高等數(shù)學(xué)：D5_習(xí)題課

1、習(xí)題課一、與定積分概念有關(guān)的問(wèn)題的解法一、與定積分概念有關(guān)的問(wèn)題的解法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法定積分及其相關(guān)問(wèn)題 第五五章 一、與定積分概念有關(guān)的問(wèn)題的解法一、與定積分概念有關(guān)的問(wèn)題的解法1. 用定積分概念與性質(zhì)求極限2. 用定積分性質(zhì)估值3. 與變限積分有關(guān)的問(wèn)題機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 求.d1lim10 xeexxxnn解解: 因?yàn)?1,0 x時(shí),xxneex10所以xeexxxnd1100 xxnd1011n利用夾逼準(zhǔn)則得0d1lim10 xeexxxnn,nx因?yàn)?依賴于且1) 思考例1下列做

2、法對(duì)嗎 ?利用積分中值定理eenn1lim原式0不對(duì)不對(duì) !,n.10機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: 2) 此類(lèi)問(wèn)題放大或縮小時(shí)一般應(yīng)保留含參數(shù)的項(xiàng) . px11ppxx11) 10( x1px1 如, P265 題4nnnnnnnnnI1212sinsin1sinlim解：解：將數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡(jiǎn)化成積分和：nkknkn11sin已知,2dsin1sinlim101xxnnknkn利用夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則可知.2Inknnknn11sin1nknnk11sin(考研98 ) 11limnnn例例2. 求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考思考: :nnnnnnnJ121

3、2sinsinlim提示提示: :由上題1sinlimnIJnn11) 1(sinnnnn?11) 1(sinlimnnnnn222sinsin1sinlim1212nnnnnnnnnI00機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故練習(xí)練習(xí): 1.求極限).21(lim22222nnnnnnnn解：解：原式nn1limnini12)(11xxd1110242. 求極限).2212(lim12121nnnnnnnnn提示提示：原式nn1limnini121limnnnnini12n1xxd2102ln111limnnnini12左邊= 右邊機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3.d411032x

4、xx估計(jì)下列積分值解解: 因?yàn)?1 ,0 x3241xx 41,412xxxxd411032xd2110 xxd41102即xxxd411032216機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 證明.2d222042exeexx證證: 令,)(2xxexf則xxexxf2) 12()(令,0)( xf得,21x, 1)0(f,1)(421ef2)2(ef,1)(min42,0exf22,0)(maxexf故22042d22exeexx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5.設(shè))(xf在1 ,0上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)， 試證1 ,0q都有不等式100d)(d)(xxfqxxfq證明證明：顯

5、然1,0qq時(shí)結(jié)論成立.(用積分中值定理)qxxf0d)(10d)(xxfqqxxfq0d)()1 (1d)(qxxfq)1 (q)(1fqq)()1 (2fq , 01q1 ,2q10 q當(dāng)時(shí),)()()1 (21ffqq0故所給不等式成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 明對(duì)于任何例例6.解：解：, 3) 1 (,0)(fxxf處連續(xù)在已知且由方程xyyxttfyttfxttf111d)(d)(d)(確定 y 是 x 的函數(shù) , 求. )(xf方程兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得)( yxfyttf1d)(yyfx)(xttfy1d)()(xfy)(yxy令 x = 1, 得) 1 (d)()

6、(1fyttfyyfy再對(duì) y 求導(dǎo), 得) 1 (1)(fyyfy3Cyyf ln3)(, 3, 1Cy得令3ln3)(xxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故例例7.ttttfxfxdcos2sin)()(02求可微函數(shù) f (x) 使?jié)M足解解: 等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得)()(2xfxfxxxfcos2sin)(不妨設(shè) f (x)0,則xxxfcos2sin21)(xxfxfd)()(xxxdcos2sin21Cx )cos2ln(21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注意 f (0) = 0, 得3ln21C3ln21)cos2ln(21)(xxfxcos23ln21機(jī)動(dòng) 目錄

7、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ttttfxfxdcos2sin)()(02Cxxf)cos2ln(21)(例例8. 求多項(xiàng)式 f (x) 使它滿足方程解解: 令, t xu 10302d) 1(d)(xxttfttxfx則10d)(ttxfxxuuf01d)(代入原方程得xuuf0d)(xttfx0d) 1(242xx 兩邊求導(dǎo):)(xfxttf0d) 1() 1( xfxxx443)(xf ) 1(2xf) 1( xfx4122x可見(jiàn) f (x) 應(yīng)為二次多項(xiàng)式 , 設(shè)cbxaxxf2)(代入 式比較同次冪系數(shù) , 得. 1,4, 3cba故143)(2xxxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

