第24課時直角三角形和勾股定理

1、備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計第第24課時課時 直角三角形和勾股定理直角三角形和勾股定理備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計12015淮安淮安下列四組線段中，能組成直角三角形的是下列四組線段中，能組成直角三角形的是( )Aa1，b2，c3 Ba2，b3，c4Ca2，b4，c5 Da3，b4，c52在在RtABC中，中，C90，B30，斜邊，斜邊AB的長為的長為2 cm，則，則AC長為長為 ( )小題熱身小題熱身DC備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸

2、類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計32014昆明昆明如圖如圖241，在，在RtABC中，中，ACB90，AB10 cm，點，點D為為AB的中點，則的中點，則CD_cm5圖圖241備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計42015永康模擬永康模擬如圖如圖242為一圓柱體工藝品，其底面周長為一圓柱體工藝品，其底面周長為為60 cm，高為，高為25 cm，從點，從點A出發(fā)繞該工藝品側(cè)面一周鑲嵌出發(fā)繞該工藝品側(cè)面一周鑲嵌一根裝飾線到點一根裝飾線到點B，則該裝飾線最短長為，則該裝飾線最短長為_cm.圖圖24265備考基礎(chǔ)備考

3、基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計一、必知一、必知3 知識點知識點1直角三角形直角三角形定義：有一個角是直角的三角形是直角三角形定義：有一個角是直角的三角形是直角三角形直角三角形性質(zhì)：直角三角形性質(zhì)：(1)直角三角形的兩個銳角直角三角形的兩個銳角_；(2)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的_；(3)在直角三角形中，在直角三角形中，30的角所對的邊等于斜邊的的角所對的邊等于斜邊的_直角三角形判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形判定：有兩個角互余的三角形是_三角三角形形考點管理考點管理互余互余一半一半一半一半直角直角備

4、考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計2勾股定理勾股定理勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別為勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊，斜邊為為c，那么，那么a2b2_.c2備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計【智慧錦囊智慧錦囊】勾股定理的作用：勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的兩條邊，求第三邊；已知直角三角形的兩條邊，求第三邊；(2)已知直角三角形的一邊，確定另外兩邊的關(guān)系；已知直角三角形的一邊，確定另外兩邊的關(guān)系；(3)證明帶有平方關(guān)系的問題；證明帶有平方關(guān)系的問題；(

5、4)把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中應(yīng)用勾股定理的問題把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中應(yīng)用勾股定理的問題備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計3勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為a，b，c，滿足滿足a2b2c2，那么這個三角形是，那么這個三角形是_三角形三角形勾股數(shù)：能構(gòu)成直角三角形的三條邊長的三個正整數(shù)，稱勾股數(shù)：能構(gòu)成直角三角形的三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)為勾股數(shù)直角直角【智慧錦囊智慧錦囊】勾股定理逆定理的應(yīng)用：勾股定理逆定理的應(yīng)用：(1)判斷三角形的形狀；判

6、斷三角形的形狀；(2)證明兩條線段垂直；證明兩條線段垂直；(3)實際應(yīng)用實際應(yīng)用備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計二、必會二、必會2 方法方法1面積法面積法用面積法證明是常用的技巧之一，勾股定理的證明通常用用面積法證明是常用的技巧之一，勾股定理的證明通常用面積法即利用某個圖形的多種面積求法或面積之間的和面積法即利用某個圖形的多種面積求法或面積之間的和差關(guān)系列出等式，從而得到證明的結(jié)論差關(guān)系列出等式，從而得到證明的結(jié)論2數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想在一些實際問題中，如解決立體圖形側(cè)面兩點的距離問在一些實際問題中，如解決立體圖形側(cè)面兩點的距離問題

7、，折疊問題，航海問題，梯子下滑問題等，常直接或間題，折疊問題，航海問題，梯子下滑問題等，常直接或間接運用勾股定理及其逆定理，在解決這些問題時，充分體接運用勾股定理及其逆定理，在解決這些問題時，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，是中考的熱點考題現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，是中考的熱點考題備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計三、必明三、必明3 易錯點易錯點1在利用勾股定理時，確定所給的邊是直角邊還是斜邊，如在利用勾股定理時，確定所給的邊是直角邊還是斜邊，如果題中未說明，需要分類討論果題中未說明，需要分類討論2在已知三角形三邊的前提下，判斷這個三角形是否為直角在已知

8、三角形三邊的前提下，判斷這個三角形是否為直角三角形，首先要確定三條邊中的最大邊，再根據(jù)勾股定理三角形，首先要確定三條邊中的最大邊，再根據(jù)勾股定理的逆定理來判定解題時，往往受思維定式的影響，誤認的逆定理來判定解題時，往往受思維定式的影響，誤認為如果是直角三角形，則為如果是直角三角形，則c是斜邊，從而造成誤解是斜邊，從而造成誤解3直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，這個性質(zhì)定理直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，這個性質(zhì)定理常用于證明一條線段是另一條線段的一半的數(shù)量關(guān)系注常用于證明一條線段是另一條線段的一半的數(shù)量關(guān)系注意直角三角形這一前提條件意直角三角形這一前提條件備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類

