光纖通信課程設(shè)計matlab仿真源代碼

1、 光纖通信課程設(shè)計論文題目 光孤子通信系統(tǒng)中自相似 脈沖的研究 姓 名 學(xué) 號 學(xué) 院 專業(yè)班級 光孤子通信系統(tǒng)中自相似脈沖的研究專業(yè)： 姓名： 指導(dǎo)教師： 摘要 在正常色散條件下,超短光脈沖在光纖放大器中可以演化成具有線性啁啾的自相似拋物脈沖,其演化結(jié)果可影響脈沖的壓縮質(zhì)量。本文采用分步傅里葉方法數(shù)值研究了正常色散光纖放大器中,初始輸入脈沖寬度、能量、光纖增益和色散系數(shù)對超短脈沖自相似演化結(jié)果的影響. 發(fā)現(xiàn)色散長度是脈沖能否實現(xiàn)自相似演化的關(guān)鍵因素. 當(dāng)色散長度與光纖長度相近(幾倍) 時,脈沖可以實現(xiàn)自相似演化;兩者相差越大,脈沖的自相似演化程度越差. 增加初始脈沖能量可以加速脈沖的自相似演

2、化,縮短自相似演化的距離. 放大器總增益一定時,增益系數(shù)越大,脈沖受非線性扭曲的影響越大,使脈沖的自相似演化結(jié)果越差。關(guān)鍵詞 增益色散拋物漸近，自相似脈沖，線性啁啾，正常 群素色散緒論1.1 題研究的背景及意義自相似在光纖通訊領(lǐng)域有著很深遠(yuǎn)的意義，具有長途大容量，有效的提高脈沖功率，在傳輸過程中不會產(chǎn)生光波分裂，并且它的脈寬具有良好的線性啁啾，便于優(yōu)質(zhì)脈沖的壓縮1。普通孤子在功率提高時會產(chǎn)生光波分裂而無法獲得高功率傳輸,盡管色散管理孤子可以承受比普通孤子大一個數(shù)量級的非線性相移,但其脈沖能量也只能比孤子能量大同樣的倍數(shù) 而自相似脈沖很好地解決了傳輸中脈沖的強(qiáng)度限制問題,它在高功率傳播時,脈沖形

3、狀不改變(始終保持拋物線形狀) ,具有抵御光波分裂的能力 另外,所有的入射脈沖能量都轉(zhuǎn)化在輸出的自相似脈沖之中,能量沒有損耗 這與眾所知的NL S 方程在沒有增益的情況下的孤子解是不同的,因為在沒有增益的情況下,給定的初始脈沖最終演化成一個具有固定振幅的孤子,其余的能量則以色散波的形式散發(fā)掉此外,自相似脈沖另一個吸引人的特性就是它嚴(yán)格的線性啁啾特性,這種嚴(yán)格線性啁啾導(dǎo)致高效的脈沖壓縮,易于獲得高功率的超短壓縮脈沖特別地,這種脈沖自相似特性只由入射脈沖能量和光纖參量決定,而與初始脈沖形狀無關(guān)所以光纖中脈沖的自相似性特性對于高功率的超短脈沖輸出以及科學(xué)研究等領(lǐng)域具有非常重要的應(yīng)用前景。自相似在復(fù)雜

4、的、非線性中的出現(xiàn)提供了很多顯著的關(guān)于內(nèi)在動態(tài)的信息。在初始條件的影響慢慢減弱且系統(tǒng)仍然遠(yuǎn)離極限狀態(tài)時，自相似特性開始出現(xiàn)。此外，自相似的出現(xiàn)意味著一種可以應(yīng)用于傳輸方程的數(shù)學(xué)分析的內(nèi)在空間和時間次序的存在。例如，對稱縮減技術(shù)有效的減少了系統(tǒng)的維數(shù)。一直以來，自相似特性在物理學(xué)和其它學(xué)科中也有這廣泛的研究和應(yīng)用。比如，流體動力學(xué)、凝聚態(tài)物理、等離子物理、量子場論和生物物理學(xué)等領(lǐng)域。但在光學(xué)中，這種特性研究還處于初級階段。自相似特性在研究光輻射模式的形成、HILL光柵的生長、受激拉曼散射、自寫波導(dǎo)的演化和光波塌陷中都取得了一定的進(jìn)展，而在非線性光纖學(xué)中的研究還處于初級階段。最有意義的工作是關(guān)于拋

5、物線的短脈沖在正群速度色散和強(qiáng)的非線性光纖中的自相似傳輸?shù)睦碚撁枋?。眾所周知，決定脈沖在光纖中傳輸?shù)姆蔷€性Schrodinger方程的解早已經(jīng)得出，因此最近發(fā)現(xiàn)的自相似解是非常值得注意的。光纖中的自相似現(xiàn)象，是指在光纖中的正常群速度色散、自相位調(diào)制和增益的共同作用下，能夠產(chǎn)生能量被顯著放大、具有很強(qiáng)線形啁啾而且其實域特征相似于拋物線形狀的漸進(jìn)形脈沖。特地地，這種自相似脈沖特性只與入射脈沖的初始能量和光纖參數(shù)有關(guān)，與入射脈沖的能量和形狀無關(guān)。與在光纖中傳輸?shù)墓夤伦酉啾容^，自相似脈沖產(chǎn)生于高增益光纖的正色散區(qū)；具有很強(qiáng)的線形啁啾便于脈沖壓縮；高功率傳播時，具體有抵御光波分裂的能力；在一定的傳輸距離

6、之內(nèi)，自相似脈沖對相互作用后，其各自的特性不受影響等等。在光纖通信領(lǐng)域，尋找穩(wěn)定的高功率、高能量和高比特率的超短脈沖，一直是國際上研究的熱點和公館的難點，所以，鑒于這些優(yōu)良的特性，自相似光脈沖的研究立即引起了人們的極大關(guān)注。研究發(fā)現(xiàn)，如果采用色散漸減光纖的被動絕熱放大對自相似激光脈沖進(jìn)行放大和壓縮同步進(jìn)行，可以產(chǎn)生光纖通信系統(tǒng)中需要的高功率、高能量和高質(zhì)量穩(wěn)定的自相似超短脈沖，這是OTDM/DWDM通信系統(tǒng)研究和應(yīng)用領(lǐng)域中具有非常重要關(guān)鍵技術(shù)之一。1.2 本文研究的內(nèi)容本文先簡要介紹光纖及數(shù)值算法，建立自相似演化的數(shù)學(xué)模型，并通過脈沖在恒定增益光纖的數(shù)值模擬，為自相似脈沖的演化特性研究提供依據(jù)

