鴿巢問題(公開課)

1、鴿巢問題（1）數(shù)學(xué)廣角數(shù)學(xué)廣角我給大家表演一個我給大家表演一個“魔術(shù)魔術(shù)”。一副牌，取出大小王，還剩一副牌，取出大小王，還剩52張，你們張，你們5人每人隨意抽一人每人隨意抽一張，我知道至少有張，我知道至少有2張牌是同張牌是同花色的。相信嗎？花色的。相信嗎？（一）例（一）例1把把4支鉛筆放進支鉛筆放進3個筆筒中，個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒不管怎么放，總有一個筆筒里至少有里至少有2支鉛筆。支鉛筆。為什么呢？為什么呢？“總有總有”和和“至少至少”是什么意思？是什么意思？綠色圃中小學(xué)教育網(wǎng)綠色圃中小學(xué)教育網(wǎng)http:/http:/www.Lwww.L 綠色圃中學(xué)資源網(wǎng)綠色圃中學(xué)資源網(wǎng)http:

2、/http:/cz.Lcz.L綠色圃中小學(xué)教育網(wǎng)綠色圃中小學(xué)教育網(wǎng)http:/http:/www.Lwww.L 綠色圃中學(xué)資源網(wǎng)綠色圃中學(xué)資源網(wǎng)http:/http:/cz.Lcz.L把把4 4支筆放進支筆放進3 3個筆筒里，可以怎么放？個筆筒里，可以怎么放？有幾種放法？有幾種放法？擺法擺法1：擺法擺法2：擺法擺法3：擺法擺法4：不管怎么放，不管怎么放，總有總有一個筆筒一個筆筒至少至少放進放進 2 支筆支筆可以把可以把4 4分解成三個數(shù)分解成三個數(shù), ,共有四種情況：共有四種情況：(4,0,0)(4,0,0)(3,1,0)(3,1,0)(2,2,0)(2,2,0)(2,1,1)(2,1,1)每

3、一種結(jié)果的三個數(shù)中每一種結(jié)果的三個數(shù)中, ,至少有一個至少有一個數(shù)是不小于數(shù)是不小于2 2的。的。 假設(shè)先平均每個筆筒里放假設(shè)先平均每個筆筒里放1 1支鉛支鉛筆。那么筆。那么,3,3個筆筒里就放了個筆筒里就放了3 3支鉛筆。支鉛筆。還剩下還剩下1 1支鉛筆支鉛筆, ,放進任意一個筆筒里放進任意一個筆筒里, ,那么這個筆筒里就有那么這個筆筒里就有2 2支鉛筆。支鉛筆。發(fā)現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)： 把把4 4支筆放進支筆放進3 3個筆筒里，不管怎么個筆筒里，不管怎么放，放，總有總有一個筆筒里一個筆筒里至少至少有有2 2支筆。支筆。1 1、如果把、如果把5 5支筆放進支筆放進4 4個筆筒里呢？個筆筒里呢？我發(fā)現(xiàn)：筆

4、的數(shù)量比筆筒的數(shù)量我發(fā)現(xiàn)：筆的數(shù)量比筆筒的數(shù)量多多1 1時時，總有總有一個筆筒里一個筆筒里至少至少有有2 2支筆。支筆。2 2、把、把6 6支筆放進支筆放進5 5個筆筒里呢？個筆筒里呢？3 3、把、把7 7支筆放進支筆放進6 6個筆筒里呢？個筆筒里呢？4 4、把、把8 8支筆放進支筆放進7 7個筆筒里呢？個筆筒里呢？5 5、把、把9 9支筆放進支筆放進8 8個筆筒里呢？個筆筒里呢？6 6、把、把100100支筆放進支筆放進9999個筆筒里呢？個筆筒里呢？ “鴿巢問題鴿巢問題”又稱又稱“抽屜原理抽屜原理”，最先是由最先是由1919世紀的德國數(shù)學(xué)家世紀的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出來的，所以又稱狄利克雷

5、提出來的，所以又稱“狄利克雷原理狄利克雷原理”。抽屜原理抽屜原理的應(yīng)的應(yīng)用是千變?nèi)f化的，用它可以解決許用是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)些令人驚異的結(jié)果。果。 狄利克雷狄利克雷（18051859）數(shù)學(xué)小知識：鴿巢問題的由來。數(shù)學(xué)小知識：鴿巢問題的由來。小結(jié)：小結(jié)： 上面我們所證明的數(shù)學(xué)原理就是最簡單的“抽屜原理”,可以概括為:把把m m個物體任意放到個物體任意放到m-1m-1個抽屜個抽屜里里, ,那么總有一個抽屜中那么總有一個抽屜中至少至少放放進了進了2 2個物體。個物體。隨堂練習(xí)：2、任意一個11位數(shù)中，至少有2個數(shù)位上的

