常微分方程課程設(shè)計(jì)》指導(dǎo)書

1、第4章 線性多步法4.1 線性多步法的一般公式前面給出了求解初值問(wèn)題(1.2.1)的單步法，其特點(diǎn)是計(jì)算 時(shí)只用到 的值，此時(shí) 的值均已算出.如果在計(jì)算 時(shí)除用 的值外，還用到 的值，這就是多步法.若記,h為步長(zhǎng)，則線性多步法可表示為(4.1.1)其中為常數(shù)，若(即不同時(shí)為零)，稱(4.1.1)為線性k步法.計(jì)算時(shí)用到前面已算出的k個(gè)值.當(dāng)時(shí)，(4.1.1)為顯式多步方法，當(dāng)則稱(4.1.1)為隱式多步法.隱式方法與梯形方法一樣，計(jì)算時(shí)要用迭代法求.多步法(4.1.1)的局部截?cái)嗾`差定義也與單步法類似.舉例來(lái)說(shuō)，對(duì)于初值問(wèn)題，步數(shù)k=2時(shí)，線性多步法表示為當(dāng)時(shí)，格式為顯示的：，而時(shí)，格式為隱式

2、的：。定義4.1設(shè)y(x)是初值問(wèn)題(1.2.1)的精確解，線性多步法(4.1.1)在處的局部截?cái)嗾`差定義為(4.1.2)若，則稱線性多步法(4.1.1)是p階的.1 / 15如果我們希望得到的多步法是p階的，則可利用Taylor公式展開，將在處展開到階，它可表示為(4.1.3)注意，(4.1.2)式按Taylor展開可得經(jīng)整理比較系數(shù)可得(4.1.4)若線性多步法(4.1.1)為p階，則可令于是得局部截?cái)嗾`差 (4.1.5)右端第一項(xiàng)稱為局部截?cái)嗾`差主項(xiàng).稱為誤差常數(shù).要使多步法(4.1.1)逼近初值問(wèn)題(1.2.1),方法的階p1,當(dāng)p=1時(shí)，則，由(4.1.4)得 (4.1.6)稱為相容

3、性條件.公式(4.1.1)當(dāng)k=1時(shí)即為單步法，若,由(4.1.6)則得2 / 15式(4.1.1)就是，即為Euler法.此時(shí)，方法為p=1階.若，由得,為確定及，必須令,由(4.1.4)得及此時(shí)(4.1.1)就是,即為梯形法.由故p=2,方法是二階的，與3.1節(jié)中給出的結(jié)果相同.實(shí)際上，當(dāng)k給定后，則可利用(4.1.4)求出公式(4.1.1)中的系數(shù)及，并求得的表達(dá)式(4.1.5).4.2 Adams顯式與隱式方法形如(4.2.1)的k步法稱為 Adams 方法，當(dāng) 時(shí)為 Adams 顯式方法，當(dāng)時(shí)，稱為Adams隱式方法.對(duì)初值問(wèn)題(1.2.1)的方程兩端從到積分得顯然只要對(duì)右端的積分用

4、插值求積公式，求積節(jié)點(diǎn)取為即可推出形如(4.2.1)的多步法，但這里我們?nèi)圆捎肨aylor展開的方法直接確定(4.2.1)的系數(shù).對(duì)比(4.1.1)可知，此時(shí)，只要確定即可.現(xiàn)在若k=4且，即為4步的Adams顯式方法3 / 15其中為待定參數(shù)，若直接用(4.1.4)，可知此時(shí)自然成立，再令可得解此方程組得 .由此得到于是得到四階Adams顯式方法及其余項(xiàng)為(4.2.2) (4.2.3)若，則可得到p=4的Adams隱式公式，則k=3并令，由(4.1.4)可得解得，而，于是得到四階Adams隱式方法及余項(xiàng)為(4.2.4) (4.2.5)4 / 15一般情形，k步Adams顯式方法是k階的，k=

5、1即為Euler法，k=2為k=3時(shí)，.k步隱式方法是(k+1)階公式，k=1為梯形法，k=2為三階隱式Adams公式k步的Adams方法計(jì)算時(shí)必須先用其他方法求出前面k個(gè)初值才能按給定公式算出后面各點(diǎn)的值，它每步只需計(jì)算一個(gè)新的f值，計(jì)算量少，但改變步長(zhǎng)時(shí)前面的也要跟著重算，不如單步法簡(jiǎn)便.例4.1 用四階顯式Adams方法及四階隱式Adams方法解初值問(wèn)題,步長(zhǎng)h=0.1用到的初始值由精確解計(jì)算得到.解 本題直接由公式(4.2.2)及(4.2.4)計(jì)算得到.對(duì)于顯式方法，將直接代入式(4.2.2)得到其中.對(duì)于隱式方法，由式(4.2.4)可得到直接求出，而不用迭代，得到計(jì)算結(jié)果如表所示.表

