平面向量重難點(diǎn)解析

1、平面向量 重難點(diǎn)解析課文目錄 21平面向量的實(shí)際背景及基本概念 22平面向量的線性運(yùn)算 23平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 24平面向量的數(shù)量積 25平面向量應(yīng)用舉例 目標(biāo)：1、理解和掌握平面向量有關(guān)的概念；2、熟練掌握平面向量的幾何運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算；3、熟悉平面向量的平行、垂直關(guān)系和夾角公式的應(yīng)用；4、明確平面向量作為工具在復(fù)數(shù)、解析幾何、實(shí)際問(wèn)題等方面的應(yīng)用；重難點(diǎn)：重點(diǎn)：向量的綜合應(yīng)用。難點(diǎn)：用向量知識(shí)，實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化?！疽c(diǎn)精講】1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二個(gè)要素：大小、方向.2.向量的表示方法：用有向線段表示-(幾何表示法)；用字母、等表示(字母表示法)

2、；平面向量的坐標(biāo)表示（坐標(biāo)表示法）：分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底。任作一個(gè)向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得，叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作，其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)， 特別地，。；若，則，3.零向量、單位向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記為； 長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫單位向量.（注：就是單位向量）4.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定與任一向量平行.向量、平行，記作.共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量.性質(zhì)：是唯一） （其中 ）5.相等向量和垂直向量：相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.垂直向量?jī)上蛄康?/p>

3、夾角為性質(zhì)： （其中 ）6.向量的加法、減法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。平行四邊形法則： （起點(diǎn)相同的兩向量相加，常要構(gòu)造平行四邊形）三角形法則加法法則的推廣： 即個(gè)向量首尾相連成一個(gè)封閉圖形，則有向量的減法向量加上的相反向量，叫做與的差。即： -= + (-)；差向量的意義： = , =, 則=- 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則，。向量加法的交換律：+=+；向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)常用結(jié)論：（1）若，則D是AB的中點(diǎn)（2）或G是ABC的重心，則7向量的模：1、定義：向量的大小，記為 | 或 |2、模的求法：若 ，則 |若， 則 |3

4、、性質(zhì)：（1）； （實(shí)數(shù)與向量的轉(zhuǎn)化關(guān)系）（2），反之不然（3）三角不等式：（4） （當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取“=”）即當(dāng)同向時(shí) ，； 即當(dāng)同反向時(shí) ，（5）平行四邊形四條邊的平方和等于其對(duì)角線的平方和，即8實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作：（1）|=|；（2）>0時(shí)與方向相同；<0時(shí)與方向相反；=0時(shí)=；（3）運(yùn)算定律 ()=()，(+)=+，(+)=+交換律：;分配律： ()·=(·)=·();不滿足結(jié)合律：即向量沒(méi)有除法運(yùn)算。如：，都是錯(cuò)誤的（4）已知兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則 =坐標(biāo)運(yùn)算：，則（5）向量在軸上的投影為：， （為的夾角，

5、為的方向向量）其投影的長(zhǎng)為 （為的單位向量）（6）的夾角和的關(guān)系： （1）當(dāng)時(shí)，同向；當(dāng)時(shí)，反向 （2）為銳角時(shí)，則有； 為鈍角時(shí)，則有9向量共線定理：向量與非零向量共線（也是平行）的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使=。10平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2使=1+2。(1)不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一. 1，2是被，唯一確定的數(shù)量。向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向

6、量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x，y)，則=（x,y）；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)11. 向量和的數(shù)量積：·=| |·|cos，其中0，為和的夾角。|cos稱為在的方向上的投影。·的幾何意義是：的長(zhǎng)度|在的方向上的投影的乘積，是一個(gè)實(shí)數(shù)（可正、可負(fù)、也可是零），而不是向量。若 =（，）, =（x2，）, 則運(yùn)算律：a· b=b·a, (a)· b=a·(b)=（a·b）， （a+b）·c=a·c+b&#

7、183;c。和的夾角公式：cos=|2=x2+y2，或|=| a·b | a |·| b |。12.兩個(gè)向量平行的充要條件：符號(hào)語(yǔ)言：若，則=坐標(biāo)語(yǔ)言為：設(shè)=（x1,y1），=(x2,y2)，則(x1,y1)=(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0在這里，實(shí)數(shù)是唯一存在的，當(dāng)與同向時(shí)，>0；當(dāng)與異向時(shí)，<0。|=，的大小由及的大小確定。因此，當(dāng)，確定時(shí)，的符號(hào)與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中的幾何意義。13.兩個(gè)向量垂直的充要條件：符號(hào)語(yǔ)言：·=0坐標(biāo)語(yǔ)言：設(shè)=(x1,y1), =(x2,y2)，則x1x2+y1y2=0【典型例題】例1、如圖，