7、。在相同初始能量脈沖的前提下，研究在相同寬度不同形狀(高斯形3和雙曲正割形)的脈沖以及相同形狀(高斯形)不同寬度的脈沖在恒定增益光纖中的傳輸演化過程，證實自相似脈沖演化與初始脈沖形狀和脈寬無關(guān)。重點研究了一種基于正常色散區(qū)間的色散遞減光纖拋物線脈沖產(chǎn)生方案。數(shù)值計算表明:當(dāng)脈沖在位于正常色散遞減光纖中傳輸時,脈沖逐漸演化為拋物線形狀,并且在脈沖的中心形成規(guī)則的線性啁啾,利用此啁啾可實現(xiàn)對脈沖的進(jìn)一步壓縮,得到高質(zhì)量超短脈沖。對傳輸方程作了等效變換，使得脈沖在正常色散遞減光纖中傳輸?shù)韧谠诤愣ǖ恼Ｉ^(qū)間具有增益的光纖中傳輸?shù)那闆r進(jìn)而簡化計算，對真實方程和等效方程分別進(jìn)行了Matlab模擬仿真

8、，并對仿真結(jié)果進(jìn)行了對比驗證，得出此等效法的可行性。2 本課題研究的基礎(chǔ)與方法2.1 光纖放大器的基本特性最簡單的光纖4是由折射率略低于纖芯的包層包裹著纖芯組成的，纖芯、包層折射率分別記做和,這樣的光纖通常稱為折射率階躍光纖，以區(qū)別其他折射率從纖芯到芯邊緣漸漸變小的折射率梯度光纖。r2a2b0纖芯包層涂覆層n1n3n2n折射率徑向距離 圖2-1階躍折射率光纖的橫截面和折射率分布示意圖圖中，2a為纖芯直徑，2b為包層直徑，纖芯和包層的折射率都是常數(shù)，分別為n1和n2。為了滿足光在纖芯內(nèi)的全內(nèi)反射條件，要求。在纖芯和包層分界面處，折射率呈階躍式變化，用數(shù)學(xué)形式表示為 (2-1)圖2-1給出了階躍折

9、射率光纖的橫截面和折射率分布示意。描述光纖特性的兩個參量是纖芯包層相對折射率差，定義為 (2-2)以及由下式定義的歸一化頻率 (2-3)式中，為纖芯半徑，為光波波長。參量V決定了光纖中能容納的模式數(shù)量。在階躍光纖中，如果V<2.405，則它只能容納單模，滿足這個條件的光纖稱為單模光纖。單模光纖與多模光纖的主要區(qū)別在于纖芯半徑，對典型的多模光纖來說，其纖芯半徑=2530；而的典型值約為3的單模光纖，要求<5。包層半徑b的數(shù)值無太嚴(yán)格的限制，只要它大到足以把光纖模式完全封閉在內(nèi)就滿足要求，對單模和多模光纖，其標(biāo)準(zhǔn)值為b=62.5。因為研究非線性效應(yīng)大多用的是單模光纖，除非特別說明，本文

10、所涉及到的光纖均是單模光纖。2.1.1 光纖放大器增益這里重點討論信號放大。從方程 (2-4)可得放大因子，利用方程 (2-5)可將其寫為： (2-6)參量由方程： (2-7)給定，當(dāng)單泵浦波用于參量放大時，=1。增益表達(dá)式(12)與光纖拉曼放大器情況下得到的公式 (2-8)相比，它們之間的主要差別在于，參量增益與相位失配k有關(guān)，若不滿足相位匹配條件，則放大器增益就會很小。在的極限條件下，由方程(2-5)和(2-6)可得 (2-9)若相位失配嚴(yán)重，參量增益相當(dāng)小，且隨泵浦功率以增加。另一方面，若相位嚴(yán)格匹配(k=0),則放大器增益變?yōu)?(2-10)2.1.2 光纖色散光纖中傳輸?shù)墓庑盘柧哂幸欢?/p>

11、的頻譜寬度，也就是說光信號具有許多不同的頻率成分。同時，在多模光纖中，光信號還可能由若干個模式疊加而成，也就是說上述每一個頻率成份還可能由若干個模式分量來構(gòu)成。 在光纖中傳輸?shù)墓庑盘柕牟煌l率成份或不同的模式分量以不同的速度傳播，到達(dá)一定距離后必然產(chǎn)生信號失真，這種現(xiàn)象稱為光纖的色散或彌散。 光纖的色散主要有材料色散、波導(dǎo)色散、偏振模色散和模間色散三種。 這四種色散作用還相互影響，由于材料折射率n是波長（或頻率w）的非線性函數(shù)，d2n/d20，于是不同頻率的光波傳輸?shù)娜核俣炔煌?，所?dǎo)致的色散成為材料色散。 由于導(dǎo)引模的傳播常數(shù)是波長(或頻率w)的非線性函數(shù)，使得該導(dǎo)引模的群速度隨著光波長的變化

12、而變化，所產(chǎn)生的色散成為波導(dǎo)色散（或結(jié)構(gòu)色散）。 偏振模色散指光纖中偏振色散，簡稱 PMD(polarization modedispersion)，它是由于實際的光纖中基模含有兩個相互垂直的偏振模，沿光纖傳播過程中，由于光纖難免受到外部的作用，如溫度和壓力等因素變化或擾動，使得兩模式發(fā)生耦合，并且它們的傳播速度也不盡相同，從而導(dǎo)致光脈沖展寬，引起信號失真。 不同的導(dǎo)引模的群速度不同引起的色散成為模間色散，模間色散只存在與多模光纖中。 色散限制了光纖的帶寬距離乘積值。色散越大，光纖中的帶寬距離乘積越小，在傳輸距離一定（距離由光纖衰減確定）時，帶寬就越小，帶寬的大小決定傳輸信息容量的大小。由于不

