奧數(shù)格點(diǎn)與面積

1、名師點(diǎn)按學(xué)科：奧數(shù)教學(xué)內(nèi)容：第六講 格點(diǎn)與面積生活中我們常借助一些工具來迅速簡(jiǎn)便的解決一些問題， 如為了能捕到魚，人們制作了 魚鉤和網(wǎng)。同樣在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，為了更好的解決問題聰明的人類也創(chuàng)造了一些“工具” 。 這一講我們主要介紹利用格點(diǎn)求幾何圖形的面積。先來介紹什么是“格點(diǎn)” 。見下圖：這是一張由水平線和垂直線組成的方格紙，我們把水平線和垂直線的交點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”，水平線和垂直線圍成的每個(gè)小正方形稱為“面積單位”。圖中帶陰影的小方格就是一個(gè)面積單位。借助格點(diǎn)圖，我們可以很快的比較或計(jì)算圖形的面積大小。利用格點(diǎn)求圖形的面積通常有兩種思路，一是直接將圖形分成若干個(gè)面積單位，然后通過計(jì)算有多少個(gè)面積單

2、位來求圖形面積；二是將某些圖形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的面積來求。當(dāng)然還可以將這兩種方法結(jié)合起來，求出某些較復(fù)雜圖形的面積。例1計(jì)算下圖中各圖形的面積：分析：先仔細(xì)觀察圖中的每個(gè)圖形，選擇方法。顯然第一、三、六圖可以直接數(shù)出包含 多少個(gè)面積單位即可。而二、四、五圖顯然不適合用數(shù)單位面積的方法來求面積，可以采用 虛線把這些圖形擴(kuò)展或割補(bǔ)成長(zhǎng)方形，通過求長(zhǎng)方形面積來求這些圖形面積。解答：(1 )圖中長(zhǎng)方形包括 3 X2=6 (個(gè))面積單位，所以它的面積為6。(2) 將圖中平行四邊形割補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的面積為3 X2=6 ,而平行四邊形的面積等于長(zhǎng)方形面積，所以平行四邊形的面積為3 X2=6。(3) 將圖

3、中三角形用虛線分成 3塊，它包含有1個(gè)面積單位和2個(gè)面積單位的一半， 合起來有2個(gè)面積單位，所以它的面積為2。(4) 圖中將三角形擴(kuò)展成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的面積為 3X2=6 ,而三角形面積為長(zhǎng)方形面積的一半，則三角形面積為3。(5) 將圖中梯形的互相平行的一組對(duì)邊延長(zhǎng)，補(bǔ)出一個(gè)和原來梯形方向顛倒，但面積一樣的梯形，形成一個(gè)大的長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形的面積為(2 + 4)X3=18，而梯形的面積為長(zhǎng)方形的面積的一半。所以梯形的面積為：(2 + 4)X3 +2=9。(6) 將圖中梯形用虛線分成 3塊，它包含有5個(gè)面積單位和2個(gè)面積單位的一半，合 起來有6個(gè)面積單位，所以它的面積為6。例2計(jì)算下面這個(gè)格點(diǎn)

4、多邊形的面積。分析：這是一個(gè)不規(guī)則的多邊形，不能直接求出它的面積?？捎瞄L(zhǎng)方形的面積減去個(gè)直角三角形的面積，如圖 1所示；另外還可將該四邊形分割成幾塊，如圖2。解答：方法一：3 X4 （ 2 X1 -2 + 2 X1 -2 + 2 X2 -2 + 3 X1 -2） =6.5 （面積單位）方法二：1 X2 -2 + 1 X3 -2 + 1 X1 -2 + 3 X1 -2 + 1 X2=6.5 （面積單位）囹I圈2例3相鄰四點(diǎn)連成的小正方形面積為1平方厘米。分別連接各點(diǎn)，組成下面 12個(gè)圖形，你發(fā)現(xiàn)有什么排列的規(guī)律？算出各圖形的面積。找出圖形外面一周的點(diǎn)子數(shù)、中間的點(diǎn)子數(shù)與面積三者之間的關(guān)系。橫看，

5、從左往右圖形一周的格點(diǎn)數(shù)逐漸增多，中間的格點(diǎn)數(shù)不變;豎看，從上往下圖形一周的格點(diǎn)數(shù)不變，中間的格點(diǎn)數(shù)逐漸增多。圖形一周的格點(diǎn)數(shù)、中間的格點(diǎn)數(shù)與面積究竟有什么關(guān)系呢？我們可以將圖形按中間沒 有個(gè)點(diǎn)、中間有一個(gè)格點(diǎn)和中間有兩個(gè)格點(diǎn)進(jìn)行分組列表分析。中間沒有格點(diǎn)時(shí)，面積第（1 ）組圖形編號(hào)D )一周格點(diǎn)數(shù)4684中間格點(diǎn)數(shù)(| 00面積（平方厘米）23106周格點(diǎn)數(shù)十21第（2 ）組圖形編號(hào)D ）一周格點(diǎn)數(shù)46184中間格點(diǎn)數(shù)11 1面積(平方厘米)2:347中間有一個(gè)格點(diǎn)時(shí)，面積 =一周格點(diǎn)數(shù)十2+( 1 1 )第(3 )組圖形編號(hào)D )一周格點(diǎn)數(shù)46184中間格點(diǎn)數(shù)2: 22 2面積(平方厘米)