6、數(shù)字是相同的。為什么？1、在班上任意選3人，他們中至少有2個人性別相同。為什么？（物體數(shù)是物體數(shù)是3 3，抽屜數(shù)是，抽屜數(shù)是2 2，把，把3 3人對到人對到2 2種性別里，那么總有一種性別種性別里，那么總有一種性別至少至少有有2 2個人。個人。）（物體數(shù)是物體數(shù)是1111，抽屜數(shù)是，抽屜數(shù)是1010，把，把1111個數(shù)位對應(yīng)到個數(shù)位對應(yīng)到1010種數(shù)字里，那么總有一種種數(shù)字里，那么總有一種數(shù)字數(shù)字至少至少出現(xiàn)在出現(xiàn)在2 2個數(shù)位上。個數(shù)位上。）3、隨意找 13 位老師，他們中至少有 2 個人屬相相同。為什么？（物體數(shù)是（物體數(shù)是1313，抽屜數(shù)是，抽屜數(shù)是1212，把，把1313位老師對應(yīng)到位

7、老師對應(yīng)到1212個生肖屬相里，那么總有個生肖屬相里，那么總有一個生肖屬相一個生肖屬相至少至少有有2 2位老師。）位老師。）追問追問: :如果要放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多如果要放的鉛筆數(shù)比筆筒的數(shù)量多2,2,多多3,3,多多4 4呢呢? ?把把7本書放進本書放進3個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜里個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進至少放進3本書。為什么？本書。為什么？ （二）例（二）例2我隨便放放看，我隨便放放看，一個抽屜一個抽屜1本，本，一個抽屜一個抽屜2本，本，一個抽屜一個抽屜4本。本。如果每個抽屜最多放如果每個抽屜最多放2本，那本，那么么3個抽屜最多放個抽屜最多放6本，可題目本，可

8、題目要求放的是要求放的是7本書。所以本書。所以兩種放法都有一個兩種放法都有一個抽屜放了抽屜放了3本或多本或多于于3本，所以本，所以獨立思考、小組交流獨立思考、小組交流第一個抽屜第一個抽屜7 76 65 54 43 33 3第二個抽屜第二個抽屜0 01 11 11 11 12 2第三個抽屜第三個抽屜0 00 01 12 23 32 2 列列舉舉法法數(shù)數(shù)的的分分解解法法通過操作通過操作, ,我們把我們把7 7本書放進本書放進3 3個抽屜個抽屜, ,總有一個抽屜至少放進總有一個抽屜至少放進3 3本書。本書。把把7 7分解成三個數(shù)：分解成三個數(shù)： (7,0,0),(6,1,0),(5,1,1),(4,

9、1,2),(3,1,3) (7,0,0),(6,1,0),(5,1,1),(4,1,2),(3,1,3), ,(3,2,2)(3,2,2)這樣六種情況。這樣六種情況。在任何一種情況中在任何一種情況中, ,總有一個數(shù)不小于總有一個數(shù)不小于3 3。通過上面兩種方法通過上面兩種方法, ,我們知道了把我們知道了把7 7本書放進本書放進3 3個抽屜個抽屜, ,不管怎么放不管怎么放, ,總總有有1 1個抽屜里至少放進個抽屜里至少放進3 3本書。但隨著書的本書增多本書。但隨著書的本書增多, ,數(shù)據(jù)變大數(shù)據(jù)變大, ,如果有如果有8 8本書會怎樣呢本書會怎樣呢?10?10本呢本呢? ?甚至更多呢甚至更多呢? ?

10、用列舉法、數(shù)的分解法會怎樣用列舉法、數(shù)的分解法會怎樣? ?繁瑣！繁瑣！假設(shè)法假設(shè)法我們能不能找到一種適用各種數(shù)據(jù)的一般方法呢我們能不能找到一種適用各種數(shù)據(jù)的一般方法呢? ?假設(shè)把書盡量的假設(shè)把書盡量的“平均分平均分”給給各個抽屜各個抽屜, ,看每個抽屜能分到看每個抽屜能分到多少本書多少本書, ,你們能用什么算式你們能用什么算式表示這一平均分的過程呢表示這一平均分的過程呢? ?7 73=23=2（本）（本）11（本）（本）有余數(shù)的除法算式說明了什么問題有余數(shù)的除法算式說明了什么問題? ? 把把7 7本書平均放進本書平均放進3 3個抽屜個抽屜, ,每每個抽屜放個抽屜放2 2本書本書, ,還剩還剩1