13、同頻率分量對應(yīng)于由 (c為光速)給定的不同的脈沖傳輸速度，因而色散在短脈沖傳輸中起關(guān)鍵作用。在數(shù)學(xué)上，光纖的色散效應(yīng)可以通過在中心頻率處展開成模傳輸常數(shù)的泰勒級數(shù)來解決 (2-11)這里 (2-12) 各階色散都和折射率有關(guān)，一階色散和二階色散可由下面式子得到: (2-13) (2-14)式中，是群折射率，是群速度6，脈沖包絡(luò)以群速度運(yùn)動。參量表示群速度色散，和脈沖展寬有關(guān)。這種現(xiàn)象稱群速度色散(GVD),是GVD參量。在波長1.27附近趨于零，對更長的波長則變?yōu)樨?fù)值。=0處的波長稱為零色散波長。然而，還應(yīng)該注意的是，在=附近的脈沖傳輸要求在方程(2-14)中包含三次項，系數(shù)稱為三階色散(TO

14、D)參量。這種高階色散效應(yīng)能在線性和非線性區(qū)引起超短光脈沖的畸變，只有在脈沖波長趨近于且差別只有幾納米時才需要考慮。在光纖光學(xué)的文章中，通常用色散參數(shù)D來代替，它們之間的關(guān)系為: （2-15）波導(dǎo)色散7對D(或)的影響依賴于光纖設(shè)計參數(shù)，如纖芯半徑和纖芯包層折射率差光纖的這種特性可以用來把零色散波長移到有最小損耗的1.55附近。這種色散位移光纖在光通信系統(tǒng)中已有應(yīng)用。根據(jù)在1.55處D是否為零，色散位移光纖可以分別稱為零色散位移光纖和非零色散位移光纖，這些光纖已經(jīng)商用。根據(jù)色散參量或D的符號，光纖中的非線性效應(yīng)8表現(xiàn)出顯著不同的特征。因為若波長<，光纖表現(xiàn)出正常色散(>0，見圖2-

15、4)。在正常色散區(qū)，光脈沖的較高的頻率分量(藍(lán)移)比較低的頻率分量(紅移)傳輸?shù)寐?。相比之下?lt;0的所謂的反常色散區(qū)情況正好相反。由圖2-4可以看出，當(dāng)光波長超過零色散波長()時，石英光纖表現(xiàn)為反常色散。由于在反常色散區(qū)通過色散和非線性效應(yīng)之間平衡，光線能維持光孤子9，使得人們在非線性效應(yīng)得研究中，對反常色散區(qū)特別感興趣。色散的一個重要特性是，由于群速度失配，不同波長下的脈沖在光纖內(nèi)以不同的速度傳輸，這一特性導(dǎo)致了走離效應(yīng)，它涉及到兩個或更多個交疊脈沖的非線性現(xiàn)象的描述中起了重要的作用。更準(zhǔn)確地說，當(dāng)傳輸?shù)幂^快的脈沖完全通過傳輸?shù)幂^慢的脈沖后，兩光脈沖之間的互作用將停止。兩脈沖之間的分離

16、程度由走離參量確定，定義為 (2-16)式中，分別為兩脈沖的中心波長，在這些波長處的由方程(2-14)計算。對脈寬為的脈沖，可以定義走離長度為 (2-17) 對熔石英，在波長=0.532處，利用方程(1.2.10)計算圖2-3中給出的隨的變化。在正常色散區(qū)(>0),長波長脈沖傳輸?shù)每?，反常色散區(qū)的情況恰好相反。例如，=1.06處的一脈沖和=0.532處的一脈沖共同傳輸，它們將以約80ps/m的速度彼此分離開來，對于=20ps的脈沖，其對應(yīng)的走離長度僅為25cm。群速度失配在涉及到交叉相位調(diào)制這種非線性效應(yīng)是起很重要的作用。2.1.3 光纖的非線性特性在高強(qiáng)度電磁場中任何電介質(zhì)對光的響應(yīng)都

17、會變成非線性，光線也不例外。從其基能級看，介質(zhì)非線性響應(yīng)的起因與施加到它上面的場的影響下束縛電子的非諧振運(yùn)動有關(guān)，結(jié)果導(dǎo)致電偶極子的極化強(qiáng)度P對于電場E是非線性的，本文中不作深入研究 2 .2 光纖放大器中自相似拋物脈沖的形成及特點在正常色散光纖放大器中,輸入脈沖的自相似演化可用有增益的非線性薛定諤方程來描述 ， (2-18)式中z 為傳輸距離,為脈沖的慢變包絡(luò), T = t -z/ vg 為相對延時系時間,g為光纖增益系數(shù),2 為二階色散系數(shù), 為非線性系數(shù).在傳輸演化距離(2-17) 式的一個漸近自相似拋物脈沖解 (2-19)在時，為初始輸入脈沖的能量。有效脈沖寬度和相位分別為 (2-20

18、) (2-21)由(4) 式可知,自相似拋物脈沖具有嚴(yán)格的線性啁啾. 另外, 自相似拋物脈沖也具有拋物形狀的頻譜 . 圖1 (a) 給出了(2-18) , (2-19)式的自相似拋物脈沖形狀隨傳輸距離的演化示意圖. 借助圖2-1a) 的結(jié)果和圖2-1b) 所示的嚴(yán)格線性啁啾,同時根據(jù)其是否具有典型的拋物型頻譜來共同判斷光脈沖是否演化成自相似拋物脈沖.圖2-1自相似脈沖的特點(a)寬度、形狀隨傳輸距離的變化(b)脈沖形狀及拋物擬合（圓圈）以及線性啁啾定義入射脈沖在光纖放大器中演化成自相似拋物型脈沖的最短距離為特征距離 (2-22) 式中N為表征脈沖自相似演化發(fā)生的一個參量。V.I.Kruglov

