數(shù)列前n項和的求法總結(jié)

1、數(shù)列前n項和的求法總結(jié)核心提示：求數(shù)列的前n項和要借助于通項公式，即先有通項公式，再在分析數(shù)列通項公式的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和。當遇到具體問題時，要注意觀察數(shù)列的特點和規(guī)律，找到適合的方法解題。一.公式法?(?分？a?(?+?_(1) 等差數(shù)列前n項和：？?=(?+?=?+二? (? ? ?(2) 等比數(shù)列前n項和：？?=?寸，？?=?索? 一一 一-?+ ?w?時，?=(3)其他公式：？?？=?+?+?+?+?=?O=?+?+?+?+?=-?(?+?)(?)?JJ?一?0=?+?+?+?+?=?+?？例題1:求數(shù)列?考,?,?,(?+身,的前n項和S解：占八、顯的

2、看 差數(shù)列， 把兩個練習:S=1=+2+3一+.*a+(n+"248?=S2,工計嗎撥：這道題只要經(jīng)過簡單整理，就可以很明1d_L)出：這個數(shù)列可以分解成兩個數(shù)列，一個等=迎0+巳一備一個等比數(shù)列，再分別運用公式求和，最后215數(shù)列的和再求和。n.(n+1)1=1422n二.倒序相加法如果一個數(shù)列an,與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學知識時，不但要知其果，更要索具因，知識的得出過程是知識的源頭，也是研究同一類知識的工具，例如：等差數(shù)列前n項和公式的推導，用的就是“倒序相加法”。例題

3、1:設(shè)等差數(shù)列an,公差為d,求證：an的前n項和Sn=n(ai+an)/2解：Sn=ai+a2+a3+.+an倒序得：Sn=an+an-l+an-2+HlCD+(2)4tf:2s=(ai+a)+(a2+an-i)+(a3+an-2)+,+(an+ai)又;ai+an=&+an-i=a3+an-2-=an+ai28=n(a2+an)Sn=n(a+a)/2點撥：由推導過程可看出，倒序相加法得以應(yīng)用的原因是借助ai+an=a2+an-i=a3+an-2=an+ai即與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和的這一等差數(shù)列的重要性質(zhì)來實現(xiàn)的。練習：(1)三.裂項相消法裂項相消法是將數(shù)列的一項拆成

4、兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數(shù)列的前n項和。1 +'十+十修+1例題3:求數(shù)列I?1+2+3l+2+.+n(nCN)的和解:點撥：此題先通過求數(shù)列的通項找到可以裂項的規(guī)律，再把數(shù)列的每一項拆開之后,中間部分的項相互抵消，再把剩下的項整理成最后的結(jié)果即可四.錯位相減法錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列anbn中，an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯位相減整理后即可以求出前n項和。例題4:求數(shù)列nan(nCN*)的和解：設(shè)S=a+2a2+3a3+nan若a=1則：Sn=1+2+3+n=2若a

5、wl則：aS=a2+2a3+(n-1)an+nan+1s/H-心"一-得：(1-a)Sn=a+m+a3+an-nan+1則：nd練習：(1)(2)(3)求：？?=?+?+?+(?-?.解：？?=?+?+?+(?-?，兩邊同乘以X,得?=?+?+?+?+(?，%/J-得，(?=?+?+?+?+?+?)-(?再用公式法里面的公式即可。五.迭加法迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列an滿足an+尸an+f(n),其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個式子變成an+i-an=f(n),代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過整理，可求出an,從而求出Sno例題5:已知數(shù)列6,9,14

6、,21,30,其中相鄰兩項之差成等差數(shù)列，求它的前n項和。角單:-22-ai=3,a3-a2=5,a4-a3=7，,an-an-i=2n-13+C2n-1)*x(tl-1)=n-1把各項相加得：an-ai=3+5+7+(2n-1)=2 .an=n2-1+a產(chǎn)n2+5n(n+L)(&n+l) .Sn=12+22+n2+5n=6+5n點撥：本題應(yīng)用迭加法求出通項公式，并且求前n項和時應(yīng)用到了12+22+n2=n(n-l-l)(2n+1)片因此問題就容易解決了。六.分組求和法所謂分組求和法就是對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，

7、然后分別求和，冉將其合并。例題6:求S=12-22+32-42+-+(-1)n-1n2(nCN*)解：當n是偶數(shù)時：S=(12-22)+(32-42)+.-1)2-n2n(1+nJ=-(1+2+-+n)=-2當n是奇數(shù)時：S=(12-22)+(32-42)+-+(n-2)2-(n-1)2+n2=-1+2+(n-1)+n2=-竽資7CCIoo?/?綜上所述：？=(-?)?+?(?+?)點撥：分組求和法的實質(zhì)是：將不能直接求和的數(shù)列分解成若干個可以求和的數(shù)列，分別求和。練習：(2)作業(yè)：1 .已知等差數(shù)列?鑄，其前n項和為？公且？=9,?=35.(1)求數(shù)列?)得通項公式；(2)若？/-2?+n,求數(shù)歹1?)的前n項和為？分(錯位相減法)2 .設(shè)數(shù)列?!滿足？+3?+32?+?+3?-1?=?,nCN?.3(1)求數(shù)列