8、 再求導(dǎo):二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法1. 熟練運(yùn)用定積分計(jì)算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定積分的計(jì)算3. 利用各種積分技巧計(jì)算定積分4. 有關(guān)定積分命題的證明方法思考思考: 下列作法是否正確?xxx1d1112112xxd111132)(32xt 令0d23112111ttt機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例9. 求.d12ln02xex解解: 令,sintex則,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26coscotcsclnttt6223)32(ln機(jī)動(dòng)

9、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例10. 求.d2sin120 xxI解解:xxxId)cos(sin202xxxdcossin20 xxxd)sin(cos40 xxxd)cos(sin24cossinxx04sincosxx42) 12(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2yox4xsinxcostttcbcadcos99例例11. 選擇一個(gè)常數(shù) c , 使0d)(cos)(99xcxcxba解解: 令, cxt則xcxcxbad)(cos)(99因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù) , 故選擇 c 使)(cbca即2bac可使原式為 0 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例12. 設(shè),d)(0

10、22yexfxyy解解: .d)() 1(102xxfx求xxfxd)() 1(102013)() 1(31xfxxxfxd)() 1(31103xexxxd) 1(31102322101) 1(2) 1d() 1(612xexx) 1(2 xu令10d6ueueu01) 1(6ueue)2(61e機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例13. 若, 1,0)(Cxf解解: 令試證 :xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20, xt則xxfxd)(sin0ttftd)(sin)(0ttfd)(sin0ttftd)(sin0 xxfxd)(sin0 xxfd)(si

11、n20機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因?yàn)閤xfd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin2對(duì)右端第二個(gè)積分令xtxxfd)(sin220綜上所述xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例14. 證明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0 xttttxx證證: 令ttttxfxxdarccosdarcsin)(22cos0sin0則)(xfxxxcossin2xxxcossin20因此, )0()(2xCxf又)(4fttttdarccosdarcsin212100tttdarcc

12、osarcsin210td21024故所證等式成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例15.,0)(,)(, )(xgbaxgxf且上連續(xù)在設(shè)試證, ),(ba使baxxfd)(baxxgd)()()(gf分析分析: 要證0d)()(d)()(babaxxgfxxfg即xaxxgd)(baxxfd)(xaxxfd)(baxxgd)(x0故作輔助函數(shù)baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 至少存在一點(diǎn)證明證明: 令baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()()(, )(xgxf因在,ba上連續(xù)

13、,)(上連續(xù)在故baxF在,),(內(nèi)可導(dǎo)ba, 0)()(bFaF且至少, ),(ba使,0)(F即0d)()(d)()(babaxxgfxxfg因在,ba上)(xg連續(xù)且不為0 ,0d)(baxxg從而不變號(hào),因此故所證等式成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故由羅爾定理知 ,存在一點(diǎn)思考思考: 本題能否用柯西中值定理證明 ?如果能, 怎樣設(shè)輔助函數(shù)?),(babaxxfd)(baxxgd)(,)()(gf要證: xattfxFd)()(xattgxGd)()(提示提示: 設(shè)輔助函數(shù) 例15 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例16.設(shè)函數(shù) f (x) 在a, b 上連續(xù),在(a, b

14、) 內(nèi)可導(dǎo), 且 . 0)( xf:,)2(lim證明存在若axaxfax(1) 在(a, b) 內(nèi) f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 內(nèi)存在點(diǎn) , 使 )(2d)(22fxxfabba(3) 在(a, b) 內(nèi)存在與 相異的點(diǎn) , 使 baxxfaabfd)(2)(22(03考研) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證: (1) ,)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由 f (x)在a, b上連續(xù), 知 f (a) = 0. ，又0)( xf所以f (x) 在(a, b)內(nèi)單調(diào)增, 因此 ),(, 0)()(baxafxf(2) 設(shè))(d)()(,)(2bx

15、axxfxgxxFxa, 0)()(xfxg則)(),(xgxF故滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 于是存在 使),(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxattfxd)()(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 即 )(2d)(22fttfabba(3) 因 0)()(ff)()(aff在a, 上用拉格朗日中值定理),(),( )(aaf代入(2)中結(jié)論得)(2d)(22afttfabba因此得 baxxfaabfd)(2)(22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(xf例例17. 設(shè), ,)(baCxf證證: 設(shè)且試證 :,0)(xf2)()(dd)(abxfxxxfb