19、等根據(jù)模擬結(jié)果指出當(dāng)N>100時，在由(2-23)式計算得到的特征距離內(nèi)脈沖可以較好地演化成自相似拋物脈沖。2.3輸入脈沖的自相似演化條件當(dāng)傳輸距離足夠時,由(2-18) 式可知,脈沖的自相似演化特征僅與脈沖的初始能量和光纖參數(shù)有關(guān),而與脈沖的初始形狀、寬度無關(guān). 但在實際的放大器中,脈沖演化距離是有限的,必然受上述因素的影響. 為了簡化計算且不失一般性, 將高斯脈沖(0,T)=P0*xp-(T/T0)2/2 作為輸入脈沖,P0 為峰值功率,T0 為脈沖強(qiáng)度的1 / e 寬度. 采用分步傅里葉法 數(shù)值研究各參數(shù)對脈沖自相似演化的影響,分析得到了脈沖自相似演化的條件. 所用增益光纖的相關(guān)參

20、數(shù)為:增益系數(shù)g = 1.9 m- 1 ,色散系數(shù)2=25×10- 3ps2/m , 非線性系數(shù) =5.8×10 - 3 W- 1 .m- 1 . 初始脈沖寬度T0 分別為0.2ps,0.8 ps ,10ps.2.4求解非線性薛定諤方程的分步傅立葉方法一般來說，沿光纖的長度方向，色散和非線性是同時作用的，分步傅立葉方法11通過假定在傳輸過程中，光場每通過一小段距離h色散和非線性效應(yīng)可分別作用而得到近似的結(jié)果，步長h越小，得到的結(jié)果就越精確。第一步僅有非線性作用，第二步僅有色散作用，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 (2-23)一般分步傅立葉方法能夠精確到分步步長h的二階項。如果讓非線性效應(yīng)包

21、含在小區(qū)間的中間而不是邊界，即由下式代替(2-22) (2-24)那么上述方程中指數(shù)算符的含有了對稱形式，該方法稱為對稱分步傅立葉方法。對稱形式的最重要的優(yōu)點是主要誤差項來自方程中的雙對易子，且它是步長h的三階項，可以改善計算精度。本文中采用的正是這種方法。分步傅立葉方法的執(zhí)行相對來說是相當(dāng)簡捷的，如圖2所示，光纖長度被分成大量的區(qū)間，而這些小區(qū)間并不需要等距。光脈沖從一個區(qū)間到另一個區(qū)間傳輸。更準(zhǔn)確的說，光場在最初的傳輸過程中只與色散有關(guān)；在z+h/2處，光場應(yīng)乘以一非線性項，以代表整個區(qū)間h內(nèi)的非線性效應(yīng)；最后，光場在剩下的h/2區(qū)間傳輸，只與色散有關(guān)。實際上，假定非線性效應(yīng)只集中在每個區(qū)

22、間的中間（圖2-2中的虛線）。只考慮色散只考慮非線性 圖2-2用于數(shù)值模擬的分步傅里葉方法示意圖 分步傅立葉方法已廣泛應(yīng)用于各種光學(xué)問題，包括:大氣中的光傳輸，折射率梯度光纖，半導(dǎo)體激光器，非穩(wěn)腔及波導(dǎo)禍合器等。當(dāng)它應(yīng)用到連續(xù)波在非線性介質(zhì)中傳輸情形時，這里衍射代替了色散，常被稱為光束傳輸方法。在光纖中脈沖傳輸?shù)奶厥鈼l件下，分步傅立葉方法最早是在1973年開始應(yīng)用的由于它比大多數(shù)有限差分法見效快，已得到廣泛應(yīng)用。這種方法相對于大多數(shù)有限差分法有較快的速度，部分原因是采用了有限傅立葉變換（FFT)算法。在推導(dǎo)非線性薛定愕方程時，一個基本的近似是忽略了對傳輸距離z的二階導(dǎo)數(shù)，即所謂的慢變振幅近似，

23、在光束傳輸情形中，就是人們熟知的旁軸近似。對光纖中脈沖傳輸用到的非線性薛定愕方程有幾條固有的限制，慢變振幅近似上面已經(jīng)提到，另一個則是忽略了所有的反向波傳輸。如果光纖內(nèi)裝有折射率光柵，由于布拉格衍射，一部分脈沖能量將被反射回去，這樣的問題就需要同時考慮前向和反向波的傳輸。其它的限制主要與忽略了電磁場的矢量特性有關(guān)，所以偏振效應(yīng)基本上完全忽略。如果光纖中存在雙折射，要包括雙折射效應(yīng)則需要考慮電場和磁場矢量的所有分量。2.41 光譜/時間窗口的選取在光譜/時間12窗口的選取上，必須選擇合適的尺度以求獲得足夠的精度并保證較快的計算速度。為了方便計算，F(xiàn)FT要求電場的取樣點，并要求具有足夠的時間分辨率

24、，以避免混淆和重疊誤差。這個足夠的取樣精度由Nyquist取樣法則給出，即要求最小取樣頻率是有效振幅正弦成分的最高頻率的兩倍。例如，對于一個高斯脈沖E(t)而言，假設(shè)其半高寬為100fs(譜寬4.41THz)，那么估計的最高有效頻率成分為或者17.64THZ，根據(jù)Nyquist取樣法則的取樣頻率就必須到達(dá)。典型的取樣頻率是取4倍的Nyquist取樣頻率，也就是或者。如果時域精度次大于Nyquist取樣頻率，那么在頻域就會出現(xiàn)頻率成分混淆現(xiàn)象，超出窗口的頻率成分會疊加在窗口內(nèi)的頻率成分上，形成不正確的光譜。時間窗口的寬度需要寬到脈沖傳輸?shù)焦饫w輸出之后的展寬寬度，當(dāng)然光譜窗口也是如此。在有些問題中

25、，一部分脈沖能量可能散開得很快，很難避免它打到窗口的邊界上，這就可能導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定，因為到達(dá)窗口一邊的能量會從窗口的另一邊自動進(jìn)入(FFT算法的使用隱含著周期性邊界條件)。通常使用一種“吸收窗口”，人為地吸收掉輻射到窗口邊界上的能量，盡管這種方法并不保持脈沖能量。一般來說，只要小心使用，分步傅立葉方法是一個很好的工具。2.4.2 選擇步長 雖然用分步傅立葉法運(yùn)算相對較簡捷，但需要小心選擇:和了的步長，以保證精度要求。一般需要通過計算守恒值，如脈沖能量(無吸收情況)，來監(jiān)視其精度。最佳步長的選擇依賴于問題的復(fù)雜程度，雖然有幾條指導(dǎo)原則，但有時仍需要通過減小步長來保證數(shù)值模擬的精度。在步長的選擇上

