維設(shè)計(jì)》2014屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)(含解析)

1、.第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)知識(shí)能否憶起1任意角(1)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角按終邊位置不同分為象限角和軸線角(2)終邊相同的角：終邊與角相同的角可寫(xiě)成k·360°(kZ)(3)弧度制：1弧度的角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|，l是以角作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，r為半徑用“弧度”做單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制比值與所取的r的大小無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān)弧度與角度的換算：360°2弧度；180°弧度弧長(zhǎng)公式：l|r，扇形面積公式：S扇形lr|r

2、2.2任意角的三角函數(shù)(1)任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)是一個(gè)任意角，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么角的正弦、余弦、正切分別是：sin y，cos x，tan ，它們都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)(2)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3三角函數(shù)線設(shè)角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，過(guò)P作PM垂直于x軸于M.由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos_，sin_)，即P(cos_，sin_)，其中cos OM，sin MP，單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，單位圓在A點(diǎn)的切線與的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交

3、于點(diǎn)T，則tan AT.我們把有向線段OM、MP、AT叫做的余弦線、正弦線、正切線.三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線小題能否全取1870°的終邊在第幾象限()A一B二C三 D四解析：選C因870°2×360°150°.150°是第三象限角2已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，1)，則角的最小正值是()A. B.C. D.解析：選Bsin ，且的終邊在第四象限，.3(教材習(xí)題改編)若sin <0且tan >0，則是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：選C由sin <0，

4、知在第三、第四象限或終邊在y軸的負(fù)半軸上，由tan >0，知在第一或第三象限，因此在第三象限4若點(diǎn)P在角的終邊上，且P的坐標(biāo)為(1，y)，則y等于_解析：因tany，y.答案：5弧長(zhǎng)為3，圓心角為135°的扇形半徑為_(kāi)，面積為_(kāi)解析：弧長(zhǎng)l3，圓心角，由弧長(zhǎng)公式l·r得r4，面積Slr6.答案：461.對(duì)任意角的理解 (1)“小于90°的角”不等同于“銳角”“0°90°的角”不等同于“第一象限的角”其實(shí)銳角的集合是|0°<<90°，第一象限角的集合為|k·360°<<k

5、83;360°90°，kZ (2)終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等 2三角函數(shù)定義的理解 三角函數(shù)的定義中，當(dāng)P(x，y)是單位圓上的點(diǎn)時(shí)有sin y，cos x，tan ，但若不是單位圓時(shí)，如圓的半徑為r，則sin ，cos ，tan .角的集合表示及象限角的判定典題導(dǎo)入例1已知角45°，(1)在720°0°范圍內(nèi)找出所有與角終邊相同的角；(2)設(shè)集合M，N，判斷兩集合的關(guān)系自主解答(1)所有與角有相同終邊的角可表示為：45°k×360°(kZ)，則令720°

6、;45°k×360°<0°，得765°k×360°<45°，解得k<，從而k2或k1，代入得675°或315°.(2)因?yàn)镸x|x(2k1)×45°，kZ表示的是終邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合；而集合Nx|x(k1)×45°，kZ表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集合，從而：MN.由題悟法1利用終邊相同角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫(xiě)出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需角2已知

7、角的終邊位置，確定形如k，±等形式的角終邊的方法：先表示角的范圍，再寫(xiě)出k、±等形式的角范圍，然后就k的可能取值討論所求角的終邊位置以題試法1(1)給出下列四個(gè)命題：是第二象限角；是第三象限角；400°是第四角限角；315°是第一象限角其中正確的命題有()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)(2)如果角是第二象限角，則角的終邊在第_象限解析：(1)是第三象限角，故錯(cuò)誤.，從而是第三象限角正確400°360°40°，從而正確315°360°45°，從而正確(2)由已知2k<<2k(kZ)，則2k

8、<<2k(kZ)，即2k<<2k(kZ)，故2k<<2k(kZ)，所以是第一象限角答案：(1)C(2)一三角函數(shù)的定義典題導(dǎo)入例2(1)已知角的終邊上有一點(diǎn)P(t，t21)(t>0)，則tan 的最小值為()A1B2C. D.(2)(2012·大慶模擬)已知角的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則角的最小正值為()A. B.C. D.自主解答(1)根據(jù)已知條件得tan t2，當(dāng)且僅當(dāng)t1時(shí)，tan 取得最小值2.(2)由題意知點(diǎn)P在第四象限，根據(jù)三角函數(shù)的定義得cos sin ，故2k(kZ)，所以的最小正值為.答案(1)B(2)D由題悟法定義法求三角函

9、數(shù)值的兩種情況(1)已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解(2)已知角的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問(wèn)題若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫(xiě)出角的三角函數(shù)值以題試法2(1)(2012·東莞調(diào)研)已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P，則tan ()A. B±C. D±(2)(2012·濰坊質(zhì)檢)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m，3)，且cos ，則m等于()A B.C4 D4解析：(1)選B由|OP|2x21，得x±，tan ±.(2)選

10、C由題意可知，cos ，又m<0，解得m4.扇形的弧長(zhǎng)及面積公式典題導(dǎo)入例3(1)已知扇形周長(zhǎng)為10，面積是4，求扇形的圓心角(2)已知扇形周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形面積最大？自主解答(1)設(shè)圓心角是，半徑是r，則(舍)，故扇形圓心角為.(2)設(shè)圓心角是，半徑是r，則2rr40.S·r2r(402r)r(20r)(r10)2100100，當(dāng)且僅當(dāng)r10時(shí)，Smax100.所以當(dāng)r10，2時(shí)，扇形面積最大若本例(1)中條件變?yōu)椋簣A弧長(zhǎng)度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)是_解析：設(shè)圓半徑為R，則圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2R，正方形邊長(zhǎng)為R，圓心角的