9、探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計類型之一直角三角形的性質(zhì)的運用類型之一直角三角形的性質(zhì)的運用 2015黃岡黃岡如圖如圖243，在，在ABC中，中，C90，B30，邊，邊AB的垂直平分的垂直平分線線DE交交AB于點于點E，交，交BC于點于點D，CD3，則則BC的長為的長為 ( )圖圖243C備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計【解析解析】線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等，線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等，ADBD，可得，可得DAE30，易得，易得ADC60，CAD30，則，則AD為為BAC的角平分線，

10、由角平分線的的角平分線，由角平分線的性質(zhì)得性質(zhì)得DECD3，再根據(jù)直角三角形，再根據(jù)直角三角形30角所對的直角角所對的直角邊等于斜邊的一半可得邊等于斜邊的一半可得BD2DE6.所以所以BC9.備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計2015湖北湖北如圖如圖244，在，在ABC中，中，B30，BC的垂直平分線交的垂直平分線交AB于于點點E，垂足為，垂足為D，CE平分平分ACB.若若BE2，則，則AE的長為的長為( )【解析解析】在在ABC中，中，B30，BC的垂直平分線的垂直平分線交交AB于于E，BE2，BECE2，BDCE30，CE平分平分AC

11、B，圖圖244B備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計ACEDCE30，ACB2DCE60，A180BACB90.在在RtCAE中，中，備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計類型之二勾股定理的應(yīng)用類型之二勾股定理的應(yīng)用 2015常州常州如圖如圖245是根據(jù)某公園的平面示意圖建立是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標系，公園的入口位于坐標原點的平面直角坐標系，公園的入口位于坐標原點O，古塔位于，古塔位于點點A(400，300)，從古塔出發(fā)沿射線，從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行方向前行300

12、m是盆是盆景園景園B，從盆景園，從盆景園B向左轉(zhuǎn)向左轉(zhuǎn)90后直行后直行400 m到達梅花閣到達梅花閣C，則點則點C的坐標是的坐標是_(400，800)圖圖245備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計【解析解析】根據(jù)題意結(jié)合全等三角形根據(jù)題意結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出的判定與性質(zhì)得出AOD ACB(SAS)，進而得出，進而得出C，A，D也在一條也在一條直線上，求出直線上，求出CD的長即可得出的長即可得出C點坐點坐標標如答圖，連結(jié)如答圖，連結(jié)AC，由題意可得由題意可得AB300 m，BC400 m，在在AOD和和ACB中，中，例例2答圖答圖備

13、考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計AOD ACB(SAS)，CABOAD，B，O在一條直線上，在一條直線上，C，A，D也在一條直線上，也在一條直線上，ACAO500 m，則，則CDACAD800 m，C點坐標為點坐標為(400，800)備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計2014東營東營如圖如圖246，有兩棵樹，一棵，有兩棵樹，一棵高高12 m，另一棵高，另一棵高6 m，兩樹相距，兩樹相距8 m一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行樹梢，

14、問小鳥至少飛行_m.【解析解析】根據(jù)根據(jù)“兩點之間線段最短兩點之間線段最短”可可知，小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，飛行的路程最知，小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，飛行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出如答圖，大樹高為如答圖，大樹高為AB12 m，小樹高為，小樹高為CD6 m，過過C點作點作CEAB于于E，則四邊形，則四邊形EBDC是矩形，連結(jié)是矩形，連結(jié)AC，10圖圖246備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計EB6 m，EC8 m，AEABEB6(m)，故小鳥至少飛行故小鳥至少飛行10

15、 m.變式跟進答圖變式跟進答圖備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計類型之三勾股定理與拼圖類型之三勾股定理與拼圖 2015株洲株洲如圖如圖247是是“趙爽弦圖趙爽弦圖”，ABH，BCG，CDF和和DAE是四個全等的直角三角形，四邊是四個全等的直角三角形，四邊形形ABCD和和EFGH都是正方形如果都是正方形如果AB10，EF2，那么，那么AH等于等于_.【解析解析】設(shè)設(shè)DE為為a，由四個直角三角形，由四個直角三角形全等可得全等可得DFDE2AE，AD2AE2DE2.a2(a2)2100a6，a8(舍去舍去)，AH6.圖圖2476備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)

16、歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計1如圖如圖248是一株美麗的勾股樹，其中所是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為的面積分別為2，5，1，2，則最大的，則最大的正方形正方形E的面積是的面積是_.【解析解析】根據(jù)勾股定理的幾何意義，可根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得得A，B的面積和為的面積和為S1，C，D的面積和為的面積和為S2，S1S2S3，即即S3251210.圖圖24810備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學