26、，唯一的參考應(yīng)該就是色散長度和非線性長度了。對于給定的光纖，首先需要計算出色散長度和非線性長度，只有步長同時小于這兩個長度，分步傅立葉法的計算結(jié)果才有意義。3 自相似脈沖的演化特性3.1 恒定增益光纖中自相似脈沖演化數(shù)學(xué)模型 光脈沖在含有增益的光纖中傳輸時所滿足的NLSE為 （3-1）方程中，為脈沖在運(yùn)動坐標(biāo)系中的慢變包絡(luò)振幅，是光纖二階色散系數(shù)，是光纖非線性系數(shù)，g(z)上增益系數(shù)。若g(z)=0，則方程（3-1）可以用逆散射方法，需要用李氏代數(shù)對稱約簡法求解。 對于恒定增益的情形、即為了尋找式(1)的自相似解，設(shè) (3-2)其中，A(z,T)為自相似脈沖的振幅函數(shù)，為相位函數(shù)，同時定義脈沖

27、的能量且滿足，其中。將方程(3-2)代入式(3-1),并假設(shè) (3-3)   (3-4)式(3)中的定義為自相似變量 (3-5)其中f(z)描述的是脈沖的峰值振幅隨傳播距離z的變化；是歸一化的無量綱函數(shù)，用來描述脈沖振幅演化的瞬時包絡(luò)；相位方程(4)中的和C(z)分別是脈沖隨傳播距離變化的相位補(bǔ)償函數(shù)和啁啾因子。通過以上變換可得F，f,和C的耦合方程 (3-6) (3-7)由的物理意義可知，在方程(3-7)中，當(dāng)時，必有0成立。經(jīng)過一系列復(fù)雜的運(yùn)算解出f(z)、()、和C(z)后，得A(z,T)和為 (3-8) (3-9) 方程(3-8)和(3-9)是增益NLSE的自相似拋物型脈沖解

28、的典型表達(dá)式。其中，當(dāng)，A(z,T)=0， (3-10)定義為自相似拋物型脈沖的有效寬度。 (3-11)定義為脈沖振幅。(3-8)式表明，自相似脈沖的形狀只與入射脈沖的起始能量有關(guān)而與入射脈沖的形狀和譜寬無關(guān)。3.2 恒定增益光纖參量及算法程序 采用分布傅立葉法數(shù)值研究各參數(shù)對脈沖自相似演化的影響，分析得到自相似脈沖演化的條件。所用增益光纖參量為：增益系數(shù)，色散系數(shù)，非線性系數(shù)。由2-5式可以算出自相似演化的特征距離為,本文選取z=0m-6m作為演化距離.為典型起見，本文主要研究：在能量相同取E=12pJ，高斯型脈沖分別在脈寬為0.4ps、4ps；脈寬為0.4ps的高斯型脈沖、雙曲正割型脈沖在

29、恒定增益光纖中的自相似演化。本文通過Matlab17進(jìn)行模擬，程序中規(guī)定了光纖的物理參數(shù)和輸入脈沖的參數(shù)如附錄程序流程圖如下（詳細(xì)程序見附錄）：開始結(jié)束定義事件窗口和頻率窗口設(shè)置光纖物理參數(shù)定義輸入信號輸入模擬的距離和步長采用分步傅里葉算法求出輸出光波的強(qiáng)度和光譜強(qiáng)度畫出輸出時域波形 結(jié)束開始是否完成循環(huán)計算光信號強(qiáng)度計算整個步長h的非線性效應(yīng)后的 信號強(qiáng)度對稱傅里葉變換求出頻域信號考慮色散作用對稱傅里葉變換求出時域信號是否圖3-1 (a)總程序流程圖，（b）分布傅立葉算法的子程序流程圖3.3 自相似脈沖恒定增益光纖中的演化3.3.1 不同脈寬的高斯型脈沖自相似演化 為了典型起見，選取最具代表

30、性的參數(shù)：相同的脈沖形狀即高斯型，分別采用0.4ps的脈沖寬度和4ps的脈沖寬度來進(jìn)行模擬仿真。圖3-2高斯脈沖的演化，取0.4ps的脈寬如圖所示從里到外分別是1m、2m、3m、4m、5m、6m演化的過程，1m的是最里面的那根表示初始脈沖，經(jīng)過6m的演化距離，形狀逐步擬合成一樣，而且都為拋物形。他們的脈沖形狀因子分別為n=1； n=2；n=3；n=4；n=5；n=6；由此可見當(dāng)n=4時已經(jīng)演化為拋物線形。 圖3-2 0.4ps高斯脈沖的演化最外面的為6m最里面的為1m 圖3-3高斯脈沖的演化，取4ps的脈寬如圖所示從里到外分別是1m、2m、3m、4m、5m、6m演化的過程。 1m的是最里面的那

31、根表示初始脈沖，經(jīng)過6m的演化距離，形狀逐步演化成拋物線形。其分別對應(yīng)的脈沖形狀因子為n=1； n=2；n=3；n=4；n=5；n=6；由此可見當(dāng)n=56m中間某值時會演化為拋物形。 經(jīng)過在不同脈沖寬度0.4ps和0.4ps情況下分別演化為自相似拋物形，證實了在能量一定的情況下，不同脈沖寬度的脈沖最終演化為自相似拋物形脈沖。證實了脈沖的自相似演化與初始脈沖寬度無關(guān) 。 圖3-3 為4ps高斯脈沖的演化最外面的為6m最里面的為1m3.4 脈沖自相似演化的漸進(jìn)性在3.1章里提及有公式推導(dǎo)出自相似脈沖與脈沖形狀和頻譜脈寬無關(guān)，為了進(jìn)一步驗證結(jié)論的正確性，這里重點研究自相似演化的漸進(jìn)性，也稱自相似演化