11、弧度數(shù)是.答案：由題悟法1在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更方便、簡(jiǎn)捷2記住下列公式：lR；SlR；SR2.其中R是扇形的半徑，l是弧長(zhǎng)，(0<<2)為圓心角，S是扇形面積以題試法3若扇形的面積為定值，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，該扇形的周長(zhǎng)取到最小值？解：設(shè)扇形的圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為l，根據(jù)已知條件lRS扇，則扇形的周長(zhǎng)為：l2R2R4，當(dāng)且僅當(dāng)2R，即R時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)l2，2，因此當(dāng)扇形的圓心角為2弧度時(shí)，扇形的周長(zhǎng)取到最小值1將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中形成的角的弧度數(shù)是()A.B.C D解析：選C將表的分針撥快應(yīng)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，為負(fù)角故A、

12、B不正確，又因?yàn)閾芸?0分鐘，故應(yīng)轉(zhuǎn)過(guò)的角為圓周的.即為×2.2已知扇形的周長(zhǎng)是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A1或4 B1C4 D8解析：選A設(shè)扇形的半徑和弧長(zhǎng)分別為r，l，則易得解得或故扇形的圓心角的弧度數(shù)是4或1.3已知角和角的終邊關(guān)于直線yx對(duì)稱，且，則sin ()A B.C D.解析：選D因?yàn)榻呛徒堑慕K邊關(guān)于直線yx對(duì)稱，所以2k(kZ)，又，所以2k(kZ)，即得sin .4設(shè)是第三象限角，且cos，則是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：選B是第三象限角，為第二或第四象限角又cos，cos0，知為第二象限角5(2012

13、·宜春模擬)給出下列各函數(shù)值：sin(1 000°)；cos(2 200°)；tan(10)；，其中符號(hào)為負(fù)的是()A BC D解析：選Csin(1 000°)sin 80°>0；cos(2 200°)cos(40°)cos 40°>0；tan(10)tan(310)<0；，sin>0，tan<0，原式>0.6已知sin cos >1，則角的終邊在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選B由已知得(sin cos )2>1,12sin cos >

14、1，sin cos <0，且sin >cos ，因此sin >0>cos ，所以角的終邊在第二象限7在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A(，1)，將點(diǎn)A繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到B點(diǎn)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)解析：依題意知OAOB2，AOx30°，BOx120°，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(x，y)，所以x2cos 120°1，y2sin 120°，即B(1，)答案：(1，)8若的終邊所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則sin _，tan _.解析：因?yàn)榈慕K邊所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，所以的終邊所在直線為yx，則在第二或第四象限所以sin 或，tan 1.答案：或19.如圖，角的

15、終邊與單位圓(圓心在原點(diǎn)，半徑為1)交于第二象限的點(diǎn)A，則cos sin _.解析：由題圖知sin ，又點(diǎn)A在第二象限，故cos .cos sin .答案：10一個(gè)扇形OAB的面積是1 cm2，它的周長(zhǎng)是4 cm，求圓心角的弧度數(shù)和弦長(zhǎng)AB.解：設(shè)圓的半徑為r cm，弧長(zhǎng)為l cm，則解得圓心角2.如圖，過(guò)O作OHAB于H.則AOH1弧度AH1·sin 1sin 1(cm)，AB2sin 1(cm)11.如圖所示，A，B是單位圓O上的點(diǎn)，且B在第二象限，C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為，AOB為正三角形(1)求sinCOA；(2)求cosCOB.解：(1)根據(jù)三角函數(shù)定義可知s

16、inCOA.(2)AOB為正三角形，AOB60°，又sinCOA，cosCOA，cosCOBcos(COA60°)cosCOAcos 60°sinCOAsin 60°··.12(1)設(shè)90°<<180°，角的終邊上一點(diǎn)為P(x，)，且cos x，求sin 與tan 的值；(2)已知角的終邊上有一點(diǎn)P(x，1)(x0)，且tan x，求sin ，cos .解：(1)r，cos ，從而x，解得x0或x±.90°<<180°，x<0，因此x.故r2，sin ，t

17、an .(2)的終邊過(guò)點(diǎn)(x，1)，tan ，又tan x，x21，x±1.當(dāng)x1時(shí)，sin ，cos ；當(dāng)x1時(shí)，sin ，cos .1(2013·聊城模擬)三角形ABC是銳角三角形，若角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(sin Acos B，cos Asin C)，則的值是()A1 B1C3 D4解析：選B因?yàn)槿切蜛BC是銳角三角形，所以AB>90°，即A>90°B，則sin A>sin (90°B)cos B，sin Acos B>0，同理cos Asin C<0，所以點(diǎn)P在第四象限，1111.2(2012·

18、山東高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí)，的坐標(biāo)為_(kāi)解析：設(shè)A(2,0)，B(2,1)，由題意知劣弧P長(zhǎng)為2，ABP2.設(shè)P(x，y)，則x21×cos2sin 2，y11×sin1cos 2，的坐標(biāo)為(2sin 2,1cos 2)答案：(2sin 2,1cos 2)3(1)確定的符號(hào)；(2)已知(0，)，且sin cos m(0<m<1)，試判斷式子sin cos 的符號(hào)解：(1)3,5,8分別是第三、第四、第二象限角，tan(3)>0，tan 5<0，cos 8<0，原式大于0.(2)若0<<，