6、3i458中間有兩個(gè)格點(diǎn)時(shí)，面積 =一周格點(diǎn)數(shù)十2+( 2 1 )解答：(1)中間格點(diǎn)數(shù)相冋時(shí)，圖形的面積隨著一周的格點(diǎn)數(shù)增加而增加；當(dāng)一周的格點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，圖形的面積同樣隨著中間的格點(diǎn)數(shù)增加而增加。(2 )各圖形的面積見表格。各圖形面積的大小與一周的格點(diǎn)數(shù)、中間的格點(diǎn)數(shù)都有關(guān)系，格點(diǎn)圖形的面積計(jì)算公式是: 圖形面積=圖形一周的格點(diǎn)數(shù)十2+(中間格點(diǎn)數(shù)一1 )說明：格點(diǎn)圖形的面積求法很靈活，不要死記公式，要具體題目具體研究。例4 下圖是一個(gè)漂亮禮盒的平面圖，請(qǐng)你求出它的面積:分析：這是一個(gè)組合圖形， 面積可分成幾個(gè)部分來求。 本圖可分為兩個(gè)三角形和一個(gè)長(zhǎng) 方形三部分。每一部分面積的求法，因圖而異

7、。如兩個(gè)三角形需要擴(kuò)展成長(zhǎng)方形再求面積， 而長(zhǎng)方形只要直接數(shù)單位面積即可。解答：左邊三角形面積 =4 X4 1 X2-2 4 X3-2 4 X2-2=5 ;右邊三角形面積 =4 X4 1 X3 -2 X2 4 X4 -2 1 X仁4 ;長(zhǎng)方形的面積為6 X2=12 ;所以禮盒面積為：5 + 4 + 12=21說明：此題還可以直接用公式，請(qǐng)你自己試一試。例5 在下圖中有21個(gè)點(diǎn)，每相鄰三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)單位面積的等邊三角形，計(jì)算三角形 ABC的面積。分析：此題是一個(gè)三角形格點(diǎn)圖。每三個(gè)相鄰的格點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，為一個(gè)面積單位。三角形格點(diǎn)圖形面積的計(jì)算類似于正方形格點(diǎn)圖形面積的計(jì)算，可以直接數(shù)圖形所包

8、含的面積單位，也可將之轉(zhuǎn)化為幾個(gè)易求的三角形，在通過加減運(yùn)算得到。此題中三角形ABC的面積不能通過直接數(shù)格點(diǎn)面積來求，可以把它擴(kuò)展成三一個(gè)大三角形，再減；也可以把它分成幾個(gè)小的三角形，然后再加。解答：方法一：給三角形 ABC添加I、n及川部分小的三角形，則得到由25個(gè)單位三角形構(gòu)成的大三角形，現(xiàn)在只要分別求出i、n及川三個(gè)小三角形的面積即可。三角形I是一個(gè)平行四邊形的面積的一半，如圖4中的虛線平行四邊形。這個(gè)平行四邊形包含6個(gè)面積單位，所以他的面積為6，三角形I的面積為：6 +2=3同理，三角形n及川的面積分別為4和8,所以三角形ABC的面積為:25 3 4 8=10 （面積單位）方法二：將三

9、角形分成幾個(gè)易求面積的三角形（如圖3）。I的面積為1 X3=3 ,n的面積可直接數(shù)為1，川的面積為1 X2=2，"的面積為2 X2=4，于是三角形ABC的面積為：3+ 1 + 2 + 4=10。想一想：以三角形I為例，為什么這里三角形的面積可以用1 X3計(jì)算？可聯(lián)系方法一中三角形I面積的求法。說明：關(guān)于三角形格點(diǎn)多邊形的面積也有類似于正方形格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算公式?？梢园凑绽?的方法歸納總結(jié)，就可以得到三角形格點(diǎn)多邊形面積的計(jì)算公式：三角形格點(diǎn)多邊形的面積 =多邊形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù)X 2+多邊形周界上的格點(diǎn)數(shù)一 2。例6 在下圖中有45個(gè)正方形格點(diǎn)，過圖中三點(diǎn)連一個(gè)三角形，并且至少有一