32、的極限性。自相似的產(chǎn)生不僅與增益光纖的參數(shù)有關(guān)，而且與傳輸距離有關(guān)，在傳輸距離z小于4米時，自相似脈沖無法形成，只有到4米時才能初步形成自相似脈沖。所以本章研究的是在恒定光纖中即參量一定的情況下，傳輸距離從初始脈沖到形成自相似脈沖過程中功率和脈寬逐漸趨近相等，由此驗證脈沖自相似演化的漸進(jìn)性。3.4.1 脈沖演化的峰值漸進(jìn)性分析根據(jù)3.1節(jié)自相似脈沖演化的數(shù)學(xué)模型中公式自相似的有效寬度： (3-12)可得自相似的振幅： (3-13)由 (3-12)式可以看出與脈寬無關(guān)，在光纖參量一定時，只受傳輸距離z的影響。已知光纖參量：增益系數(shù)，色散系數(shù)，非線性系數(shù)。又有(3)，分別取z(1)=1m;z(2)

33、=2m;z(3)=3;z(4)=4m;z(5)=5m;z(6)=6m。由公式(2)和(3)得(z)=48.2080，171.0759,607.2331, 2.1550e3, 7.6474e3,2.7134e4,9.6329e4;單位(w)所以有：(z)/(0)=0.8609, 3.0549, 10.8434, 38.4821,136.5607, 484.5357, 1.7202e3。0.3ps_gaus模擬數(shù)據(jù)：(z)/(0) =1.0；2.866；8.883；32.73；127.3；485.9045；17653ps_gaus的模擬數(shù)據(jù)：(z)/(0)=0.988；6.65；44.13；275

34、.73；141.99；561.145；1790.3.綜合上面的數(shù)據(jù)作表如下表一：1m-6m理論值及輸入脈沖演化的峰值功率標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù) z(m)輸入脈沖1m2m3m4m5m6m理論值3.054910.843438.4821136.5607484.53571720.20.3ps 高斯型2.8668.88332.73127.3485.904517653ps高斯型6.6544.13275.73141.99561.1451790.3 由上面給的數(shù)據(jù)可以畫出自相似演化的漸進(jìn)圖圖3-4中紅線為理論值藍(lán)線為0.3ps的高斯脈沖黑線為3ps的高斯脈沖 由上圖可以看出當(dāng)z=6m時理論值的峰值功率和0.3ps，3ps

35、的高斯脈沖的峰值功率非常相近 由于選擇的步長對ssf法的收斂有影響，存在一定的誤差且小于4%。證實了經(jīng)過演化脈沖的數(shù)值結(jié)果都趨近理論解1.7202e3。圖3-5為峰值的理論值和數(shù)值結(jié)果（0.3ps高斯形、3ps脈寬高斯形）的曲線圖，雖然存在誤差，但最終就逼近一個值，證實了自相似演化的漸進(jìn)性。3.4.2 脈沖演化的脈寬漸進(jìn)性分析由3.1節(jié)中給出的公式 (3-14)和公式 (3-15)計算得出理論解：(z)=0.3517；0.6626；1.2482；2.3515；4.429；8.3454.單位ps; (0.3ps_gaus) (z)=0.83；1.45；2.25；3.08；4.53；8.26單位p

36、s(3ps_gaus) (z)=2.95；3.75；4.3；5.25；6.2；8.388單位ps(z)=0.3517；0.6626；1.2482；2.3515；4.429.單位ps; z=1；2；3；4；5；6單位m。綜合以上數(shù)據(jù)作出表格表二：(1m-6m）的理論值及輸入脈沖演化的脈寬數(shù)據(jù)；單位:psz(m)輸入脈沖1m2m3m4m5m6m理論值0.35170.66261.24822.35154.4298.34540.3ps高斯型0.831.452.253.084.538.263ps高斯型2.953.754.35.256.28.388作出的漸進(jìn)圖： 圖3-5 黑線為3ps的高斯型，紅線為0.3

37、ps的高斯型，藍(lán)線為理論值如圖3-5示，有效脈寬的理論值(實線)和數(shù)值(虛線)結(jié)果（其中有0.3ps高斯形、3ps脈寬高斯形）隨傳輸距離的變化曲線從起點不同經(jīng)過1m到6m的演化過程，慢慢趨近理論值，證實了自相似演化過程實際是一種極限的過程，由不同形狀和脈寬的脈沖逐漸演化成自相似脈沖，理論與數(shù)值的結(jié)合，驗證了自相似演化的漸進(jìn)性。3.5 自相似脈沖在色散遞減光纖中的演化近年來,采用自相似法研究脈沖在正常色散區(qū)間具有增益的光纖中傳輸受到廣泛關(guān)注,多采用放大器來實現(xiàn)脈沖在具有增益的正常色散光纖中傳輸來獲取線性啁啾拋物線脈沖,然而采用放大器就不可避免的伴隨著自發(fā)輻射而影響系統(tǒng)質(zhì)量。為克服以上不足之處,此

38、處提出一種基于正常色散區(qū)間的色散遞減光纖的線性啁啾拋物線脈沖產(chǎn)生方案。數(shù)值計算表明:當(dāng)脈沖在位于正常色散遞減光纖中傳輸時,脈沖演化為拋物線形狀,并且在脈沖的中心形成規(guī)則的線性啁啾,利用此啁啾可實現(xiàn)對脈沖的進(jìn)一步壓縮,得到高質(zhì)量超短脈沖16。3.5.1 脈沖演化的理論分析正常色散遞減光纖為群速度色散系數(shù)( > 0)隨著傳輸距離的不斷增加而減小的一種光纖,脈沖在正常色散遞減光纖中傳輸可用如下的非線性薛定諤方程來描述: (3-16)式中A ( z, T)是脈沖包絡(luò)的慢變振幅,為非線性系數(shù),為色散遞減光纖的初始群速度色散系數(shù),為表征群速度色散變換快慢的歸一化系數(shù), 0<<1。此處我們

