, 8的坐標(biāo)分別為11,當(dāng)?=_(時，亦有=綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M -2,01使蘇瓦為常數(shù).、3 )/久 1、/2 (27 _)(3K +1) 2?一一點(diǎn)石 成金： mA MB = -+ nr =、； + m3K +13K +1,八 16/77+ 14=nr + 2ms3 3(3攵 2+1)例9、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長 的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M (2, 1),平行于OM的直線/在y軸上的截距 為m (mRO), /交橢圓于A、B兩個不同點(diǎn)。(I)求橢圓的方程；(D)求m的取值范圍；(IH)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等

30、腰三角形.思維流程： 解：設(shè)橢圓方程為,加)a2 =8橢圓方程為a = 2b則,41解得二+ 尸=11廠 lr(U) ;直線/平行于。M,且在y軸上的截距為mGB8878185555334563BT9125XW創(chuàng)作編號工創(chuàng)作者：鳳嗚大王*又 K（）m=5二. /的方程為：y = -x + m21y=-x+m2，,jc + 2mx + 2nr -4 = 0工+J82直線1與橢圓交于A、B兩個不同點(diǎn)， = (2/77)2 -4(2/77 2 - 4) > 0, 解得- 2 < m < 2,且7 W 0（田）設(shè)直線乂八、抽®的斜率分別為A,k2,只需證明k,+k2=（）

31、即可設(shè) A(x,yx),B(x2,y2且巧 +x2= -2八修看=2m2 -4則占=$ _ 2 x2 - 2由 X2 + 2忒 + 2m2 -4 = 0可得x. +占 +2加,1占=2nr -4 工I X(Xi - 2)(x2 - 2)(X + m - I)。； -2) + ( x2 + m - l)(xt - 2)-j-(Xj 2)(x2 2) x1x2 + (m + 2)(%j +x2)- 4(/7 - 1) (x, -2)(x2 -2)_ 2m2 -4 + (m-2)(-2"。一4(m-1) (X1 - 2)(x? -2)2nr - 4- 2/ + 4m - 4m + 4 八

32、I I(七一 2)(x, - 2)1.k + ky 0故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.點(diǎn)石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形<=>勺+匕=0例10已知雙曲線二一二=1的離心率6 = 2 ,過A(a,0),8(0,-Z?)的 a b3直線到原點(diǎn)的距離是E.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線)，=入+5伙工0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C, D且G。都在以/為圓心的圓上，求K的值.思維流程：解：(1) £ =三巨，原點(diǎn)到直線月比土匯= i的距離 ci3a h, abab V3ci = .= =.y/a2 +/22 c 2.:.b = 1, a = y/3

33、 .故所求雙曲線方程為匚_ / =3(2 )把y =攵x+5代入3y? = 3中消去了，整理得(l-32)x2-30-78 = 0.設(shè)氏，X），8的中點(diǎn)是£（%,加）,則X。X1 + 三 _ 1 5k2l-3k2y。+1J_Xq k yo =kxo+5 = 一5-°°-3k2：.x0 + ky。+k = 0,即 一I5" h"- + 4=0,又 O,k = 71 1 3左 21-3Z:2故所求k=± x/7 .點(diǎn)石成金：G。都在以笈為圓心的圓上oBC=BDoBE_LCD； 例11、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C 上的

34、點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3,最小值為1（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（n）若直線/：產(chǎn)kx+m與橢圓C相交于4 3兩點(diǎn)（A B 不是左右頂點(diǎn)），且以45為直徑的圓過橢圓C的右頂 點(diǎn).求證：直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).思維流程：22解：（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二十二=1（">0）, cr r由已知得：a+c = 3, ac = l ?：=L.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為? + ? = i.山=八。-=34 3（H）設(shè) A（m，y）, B（x2, y2）. y = kx + nu 朕立< / y2 1 = 1.143得 （3 +4k2 ）x2 + Smkx + 4（/h2 -3） = 0 ,貝|A = 64"，r-16（3+4公）（小2 -3） > 0,即3+4嚴(yán)一/ > 0,SmkR，4（小一 3）</；/t17； /、，3（74K）又 乃=31 + "7）（履 2 + 加）=k -X|X2 + mk （玉 +x2）+ nr =因?yàn)橐訟3為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)£>(2,0),二 ?!）?2 + XX2 -2（內(nèi) +x2） + 4 = 0 .3（?、4/）4（/-3）1 Sink ,八 r 2 “，八