8、為單位向量，與夾角為1200， 與的夾角為450，|=5，用，表示。解題思路分析：以，為鄰邊，為對(duì)角線構(gòu)造平行四邊形把向量在，方向上進(jìn)行分解，如圖，設(shè)=，=，>0，>0則=+ |=|=1 =|，=| OEC中，E=600，OCE=750，由得： 說(shuō)明：用若干個(gè)向量的線性組合表示一個(gè)向量，是向量中的基本而又重要的問(wèn)題，通常通過(guò)構(gòu)造平行四邊形來(lái)處理例2、已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為AD，求點(diǎn)D和向量坐標(biāo)。解題思路分析：用解方程組思想設(shè)D（x，y），則=（x-2，y+1）=（-6，-3），·=0 -6(x-2)-3(y+1)=0，

9、即2x+y-3=0 =(x-3，y-2)， -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 由得： D（1，1），=（-1，2）例3、求與向量=，-1）和=（1，）夾角相等，且模為的向量的坐標(biāo)。 解題思路分析：用解方程組思想法一：設(shè)=（x，y），則·=x-y，·=x+y <，>=<，> 即 又|= x2+y2=2 由得 或（舍）=法二：從分析形的特征著手 |=|=2 ·=0 AOB為等腰直角三角形，如圖 |=，AOC=BOC C為AB中點(diǎn) C（）說(shuō)明：數(shù)形結(jié)合是學(xué)好向量的重要思想方法，分析圖中的幾何性質(zhì)可以簡(jiǎn)化計(jì)算。例4、在OAB的邊O

10、A、OB上分別取點(diǎn)M、N，使|=13，|=14，設(shè)線段AN與BM交于點(diǎn)P，記= ，=，用 ，表示向量。解題思路分析： B、P、M共線 記=s 同理，記 = ,不共線 由得解之得： 說(shuō)明：從點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線，進(jìn)而引入?yún)?shù)（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于s，t的方程。例5、已知長(zhǎng)方形ABCD，AB=3，BC=2，E為BC中點(diǎn)，P為AB上一點(diǎn)（1） 利用向量知識(shí)判定點(diǎn)P在什么位置時(shí)，PED=450；（2） 若PED=450，求證：P、D、C、E四點(diǎn)共圓。解題思路分析：利用坐標(biāo)系可以確定點(diǎn)P位置如圖，建立平面直角坐標(biāo)系則C（2，0），D

11、（2，3），E（1，0）設(shè)P（0，y） =（1，3），=（-1，y） ·=3y-1代入cos450=解之得（舍），或y=2 點(diǎn)P為靠近點(diǎn)A的AB三等分處（3） 當(dāng)PED=450時(shí)，由（1）知P（0，2） =（2，1），=（-1，2） ·=0 DPE=900又DCE=900 D、P、E、C四點(diǎn)共圓說(shuō)明：利用向量處理幾何問(wèn)題一步要驟為：建立平面直角坐標(biāo)系；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)；求出有關(guān)向量的坐標(biāo)；利用向量的運(yùn)算計(jì)算結(jié)果；得到結(jié)論?！究键c(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：向量的概念、向量的基本定理【內(nèi)容解讀】了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、單位向量、相等向量等概念，理解向量的幾何表示

12、，掌握平面向量的基本定理。注意對(duì)向量概念的理解，向量是可以自由移動(dòng)的，平移后所得向量與原向量相同；兩個(gè)向量無(wú)法比較大小，它們的?？杀容^大小。如果和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使=1+2. 注意：若和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，【命題規(guī)律】有關(guān)向量概念和向量的基本定理的命題，主要以選擇題或填空題為主，考查的難度屬中檔類型。例1、（2007上海）直角坐標(biāo)系中，分別是與軸正方向同向的單位向量在直角三角形中，若，則的可能值個(gè)數(shù)是（）1 2 3 4解：如圖，將A放在坐標(biāo)原點(diǎn)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(3,k)，所以C點(diǎn)在直線x=3上，由圖知，

13、只可能A、B為直角，C不可能為直角所以 k 的可能值個(gè)數(shù)是2，選B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的坐標(biāo)表示，采用數(shù)形結(jié)合法，巧妙求解，體現(xiàn)平面向量中的數(shù)形結(jié)合思想。例2、（2007陜西）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、,其中與與的夾角為120°，與的夾角為30°,且|1，| ，若+（，R）,則+的值為 .解：過(guò)C作與的平行線與它們的延長(zhǎng)線相交，可得平行四邊形，由角BOC=90°角AOC=30°，=得平行四邊形的邊長(zhǎng)為2和4，2+4=6點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA與向量OB作為基底表示出來(lái)后，求相應(yīng)的系數(shù)，也考查了平行四邊形法則?？键c(diǎn)二：向量的運(yùn)算

