極坐標(biāo)與參數(shù)方程專題復(fù)習(xí)

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程一、考試大綱解析:1 .坐標(biāo)系(1)理解坐標(biāo)系的作用；(2) 了解平面坐標(biāo)系伸縮變換作用下圖形的變化情況；(3)能在坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)和平面之間坐標(biāo)系表示點(diǎn)的位 置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；(4)能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形的方程，通過比較這些圖形在極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)系中 的方程，理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義；2.參數(shù)方程(1) 了解參數(shù)方程和參數(shù)方程的意義；(2)能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓、圓錐曲線的參數(shù)方程；(3)能用參數(shù)方程解決一些數(shù)學(xué)問題和實(shí)際的運(yùn)用；二、題型分布:極坐標(biāo)和參數(shù)方程是新課標(biāo)考綱里的選考內(nèi)容之一，在每年的高

2、考試卷中，極坐標(biāo)和參數(shù)方程都是放在選作題的一題中來考查。由于極坐標(biāo)是新添的內(nèi)容，考綱要求比較簡(jiǎn)單，所以在考試中一般不會(huì)有很難的題目。三、知識(shí)點(diǎn)回顧坐標(biāo)系X'X.(0).1 .伸縮變換：設(shè)點(diǎn)P(x, y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換中：,(),y = y y,(壯 >0).的作用下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P'(x：y ),稱中為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn) 稱伸縮變換。2 .極坐標(biāo)系的概念：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn) O,叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)。引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、 一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。

3、3點(diǎn)M的極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn) 。與點(diǎn)M的距離|OM |叫做點(diǎn)M的極徑， 記為P;以極軸Ox為始邊，射線 OM為終邊的/xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為日。有序 數(shù)又(P,叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(P,0).極坐標(biāo)(巳日)與(巳8+2kg(k w Z)表示同一個(gè)點(diǎn)。極點(diǎn) 。的坐標(biāo)為(0,8)(日w R).4 .若P<0,則P>0,規(guī)定點(diǎn)(P與點(diǎn)(P&)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱,即(“與(巴1+儲(chǔ) 表示同一點(diǎn)。如果規(guī)定P >0,0£2n，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo) (P,8)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)(巳日)表示的點(diǎn)也是唯一確定的。5.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化:_

4、222_.=x y , x = i-cosi,y = Psin 二， tan - y (x ； 0)x6.直線相對(duì)于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為:cos 二:sin 二(6) D =cos(二-)對(duì)應(yīng)圖形如下:M( P T0aeaa =-sinrsinP二acos( - )7.圓相對(duì)于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為(a >0)：= -2a cos?(4) P = 2asin 日 P = -2asinH(6) ：? =2acos(1-；)對(duì)應(yīng)圖形如下:二0圖4圖§圖6：=2asim: = -2asm。=2acos(? -)參數(shù)方程1 .參數(shù)方程的概念：在平面

5、直角坐標(biāo)系中， 如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x, y都是某個(gè)變數(shù)t'x = f (t)的函數(shù)3(),并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條y =g(t),曲線上，那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。2 .常見曲線的參數(shù)方程如下：(1)過定點(diǎn)(x°, y°),傾角為“的直線:(t為參數(shù))x =x0 tcos- 一 y 二 y0 tsin ：其中參數(shù)t是以定點(diǎn)P (x0, y0)為起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于t點(diǎn)M (x, y)為終點(diǎn)的有向線段 PM的數(shù)量

6、，又稱為點(diǎn) P與點(diǎn)M間的有向距離.(2)中心在(x°, y°),半徑等于r的圓:(日為參數(shù))：x = xo rcos- y = yo r sin1（3）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸（或y軸）上的橢圓:x = a cos 二y = bsin 二（日為參數(shù)）x = bcosQ) y = asin 二（4）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸正半軸上的拋物線:x =2 pt2 y =2pt（t為參數(shù)，p>0）四、直擊考點(diǎn):考點(diǎn)一：坐標(biāo)的變化以及軌跡方程中參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化:標(biāo)準(zhǔn)方程化為參數(shù)方程：熟記常見曲線的參數(shù)方程即可。參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程:牢記參數(shù)放一邊

7、，然后利用三角函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)消參數(shù)。例題:(如 sin2 8+ cos2 日=1,k = tan 日cose )1把方程xy=1化為以t參數(shù)的參數(shù)方程是（).A.1 x =t2JJ =t 2x = sin tB. 61y = sin tx = costC-«1y 二costx = tanttan t解答：Dxy=1, x取非零實(shí)數(shù)，而 A, B, C中的x的范圍有各自的限制.).x = 1 2t2.若直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則直線的斜率為（y=2-3tA.B.3 C.D.解答:k，-2-3tx -12t3.參數(shù)方程x =e,t_ t 上y =2(e -e )（t為參數(shù)）的普通方程

8、為x = 2et解答：x416= 1,(x_2)4.分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程1 / t t x = - (e e )cosy = 1(et -e-L)sin i化為普通方程:（1） 0為參數(shù)，t為常數(shù)；（2）t為參數(shù)，e為常數(shù).解：(1)當(dāng) t =0時(shí)，y =0,x =cosH ,即 x <1,且y =0 ;當(dāng) t ¥ 0時(shí)，cos =,sin f 二1 / t-(e e )2而 x2 + y2 =1 ,2郎1 / t . -t21 / t-(ee )- (e44(2)當(dāng) k =kn,kW Z 時(shí),-1y =0 , x =±_(2et +e”),即 x 21,