6、4-1 Adams方法和Adams隱式方法的數(shù)值解與精確解比較5 / 154.3 Adams預(yù)測(cè)-校正方法上述給出的Adams顯式方法計(jì)算簡(jiǎn)單，但精度比隱式方法差，而隱式方法由于每步要做迭代，計(jì)算不方便.為了避免迭代，通?？蓪⑼A的顯式Adams方法與隱式Adams方法結(jié)合，組成預(yù)測(cè)-校正方法.以四階方法為例，可用顯式方法(4.2.2)計(jì)算初始近似，這個(gè)步驟稱為預(yù)測(cè)(Predictor)，以P表示，接著計(jì)算f值(Evaluation),，這個(gè)步驟用E表示，然后用隱式公式(4.2.4)計(jì)算，稱為校正(Corrector)，以C表示，最后再計(jì)算，為下一步計(jì)算做準(zhǔn)備.整個(gè)算法如下：(4.3.1)公式

7、(4.3.1)稱為四階Adams預(yù)測(cè)-校正方法(PECE). 其matlab程序如下function y = DEYCJZ_adms(f, h,a,b,y0,varvec,type)format long;N = (b-a)/h;y = zeros(N+1,1);x = a:h:b;y(1) = y0;y(2) = y0+h*Funval(f,varvec,x(1) y(1);y(3) = y(2)+h*Funval(f,varvec,x(2) y(2);y(4) = y(3)+h*Funval(f,varvec,x(3) y(3);for i=5:N+1 v1 = Funval(f,varv

8、ec,x(i-4) y(i-4); v2 = Funval(f,varvec,x(i-3) y(i-3); v3 = Funval(f,varvec,x(i-2) y(i-2); v4 = Funval(f,varvec,x(i-1) y(i-1); t = y(i-1) + h*(55*v4 - 59*v3 + 37*v2 - 9*v1)/24; ft = Funval(f,varvec,x(i) t); y(i) = y(i-1)+h*(9*ft+19*v4-5*v3+v2)/24;endformat short;6 / 15利用(4.2.2)和(4.2.4)的局部截?cái)嗾`差(4.2.3)和

9、(4.2.5)可對(duì)預(yù)測(cè)-校正方法(4.3.1)進(jìn)行修改，在(4.3.1)中的步驟P有對(duì)于步驟C有兩式相減可得于是有若用代替上式,并令顯然比更好，但注意到的表達(dá)式中是未知的，因此改為下面給出修正的預(yù)測(cè)-校正格式(PMECME). (4.3.2)經(jīng)過(guò)修正后的PMECME格式比原來(lái)PECE格式提高一階. 4.4 Milne方法與 Hamming方法 與Adams顯式方法不同的另一類四階顯式方法的計(jì)算公式形如7 / 15 (4.4.1)這里為待定常數(shù)，此公式也是k=4步方法，即計(jì)算時(shí)要用到4個(gè)值.為了確定，當(dāng)然可以利用公式(4.2.1)直接算出，但下面我們直接利用Taylor展開式確定,使它的階盡量高

10、.方法(4.4.1)的局部截?cái)嗾`差為將它在點(diǎn)展成Taylor級(jí)數(shù)，得要使公式的階盡量高，要令前3項(xiàng)系數(shù)為0.即解得,代入公式，的系數(shù)為0，故(4.4.2)于是得四階方法(4.4.3)稱為Milne公式，它的局部截?cái)嗾`差為(4.4.2).與(4.4.3)配對(duì)的隱式方法為k=3的多步法，它的一般形式可表示為8 / 15要求公式的階p=4，可直接用(4.2.1)，并令,可得 (4.4.4)若令，可解出，于是得到下列四階方法(4.4.5)稱為Simpson公式，它的局部截?cái)嗾`差為 (4.4.6)用Simpson公式與Milne公式(4.4.3)相匹配，用(4.4.3)做預(yù)測(cè)，(4.4.5)做校正，由于

11、(4.4.5)的穩(wěn)定性較差，因此通常較少使用.為了改善穩(wěn)定性，可重新選擇四階的隱式公式，Hamming通過(guò)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在(4.4.4)中若令,得到的公式穩(wěn)定性較好，此時(shí)(4.4.4)的解為,于是得四階多步法(4.4.7)稱為Hamming公式，它的局部截?cái)嗾`差為 (4.4.8)用Milne公式(4.4.3)與Hamming公式(4.4.7)相匹配，并利用截?cái)嗾`差公式(4.4.2)與(4.4.8)改進(jìn)計(jì)算結(jié)果. (4.4.7)該算法稱為Hamming預(yù)測(cè)-校正法。類似Adams預(yù)測(cè)-校正格式(4.3.2)，可得以下的修正的milne-Hamming預(yù)測(cè)-校正格式：9 / 15 (4.4.9)附 h