14、【內(nèi)容解讀】向量的運(yùn)算要求掌握向量的加減法運(yùn)算，會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算；掌握實(shí)數(shù)與向量的積運(yùn)算，理解兩個(gè)向量共線的含義，會(huì)判斷兩個(gè)向量的平行關(guān)系；掌握向量的數(shù)量積的運(yùn)算，體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，并理解其幾何意義，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量積的運(yùn)算，能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用向量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系?！久}規(guī)律】命題形式主要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，考查重點(diǎn)為模和向量夾角的定義、夾角公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，有時(shí)也會(huì)與其它內(nèi)容相結(jié)合。例3、(2008湖北文、理)設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2

15、b)·c=（ ）A.(15,12)B.0 C.3 D.11解：(a+2b)，(a+2b)·c ，選C點(diǎn)評(píng)：本題考查向量與實(shí)數(shù)的積，注意積的結(jié)果還是一個(gè)向量，向量的加法運(yùn)算，結(jié)果也是一個(gè)向量，還考查了向量的數(shù)量積，結(jié)果是一個(gè)數(shù)字。例4、(2008廣東文)已知平面向量，且，則=（ ） A（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）解：由，得m4，所以，（2，4）（6，12）（4，8），故選（C）。點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)向量平行，其實(shí)是一個(gè)向量是另一個(gè)向量的倍，也是共線向量，注意運(yùn)算的公式，容易與向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算混淆。例5、(2008海南、寧夏文)已知

16、平面向量=（1，3），=（4，2），與垂直，則是（ ）A. 1 B. 1C. 2D. 2解：由于，即，選點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，注意不要出現(xiàn)運(yùn)算出錯(cuò)，因?yàn)檫@是一道基礎(chǔ)題，要爭(zhēng)取滿分。例6、(2008廣東理)在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F. 若, ,則（ ） AB. C. D. 解:,由A、E、F三點(diǎn)共線,知而滿足此條件的選擇支只有B，故選B.點(diǎn)評(píng)：用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行向量的加減法運(yùn)算是向量運(yùn)算的一個(gè)難點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。例7、（2008江蘇）已知向量和的夾角為，則解：=，7點(diǎn)評(píng)：向量的模、

17、向量的數(shù)量積的運(yùn)算是經(jīng)常考查的內(nèi)容，難度不大，只要細(xì)心，運(yùn)算不要出現(xiàn)錯(cuò)誤即可?？键c(diǎn)三：定比分點(diǎn)【內(nèi)容解讀】掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能熟練應(yīng)用，求點(diǎn)分有向線段所成比時(shí)，可借助圖形來(lái)幫助理解?！久}規(guī)律】重點(diǎn)考查定義和公式，主要以選擇題或填空題型出現(xiàn)，難度一般。由于向量應(yīng)用的廣泛性，經(jīng)常也會(huì)與三角函數(shù)，解析幾何一并考查，若出現(xiàn)在解答題中，難度以中檔題為主，偶爾也以難度略高的題目。例8、(2008湖南理)設(shè)D、E、F分別是ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且則與( )A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直解：由定比分點(diǎn)的向量式得:同理，有：以上三式相加得所以選A

18、.點(diǎn)評(píng)：利用定比分點(diǎn)的向量式，及向量的運(yùn)算，是解決本題的要點(diǎn).考點(diǎn)四：向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題【內(nèi)容解讀】向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題，考查了向量的知識(shí)，三角函數(shù)的知識(shí)，達(dá)到了高考中試題的覆蓋面的要求?！久}規(guī)律】命題以三角函數(shù)作為坐標(biāo)，以向量的坐標(biāo)運(yùn)算或向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，也有向量與三角函數(shù)圖象平移結(jié)合的問(wèn)題，屬中檔偏易題。例9、（2008深圳福田等）已知向量 ,函數(shù)(1)求的最小正周期; (2)當(dāng)時(shí), 若求的值解：(1) . 所以，T. (2) 由得， 點(diǎn)評(píng)：向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題是當(dāng)前的一個(gè)熱點(diǎn)，但通常難度不大，一般就是以向量的坐標(biāo)形式給出與三角函數(shù)有關(guān)的條件，

19、并結(jié)合簡(jiǎn)單的向量運(yùn)算，而考查的主體部分則是三角函數(shù)的恒等變換，以及解三角形等知識(shí)點(diǎn).例10、（2007山東文）在中，角的對(duì)邊分別為（1）求；（2）若，且，求解：（1）又 解得，是銳角（2）由， ，又點(diǎn)評(píng)：本題向量與解三角形的內(nèi)容相結(jié)合，考查向量的數(shù)量積，余弦定理等內(nèi)容。例11、（2007湖北）將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的解析式為（）解： 由向量平移的定義，在平移前、后的圖像上任意取一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則，代入到已知解析式中可得選 點(diǎn)評(píng)：本題主要考察向量與三角函數(shù)圖像的平移的基本知識(shí)，以平移公式切入，為中檔題。注意不要將向量與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的順序搞反，或死記硬背以為是先向右平移個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單