9、且y = 0 ；當(dāng) 8 =knw Z 時(shí)，x = 0, y =±1(et -e-1),即 x=0； 22k 二當(dāng)0手，k w Z時(shí)，得2eTet e_t-ecosi2ysinu2e即2e,t2x 2ycos 1 sin 二2x 2y cosi sin2e、(2x2ycosi2)( 2xsin 1 cos 1sin 二),2 即烹2y =i.sin 1實(shí)踐練習(xí):1.直線(t為參數(shù))的傾斜角是JI A.一6冗B.一3C. 516_ 2nD.一3廣1at2.方程x 二 一1 tcos" (t為非零常數(shù)，«為參數(shù))表示的曲線是(1)化成普通方程.(2)A.直線B.圓C.橢

10、圓D.雙曲線y =3 +t sin a()3.把彈道曲線的參數(shù)方程x = V0 cos - t, 1.2y =V0 sin - t -gt ,考點(diǎn)二：最值為題通過題意得到參數(shù)方程，一般情況下是利用參數(shù)方程中三角函數(shù)的有界型來求最值例題221 .點(diǎn)P(x, y)是橢圓2x +3y =12上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 x+2y的最大值為().A. 2&B. 273C.布D. V22解析：C22橢圓為' +2=1 ,設(shè) P(T6cosH, 2sin 0), 64x 2y = q6cosi 4sin【-J22sin(。睛,)_ .無2.已知 AABC 中，A(2,0), B(0,2), C(cos

11、8, 1+sin2)(8 為變數(shù)),求4ABC面積的最大值." , x =cos1解：設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, y),則i,y - -1 sin 二即x2十(y+1)2 =1為以(0, 1)為圓心，以1為半徑的圓. A(-2,0), B(0,2),| AB | = 74T4 = 2T2 ,且AB的方程為工+Y = 1,-2 2即 x -y +2 =0,則圓心(0, 1)到直線AB的距離為| -(-1) + 2| =342 .12 (-1)22點(diǎn)C到直線AB的最大距離為1 +3 J2 ,21 3 l S必BC 的最大值是 _M2J2M(1+3J2)=3+J2.2 2實(shí)踐練習(xí)：1 .在圓x2

12、 + 2x+ y2=0上求一點(diǎn)，使它到直線 2x+ 3y 5=0的距離最大.2在橢圓4x2+9y2=36上求一點(diǎn)P,使它到直線x+2y + 18=0的距離最短（或最長(zhǎng)）223. A為橢土 + L = 1上任意一點(diǎn)，B為圓（x 1）2 + y2 = 1上任意一點(diǎn)，求|AB |的最大值和 259最小值。考點(diǎn)三：其他綜合問題例題：2 C .21,已知曲線«x = 2pt （t為參數(shù)，p為正常數(shù)）上的兩點(diǎn)M , N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為L(zhǎng)和t2 , y =2pt且t1 +t2=0,那么 |MN 尸.解析：4p|t1|顯然線段MN垂直于拋物線的對(duì)稱軸，即x軸，|MN |=2p|t1 12 |=2p

13、12tl |.2.直線 6-1 +2t（t為參數(shù)）被圓x2 + y2 =9截得的弦長(zhǎng)為（）.y =2 tA.任 B.但代 C, 2娓 D. 9后555522X = 1 + 5/5t 父-解析：B !X=1+2t=55把直線(x=1 +2t代入y=2 t y=-5t 1一 t.5x2 +y2 =9得(1+2t)2 +(2 +t)2 =9,5t2 +8t -4 =0 ,I ti -t2 |= g +t2)2 -4tit； = J( 8)2 +16 =*弦長(zhǎng)為痣 |ti 一 t2|=衛(wèi)辰 ;55553x = 5cos 二3,已知直線l過定點(diǎn)P（-3,-）與圓C： <四為參數(shù)）相交于A、B兩點(diǎn).

14、2y = 5sin 求：（1）若|AB|=8,求直線l的方程;一.3（2）右點(diǎn)P（_3,）為弦AB的中點(diǎn)，求弦 AB的方程. 2八 .，,，、一 X = 5cos199解：（1）由圓C的參數(shù)萬(wàn)程=x2+y2=25,y =5sinx = -3 tcos ;設(shè)直線l的參數(shù)方程為33（t為參數(shù)），y = - t sin 二2將參數(shù)方程代入圓的方程x2 y2 =252 -得 4t -12(2cos«+sinct)t -55=0,.2. =169(2cos+sina) +55>0,所以方程有兩相異實(shí)數(shù)根t1、t2, ，|AB|=|t1 t2|=，9(2cosa +sin )2 +55 = 8,化簡(jiǎn)有 3cos2« +4sin 豆 cos« = 0 ,3解之 cosc( =0或tan« =-,從而求出直線l的方程為x+3 = 0或3x+4y+15 = 0 .(2)若P為AB的中點(diǎn)，所以t+t2=0,由(1)知 2cosu +sin« =0,得 tana = -2, 故所求弦AB的方程為4x+2y+15=0(x2+y2 E25).實(shí)踐練習(xí)：1.已知直線；1:金二二1:31與雙曲線(y-2)2-x2=1相交于A、B