39、假定光纖的損耗、高階色散及高階非線性效應(yīng)可以忽略,考慮到本文所用的ND-DDF長度較短,且輸入脈寬在皮秒量級,因此上述假定是合理的。引入一個坐標(biāo)變換,，則方程(3-12)可化為如下的形式： (3-17)從上式可以發(fā)現(xiàn)方程由具有變化群速度色散系數(shù)、恒定非線性系數(shù)形式而轉(zhuǎn)化成具有變非線性系數(shù)、恒定群速度色散的形式。令代換,則: (3-18)其中， (3-19)對于色散遞減光纖, >0。從(3-15)式可知,脈沖在正常色散遞減光纖中傳輸?shù)韧谠诰哂泻愣ǖ恼Ｉ?、具有增益為的光纖中傳輸?shù)那闆r。此處采用色散遞減光纖的色散隨位置(z)的變化關(guān)系為： (3-20)此時的增益系數(shù)變?yōu)槌?shù),即(與無關(guān)的

40、常數(shù))。根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn),脈沖在具有恒定的正常色散、具有一定增益的光纖中傳輸時,其逐漸演化成的具有自相似性線性啁啾14拋物線脈沖,可以作為NLSE的漸進(jìn)解。通過采用此種辦法,可見得到脈沖在正常色散遞減光纖中傳輸?shù)臐u進(jìn)解： E0 為初始入射脈沖的能量。從下式可以得出,在脈沖在具有雙曲漸減型正常色散漸減光纖中傳輸時,無論脈沖的入射形狀如何都將逐步演化為具有線性增益的拋物線脈沖。 (3-21) 其中，。假設(shè)演變過程中并沒有任何形式的色散波,即脈沖演變過程保持能量守恒。即： (3-22)同時，還可以得出色散脈沖的中心部分具有規(guī)則的線性啁啾： (3-23)其中為歸一化的群速度色散變化系數(shù)。因此,當(dāng)給定以后,

41、脈沖中心附近的頻率啁啾只由群速度色散變化系數(shù)決定,大的色散變化系數(shù)能夠產(chǎn)生大的正啁啾。具有正啁啾的光脈沖可以利用反常色散的SMF(自相位調(diào)制)對脈沖進(jìn)行壓縮。對于給定的入射脈沖,通過數(shù)值求解(3-12)式可以得到脈沖在ND-DDF中的演化情況和經(jīng)ND-DDF后的出射脈沖波形。此處采用分步傅立葉方法數(shù)值研究了半值位全寬為=1.0ps，初始入射能量為=40pJ 的高斯脈沖在正常色散遞減光纖中傳輸過程。所用的參數(shù)為：W /m， , = 0.028,此時的色散長度為= 288m, = 8m。圖4-5(a)、圖4-5(b)分別給出了脈沖在ND-DDF中的演化過程和經(jīng)ND-DDF后的出射脈沖波形和啁啾圖。

42、從圖中可以看出脈沖經(jīng)過ND-DDF后脈沖將得到展寬,脈沖的中央形成了規(guī)則的線性啁啾。這是因為:在正常色散遞減光纖中,非線性系數(shù)不變而群速度色散系數(shù)隨距離的增加而不斷減小,這就使自相位調(diào)制(SPM)作用得到加強(qiáng),而SPM在脈沖中心形成近似為線性的正啁啾;正啁啾使脈沖的前后沿發(fā)生紅移和藍(lán)移,而在正常色散區(qū),紅移部分(脈沖的前沿)傳播速度快,藍(lán)移部分(脈沖的后沿)傳播速度慢,這樣就造成脈沖展寬。圖3-6 （a) 脈沖在ND-DDF中演化為拋物形的過程從圖3-6(b)中不僅可見出射脈沖在脈沖的中央形成了規(guī)則的線性啁啾,而且出射脈沖已具有拋物形形狀,可見采用脈沖在正常色散遞減光纖中傳輸可以形成拋物線脈沖

43、,其已基本等同于脈沖在正常色散區(qū)間具有增益的光纖中的傳輸情況。這和前面的理論分析結(jié)果是一致的。從ND-DDF出射的光脈沖,由于脈沖中心具有規(guī)則的線性正啁啾,只需采用具有負(fù)色散的單模光纖對出設(shè)脈沖進(jìn)行消啁啾處理就可以得到朝段光脈沖。這是由于:當(dāng)脈沖在單模光纖中傳輸時,色散致啁啾與從ND-DDF中出射的脈沖的啁啾相反,因而使脈沖的啁啾減小,從而達(dá)到壓縮脈沖16的效果,此處只需合理選擇單模光纖的長度是獲得較好壓縮效果。圖3-6(b) 脈沖經(jīng)ND-DDF后的波形(a)和啁啾(b)3.5.2 脈沖形狀因子的介紹光纖中的自相似現(xiàn)象是在正常群速度色散( GVD) 、自相位調(diào)制(SPM) 和增益的共同作用下所

44、產(chǎn)生的高能量、帶有線性啁啾且相似于拋物線形狀的漸近形脈沖。特別是自相似脈沖具有能抵御光波分裂,脈沖對相互作用不受影響,其演化只與入射脈沖的初始能量和光纖參數(shù)有關(guān),而與入射脈沖形狀無關(guān)等顯著特點,成為光纖通信領(lǐng)域研究的熱點和難點。自相似脈沖在ND-DDF產(chǎn)生的過程中，為了對脈沖的形狀給出定性的分析，下面引入脈沖形狀因子K12。K值定義如下： (3-24) 主要參考量有：高斯形：K=0.0796 拋物形：K=0.0720本文研究自相似脈沖在ND-DDF中的產(chǎn)生過程，即當(dāng)任何形狀的初始脈沖(這里以高斯形為例)在位于正常色散遞減光纖中傳輸時,最終脈沖演化為拋物線形狀。由于脈沖形狀因子的引入，此演化過程