17、習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計2如圖如圖249，四邊形，四邊形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，都是正方形，邊長分別為邊長分別為a，b，c，A，B，N，E，F(xiàn)五點在同一條直線五點在同一條直線上，則上，則c_ (用含有用含有a，b的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示)圖圖249備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計32015煙臺煙臺如圖如圖2410，正方形，正方形ABCD的邊長為的邊長為2，其面積標記為，其面積標記為S1，以，以CD為斜邊作等腰直角三角為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作

18、正方形，其面積標角邊為邊向外作正方形，其面積標記為記為S2，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則則S2 015的值為的值為 ( )圖圖2410C備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計【解析解析】根據(jù)題意，第一個正方形的邊長為根據(jù)題意，第一個正方形的邊長為2；備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計【點悟點悟】勾股定理既反映了直角三角形三邊關(guān)系，同時勾股定理既反映了直角三角形三邊關(guān)系，同時也反映了以直角三角形三邊為正方形的面積關(guān)系，是勾股也反映了以直角三角形三邊為正方形的面積關(guān)系，是勾股定

19、理另一種表現(xiàn)形式定理另一種表現(xiàn)形式備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計類型之四平面展開最短線段問題類型之四平面展開最短線段問題 2015資陽資陽如圖如圖2411，透明的圓柱形容，透明的圓柱形容器器(容器厚度忽略不計容器厚度忽略不計)的高為的高為12 cm，底面周，底面周長為長為10 cm，在容器內(nèi)壁離容器底部，在容器內(nèi)壁離容器底部3 cm的點的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿壁，且離容器上沿3 cm的點的點A處，則螞蟻吃到處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是飯粒需爬行的最短路徑是(

20、 )A圖圖2411備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計【解析解析】如答圖，將容器側(cè)面展開，建立如答圖，將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于關(guān)于EF的對的對稱點稱點A，根據(jù)兩點之間線段最短可知，根據(jù)兩點之間線段最短可知AB的長度即最短路的長度即最短路徑徑如答圖，高為如答圖，高為12 cm，底面周長為，底面周長為10 cm，在，在容器內(nèi)壁離容器底部容器內(nèi)壁離容器底部3 cm的點的點B處有一飯粒，處有一飯粒，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3 cm與飯粒相對的點與飯粒相對的點A處，處，AD5 cm，BD123AE12 c

21、m，將容器側(cè)面展開，作將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于關(guān)于EF的對稱點的對稱點A，連結(jié)連結(jié)AB，則，則AB即為最短距離，即為最短距離，例例4答圖答圖備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計12015杭州模擬杭州模擬如圖如圖2412是一塊長、是一塊長、寬、高分別是寬、高分別是6 cm，4 cm和和3 cm的長方的長方體木塊一只螞蟻要從長方體木塊的一體木塊一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體處，沿著長方體的表面到長方體上和上和A點相對的頂點點相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是

22、徑的長是 ( )圖圖2412C備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計【解析解析】如答圖，如答圖，AB就是螞就是螞蟻爬的最短路線蟻爬的最短路線但有三種情況：但有三種情況：當當AD3，DB4610，變式跟進變式跟進1答圖答圖備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計22014濰坊濰坊我國古代有這樣一道數(shù)學問題：我國古代有這樣一道數(shù)學問題：“枯木一根直立枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？其頂，問葛藤之長

23、幾何？”題意是：如圖題意是：如圖2413所示，把枯所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為尺，底面周長為3尺，有葛藤自點尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點其末端恰好到達點B處則問題中葛藤的最短長度是處則問題中葛藤的最短長度是_尺尺25圖圖2413備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計【解析解析】如答圖，一條直角邊如答圖，一條直角邊(即枯木的高即枯木的高)長長20尺，另一條直角邊長尺，另一條直角邊長5315(尺尺)，故答案為故答

24、案為25.【點悟點悟】在求幾何體表面上兩點之間的在求幾何體表面上兩點之間的最短距離時，可以通過把立體圖形展開成平面圖形，利用最短距離時，可以通過把立體圖形展開成平面圖形，利用勾股定理求出幾何體表面上兩點之間的距離勾股定理求出幾何體表面上兩點之間的距離變式跟進變式跟進2答圖答圖備考基礎(chǔ)備考基礎(chǔ)歸類探究歸類探究練出高分練出高分全效學習全效學習 學案導學設(shè)計學案導學設(shè)計類型之五勾股定理中的逆定理類型之五勾股定理中的逆定理 如圖如圖2414，點，點E是正方形是正方形ABCD內(nèi)的內(nèi)的一點，連結(jié)一點，連結(jié)AE，BE，CE，將，將ABE繞點繞點B順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90到到CBE的位置若的位置若AE1，BE2，CE3，則，則BEC_.【解析解析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出EBE90，BEBE2，AEEC1，進而根據(jù)勾股定理的逆定理求出，進而根據(jù)勾股定理的逆定理求出EEC是直角三角形，進