11、 1本本; ;把剩下把剩下的的1 1本不管放到哪個抽屜本不管放到哪個抽屜, ,總有一總有一個抽屜至少放個抽屜至少放3 3本書。本書。如果有如果有8 8本呢？本呢？ 8 83=23=2（本）（本）22（本）（本）, ,可以知道把可以知道把8 8本本書平均放進書平均放進3 3個抽屜個抽屜, ,每個抽屜放每個抽屜放2 2本書本書, ,還剩還剩2 2本本; ;把剩下的把剩下的2 2本中的本中的1 1本不管放到哪個抽屜本不管放到哪個抽屜, ,總有一總有一個抽屜至少放個抽屜至少放3 3本書。本書。1010本呢？本呢？ 10103=33=3（本）（本）11（本）（本）, ,可知把可知把1010本本書平均放進

12、書平均放進3 3個抽屜個抽屜, ,每個抽屜放每個抽屜放3 3本書本書, ,還剩還剩1 1本本; ;把剩下的把剩下的1 1本不管放到哪個抽屜本不管放到哪個抽屜, ,總有一個總有一個抽屜至少放抽屜至少放4 4本書。本書。物體數(shù)物體數(shù)抽屜數(shù)抽屜數(shù)商商余數(shù)余數(shù)至少數(shù)：至少數(shù)：商商1 如果物體數(shù)除以抽屜數(shù)有余數(shù)如果物體數(shù)除以抽屜數(shù)有余數(shù), ,用所得的商加用所得的商加1, ,就會發(fā)現(xiàn)就會發(fā)現(xiàn)“總有一個抽屜里至少有總有一個抽屜里至少有商加商加1個物體個物體”。我發(fā)現(xiàn)我發(fā)現(xiàn) 把把m m個物體放進個物體放進n n個抽屜個抽屜, ,如果如果m mn=bc(c0),n=bc(c0),那那么一定有一個抽屜至少放么一定

13、有一個抽屜至少放(b+1)(b+1)個物體。個物體。即：即：1、 5只只鴿子鴿子飛進飛進3個個鴿籠，總有一個鴿籠，總有一個鴿籠鴿籠至少至少飛進（飛進（ ）只）只鴿子？鴿子？做一做做一做2 2 5 53 31 1（只）（只）2（只）（只）至少數(shù)：至少數(shù)：1 11 1 2 22、 7只只鴿子鴿子飛進飛進4個鴿籠，總有一個個鴿籠，總有一個鴿籠鴿籠至少至少飛進（飛進（ ）只）只鴿子？鴿子？做一做做一做2 2 7 74 41 1（只）（只）3 3（只）（只）至少數(shù)：至少數(shù)：1 11 1 2 23、 9只只鴿子鴿子飛進飛進5個鴿籠，總有一個個鴿籠，總有一個鴿籠鴿籠至少至少飛進（飛進（ ）只）只鴿子？鴿子？

14、做一做做一做2 2 9 95 51 1（只）（只）4 4（只）（只）至少數(shù)：至少數(shù)：1 11 1 2 2 1、從我校學(xué)生中，任意挑選、從我校學(xué)生中，任意挑選13名學(xué)生，名學(xué)生，那么在這那么在這13名學(xué)生中至少有名學(xué)生中至少有2個人的屬相個人的屬相相同。為什么？相同。為什么？13121（名）（名）1（名）（名）至少數(shù)：至少數(shù)：112課后練習(xí)課后練習(xí)2、 某班有某班有32名小朋友是在名小朋友是在8月份出生的，能月份出生的，能否找到兩個在同一天過生日的小朋友。為什么？否找到兩個在同一天過生日的小朋友。為什么？8月份=31天 3231=1（名）1（名）至少數(shù)：至少數(shù)：1+1=21+1=2課后練習(xí)課后練習(xí)一盒圍棋棋子，黑白子混放，我們?nèi)我饷觯?）個棋子，才能保證至少有兩個棋子是同一個顏色的？三三 如果物體數(shù)除以抽屜數(shù)有余數(shù)如果物體數(shù)除以抽屜數(shù)有余數(shù), ,用所用所得的商加得的商加1 1, ,就會發(fā)現(xiàn)就會發(fā)現(xiàn)“總有一個抽屜里至總有一個抽屜里至少有少有商加商加1 1個物體個物