20、位，誤選考點(diǎn)五：平面向量與函數(shù)問(wèn)題的交匯【內(nèi)容解讀】平面向量與函數(shù)交匯的問(wèn)題，主要是向量與二次函數(shù)結(jié)合的問(wèn)題為主，要注意自變量的取值范圍?！久}規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中檔題。例12、（2008廣東六校聯(lián)考）已知向量(cosx，sinx)，()，且x0，（1）求（2）設(shè)函數(shù)+，求函數(shù)的最值及相應(yīng)的的值。解：（I）由已知條件： ， 得： （2）因?yàn)椋?，所以：所以，只有?dāng)： 時(shí)， ，或時(shí)，點(diǎn)評(píng)：本題考查向量、三角函數(shù)、二次函數(shù)的知識(shí)，經(jīng)過(guò)配方后，變成開(kāi)口向下的二次函數(shù)圖象，要注意sinx的取值范圍，否則容易搞錯(cuò)。考點(diǎn)六：平面向量在平面幾何中的應(yīng)用OxACBa例13圖yACBaQP【內(nèi)容解讀】向

21、量的坐標(biāo)表示實(shí)際上就是向量的代數(shù)表示在引入向量的坐標(biāo)表示后，使向量之間的運(yùn)算代數(shù)化，這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起因此，許多平面幾何問(wèn)題中較難解決的問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)化為大家熟悉的代數(shù)運(yùn)算的論證也就是把平面幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，賦予幾何圖形有關(guān)點(diǎn)與平面向量具體的坐標(biāo)，這樣將有關(guān)平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決【命題規(guī)律】命題多以解答題為主，屬中等偏難的試題。例13、如圖在RtABC中，已知BC=a，若長(zhǎng)為2a的線段PQ以A為中點(diǎn)，問(wèn)與的夾角取何值時(shí)， 的值最大？并求出這個(gè)最大值。 解：以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面

22、直角坐標(biāo)系。設(shè)|AB|=c，|AC|=b，則A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則Q（-x，-y），cx-by=a2cos.=- a2+ a2cos.故當(dāng)cos=1，即=0（方向相同）時(shí)，的值最大，其最大值為0.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的概念，運(yùn)算法則及函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，平面向量與幾何問(wèn)題的融合?？疾閷W(xué)生運(yùn)用向量知識(shí)解決綜合問(wèn)題的能力。平面向量 全章檢測(cè)說(shuō)明：本試卷分第卷和第卷兩部分.第卷60分，第卷90分，共150分，答題時(shí)間120分鐘.第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（每小題5分，共60分，請(qǐng)將所選答案填在括號(hào)內(nèi)）1在ABC中，

23、一定成立的是（ ）AasinA=bsinB BacosA=bcosB CasinB=bsinADacosB=bcosA 2ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，則ABC為（ ） A直角三角形B等腰直角三角形C等邊三角形D等腰三角形3在ABC中，較短的兩邊為,且A=45°,則角C的大小是（ ）A15°B75C120°D60°4在ABC中，已知,則·等于（ ）A2B2C±2D±45設(shè)A是ABC中的最小角，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）Aa3Ba1C1a3Da06在ABC中,三邊長(zhǎng)AB=7，BC=5，AC=6，則·

24、;等于（ ）A19B14C18D197在ABC中，AB是sinAsinB成立的什么條件（ ）A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要 8若ABC的3條邊的長(zhǎng)分別為3，4，6，則它的較大的銳角的平分線分三角形所成的兩個(gè)三角形的面積比是（ ）A11B12C14D34 9已知向量，若與垂直，則實(shí)數(shù)=（ ）A1B1C0D2 10已知向量a=，向量b=，則|2ab|的最大值是（ ）A4B4C2D211已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(ab)垂直的（ ）A充分但不必要條件 B必要但不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件12有一長(zhǎng)為1公里的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則坡底要伸長(zhǎng)（ ）A1公里Bsin10°公里Ccos10°公里Dcos20°公里第卷（非選擇題，共90分）二、填空題（每小題4分，共16分，答案填在橫線上）13在ABC中，BC=3，AB=2，且，A= .14在ABC中，已知AB=l，C=50°，當(dāng)B= 時(shí)，BC的長(zhǎng)取得最大值.15向量a、b滿足（ab）·（2a+b）=4，且|a|=2，|b|=4，則a與b夾角的余弦值等于 .16已知ab、c與a、b的夾角均為60°，且|a|=1,|b|=2,|c|