12、amming程序function y = DEYCJZ_hm(f, h,a,b,y0,varvec,type)format long;N = (b-a)/h;y = zeros(N+1,1);x = a:h:b;y(1) = y0;y(2) = y0+h*Funval(f,varvec,x(1) y(1);y(3) = y(2)+h*Funval(f,varvec,x(2) y(2);y(4) = y(3)+h*Funval(f,varvec,x(3) y(3);if type = 1 %hamming預(yù)測(cè)校正法 for i=5:N+1 v1 = Funval(f,varvec,x(i-3)

13、y(i-3); v2 = Funval(f,varvec,x(i-2) y(i-2); v3 = Funval(f,varvec,x(i-1) y(i-1); t = y(i-4) + 4*h*(2*v3 - v2 + 2*v1)/3; ft = Funval(f,varvec,x(i) t); y(i) = (9*y(i-1) -y(i-3) +3*h*(2*v3 + ft-v2)/8; endelse %修正的hamming預(yù)測(cè)校正法 p0 = 0; c = 0; for i = 5:N+1 v1 = Funval(f,varvec,x(i-3) y(i-3); v2 = Funval(f

14、,varvec,x(i-2) y(i-2); v3 = Funval(f,varvec,x(i-1) y(i-1); p = y(i-4)+4*h*(2*v3 - v2 + 2*v1)/3; M = p - 112*(p0 - c)/121; F = Funval(f , varvec, x(i) ,M); c = (9*y(i-1) -y(i-3) +3*h*(2*v3 + F-v2)/8; y(i) = c + 9*( p - c)/121; p0 = p; endendformat short;10 / 15例4.2 用四步四階顯式Milne公式及三步四階隱式Hamming公式解初值問(wèn)題

15、,步長(zhǎng)h=0.1初值仍由精確解給出，要求計(jì)算到為止，給出計(jì)算結(jié)果及誤差，并與例4.1結(jié)果比較.解 直接用公式(4.4.3)及(4.4.7)計(jì)算.用Milne法計(jì)算公式為其中誤差用Hamming方法(4.4.7)計(jì)算公式為可解得 ，n=2,3,411 / 15誤差從所得結(jié)果可見Milne方法誤差比顯式Adams方法誤差略小，而Hamming方法與隱式Adams方法誤差相當(dāng).例4.3 將例4.2的初值問(wèn)題用修正的Milne-Hamming預(yù)測(cè)-校正公式計(jì)算及，初值，仍用已算出的精確解，即，給出計(jì)算結(jié)果及誤差.解根據(jù)修正的Milne-Hamming預(yù)測(cè)-校正公式(4.4.9)得從結(jié)果看，此方法誤差比

16、四階Adams隱式法和四階Hamming方法小，這與理論分析一致.講解：線性多步法（4.1.1）的局部截?cái)嗾`差定義為與單步法相似，可表示為（4.1.2），即12 / 15只要直接將右端各項(xiàng)在處展成Taylor公式，根據(jù)公式階數(shù)為階，即按的冪整理，令各項(xiàng)系數(shù)為0，則可求得相應(yīng)的線性多步法及其局部截?cái)嗾`差，這里只用到一元函數(shù)的Taylor展開.因此不必記系數(shù)滿足的公式（7.5.4），只要直接展開即可，它不但可以求出Adams顯式與隱式公式以及Milne公式，Hamming公式等，還可以求出任何需要的多步法公式，下面再給出兩個(gè)例題，說(shuō)明如何直接用Taylor展開的方法.例4.4 解初值問(wèn)題用顯式二步

17、法，其中.試確定參數(shù)使方法除數(shù)盡可提高.并求局部截?cái)嗾`差.解 本題仍根據(jù)截?cái)嗾`差定義，用Taylor展開確定參數(shù)滿足的方程，由于為求參數(shù)使就地介數(shù)盡量高，可令及得方程組解得此時(shí)公式為三階，而且13 / 15即為所求局部截?cái)嗾`差.而所得二步法為 例4.5 證明線性多步法存在的一個(gè)值，使方法是四階的.證明只要證明局部截?cái)嗾`差,則方法為四階.仍用Taylor展開，由于當(dāng)時(shí)，故方法是四階的.4.5 練習(xí)題1. 自編matlab程序得到例4.1中初值問(wèn)題的四階Adams顯示多步法和四階隱式多步法的數(shù)值結(jié)果，列出表4-1，并畫出解曲線對(duì)比圖。2. 應(yīng)用Adams顯示方法、Adams隱式方法和Adams預(yù)測(cè)校正方法求解下列初值問(wèn)題的數(shù)