45、也可以認(rèn)為是K值由0.0796漸漸變化為0.0720的過程，K值越接近0.0720，則自相似演化為的拋物形越理想。 根據(jù)附錄中的Matlab程序，已知主要參數(shù)如下：半值位全寬為=1.0ps，初始入射能量為=40pJ 的高斯脈沖在正常色散遞減光纖中傳輸過程。所用光纖參數(shù)為：W/m， 。由真實方程 (3-17)，分別取z(1)=1；z(2)=50；z(3)=100；z(4)=200；z(5)=300；z(6)=400；z(7)=500；z(8)=600；z(9)=800；z(10)=1000；又由公式(3-24)的K值計算式，得K(1)=0.0796；K(2)=0.0731；K(3)=0.0729

46、；K(4)=0.0728；K(5)=0.0724；K(6)=0.0722；K(7)=0.0722；K(8)=0.0722；K(9)=0.0723；K(10)=0.0723；綜合上面的數(shù)據(jù)作表如下(1m-1000m高斯形脈沖在正常色散遞減光纖中傳輸時的K值(真實方程)：表3-1 高斯形脈沖在ND-DDF過程中K值變化情況(真實方程)z1501002003004005006008001000K0.07960.07310.07290.07280.07240.07220.07220.07220.07230.0723設(shè)增益系數(shù)，又由等效方程 (3-14)，由得，及z的取值，相應(yīng)地取(1)=1；(2)=3

47、1.27；(3)=47.68；(4)=67.40；(5)=80.03；(6)=89.34；(7)=96.72；(8)=102.8；(9)=112.6；(10)=120.3；又由公式(3-20)的K值計算式，得K(1)=0.0796；K(2)=0.0731；K(3)=0.0728；K(4)=0.0728；K(5)=0.0724；K(6)=0.0722；K(7)=0.0722；K(8)=0.0722；K(9)=0.0723；K(10)=0.0723；綜合上面的數(shù)據(jù)作表格如下(1m-1000m高斯形脈沖在正常色散遞減光纖中傳輸時的K值(等效方程)：表3-2 高斯形脈沖在ND-DDF過程中K值變化情況

48、(等效方程)131.2747.6867.4080.0389.3496.72102.8112.6120.3K0.07960.07310.07280.07280.07240.07220.07220.07220.07230.0723由上面給的數(shù)據(jù)可以畫出自相似演化K值的漸進(jìn)圖：圖3-7 脈沖經(jīng)過ND - DDF后K值的漸進(jìn)圖(橫坐標(biāo)單位為:米)綜合上述結(jié)果，由公式3-18可得，K值雖然由能量定義，但在脈沖演化過程中仍是一個不斷變化的值，因為它描述的是脈沖的形狀，當(dāng)然由K值可以間接反映脈沖經(jīng)過NDDDF演化的過程中，脈沖的形狀隨傳輸距離變化的情況。K值越接近0.0720，則自相似演化為的拋物形越理想，

49、但模擬過程中K值最終穩(wěn)定在0.0723(大約z=650以后)，在z=400左右得到最小值0.0722，雖然這與理情況下K=0.0720是有誤差的，但在誤差允許的范圍之內(nèi)，對比以上模擬結(jié)果可以得到等效方程可以代替實際方程進(jìn)行數(shù)值解的求解，進(jìn)而簡化脈沖經(jīng)過NDDDF演化的數(shù)值解求解。3.5.3 對傳輸方程的Matlab仿真本小結(jié)主要分析了脈沖在ND-DDF過程中17，通過Matlab模擬仿真脈沖功率峰值演化的漸進(jìn)性。由真實方程和等效方程分別得到，對傳輸方程作了等效變換，使得脈沖在正常色散遞減光纖中傳輸?shù)韧谠诤愣ǖ恼Ｉ^(qū)間具有增益的光纖中傳輸?shù)那闆r進(jìn)而簡化計算，對真實方程和等效方程分別進(jìn)行了M

50、atlab模擬仿真，并對仿真結(jié)果進(jìn)行了對比驗證，得出此等效法的可行性。在進(jìn)行對比驗證等效方程代替真實方程的可行性。由 (3-12)式可以看出與脈寬無關(guān)，在光纖參量一定時，只受傳輸距離z的影響。已知主要參數(shù)如下：半值位全寬為=1.0ps，初始入射能量為=40pJ 的高斯脈沖在正常色散遞減光纖中傳輸過程。所用光纖參數(shù)為：W /m， 。由得，(0)=37.575W。分別取z(1)=1m；z(2)=50m；z(3)=100m；z(4)=200m；z(5)=300m；z(6)=400m；z(7)=500m；z(8)=600m；z(9)=800m；z(10)=1000m。又有，得P(1)=37.57；P(

51、2)=26.53；P(3)=20.10；P(4)=14.77；P(5)=12.36；P(6)=10.90；P(7)=9.920；P(8)=9.168；P(9)=8.154；P(10)=7.440；單位：W。由(z)/(0)得，歸一化頻率分別為：1，0.706，0.535，0.393，0.329，0.290，0.264，0.244，0.217，0.198。綜合上面的數(shù)據(jù)作表格如下(1m-1000m高斯形脈沖在正常色散遞減光纖中傳輸時(真實方程)：表3-3 高斯形脈沖在ND-DDF過程中峰值功率變化情況(真實方程)z150100200300400500600800100037.5726.5320.

52、1014.7712.3610.909.9209.1688.1547.44010.7060.5350.3930.3290.2900.2640.2440.2170.198同時由Matlab仿真可以得到脈沖功率峰值演化的漸進(jìn)圖如下(真實方程)： 圖3-8 高斯形脈沖在ND-DDF過程中峰值功率演化圖(真實方程)同理，設(shè)增益系數(shù)，由得，及z的取值，相應(yīng)地取(1)=1；(2)=31.27；(3)=47.68；(4)=67.40；(5)=80.03；(6)=89.34；(7)=96.72；(8)=102.8；(9)=112.6；(10)=120.3。又有，得P(1)=38.62；P(2)=63.35；P(3)=75.60；P(4)=96.83；P(5)=115.8；P(6)=132.2；P(7)=146.9；P(8)=161.1；P(9)=188.7；P(10)=214.7；單位：W。由(z)/(0)得，歸一化頻率分別為：1.208，1.686，2.012，2.577，3.083，3.517，3.909，4.288，5.023，5.714。綜合上面的數(shù)據(jù)作表格如下(1m-1000m高斯形脈沖在正常色散