10、條邊水 平或垂直。問共有多少個(gè)這樣的格點(diǎn)三角形？分析：如果要在圖中找一個(gè)面積為8的格點(diǎn)三角形很容易，但是要求出有多少個(gè)這樣的格點(diǎn)三角形就有些困難，不過功夫不負(fù)有心人，一定能找到方法。注意到待計(jì)數(shù)的格點(diǎn)三 角形的底與高的乘積為16，所以可以分類計(jì)數(shù)。解答：因?yàn)?6=4 X4=2 X8=8 X2，所以可以分為以下幾類來計(jì)數(shù)：（1） 每個(gè)4 X4的正方形中有4個(gè)直角三角形符合要求，總數(shù)為4 X5=20 （個(gè)）;（2） 每個(gè)2 X8的長(zhǎng)方形中也有 4個(gè)直角三角形符合要求，總數(shù)為4 X3=12 （個(gè)）；（3）符合要求的不是直角三角形的三角形有：4 X4,吐狀的有：5 X7=35 （個(gè)）；9狀的有：35個(gè)

11、；»狀的有：5 X3=15 （個(gè)）； V狀的有：15個(gè)；8 X2，狀的有：3 X7=21 （個(gè)）；狀的有：21個(gè)；2 X8 , »狀的有：3 X3=9 （個(gè)）； 叮狀的有：9個(gè)；共有：（35 + 15 + 21 + 9）X2=160（個(gè)）所以符合要求的三角形一共有：20 + 12 + 160=192 （個(gè)）閱讀材料有形狀的數(shù)最早把自然數(shù)和幾何圖形聯(lián)系在一起的是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯。畢達(dá)哥拉斯把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，又按小石子所能排列的形狀，尋找自然數(shù)與正三角形、正方形、正五 邊形之間的關(guān)系。畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小石子的數(shù)目是1、3、6、10等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成正三角形，

12、他把這些數(shù)叫做三角形數(shù)；當(dāng)小石子的數(shù)目是1、4、9、16等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成正方形，他把這些數(shù)叫做正方形數(shù)；當(dāng)小石子的數(shù)目是1、5、12、22等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成正五邊形，他把這些數(shù)叫做正五邊形數(shù)前en正方形數(shù)前五，正五邊寵數(shù)“形數(shù)之間的內(nèi)畢達(dá)哥拉斯還擺出了其它多邊形數(shù)。有趣的事，他還進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了各種 在聯(lián)系”。比如，每個(gè)大于i的正方形數(shù)都可以表示成兩個(gè)相鄰三角形數(shù)的和。4=1+3 ，9=3+6 ，16=6+10反過來，任意兩個(gè)相鄰的三角形數(shù)相加，必然是一個(gè)正方形數(shù)，也就是平方數(shù)。這從下面的圖形中可以得到證實(shí)。+n，第n個(gè)正畢達(dá)哥拉斯借助生動(dòng)的幾何直觀發(fā)現(xiàn)，第n個(gè)三角形數(shù)等于1+2+3+方

13、形數(shù)等于n2,根據(jù)這些規(guī)律，人們就可以寫出很多很多的形數(shù)了。1 計(jì)算下圖中各多邊形的面積（點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離都是1厘米）分析與解答：（1 ）直接計(jì)數(shù)，圖1中包含5個(gè)面積單位，所以它的面積為5 ；（2 ）直接計(jì)數(shù)，圖2中包含6個(gè)面積單位，所以它的面積為 6 ；（3） 將圖3分為上下兩部分，上面的長(zhǎng)方形包含有6個(gè)面積單位，下面的平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)1 X2的長(zhǎng)方形，所以面積為 2。圖3的面積為6 + 2=8 （面積單位）；（4）圖中包含2個(gè)面積單位和4個(gè)單位面積的一半，所以圖 4的面積為4 ;（5） 將圖5按下圖分割為上下兩部分，上面的包含3.5個(gè)面積單位，下面的面積為3X1 +2=1.5 （面

14、積單位），所以圖（6 ）直接計(jì)數(shù)，圖6中包含7個(gè)面積單位，所以它的面積為2 .下圖中喇叭、小貓、小狗的面積各是多少?分析與解答:（1）喇叭圖中包含 2個(gè)面積單位和2個(gè)面積單位的一半，所以它的面積為3 ;(2) 將小貓圖分為左右兩部分，頭與身子部分的面積為(可直接計(jì)數(shù))10,尾巴部分是一個(gè)平行四邊形，它的面積與一個(gè)單位面積相同，所以小貓圖的面積為11。(3) 小狗圖面積的求法與小貓圖形面積的求法相同，它的面積為6。說明：此題還有其他的分割方法，請(qǐng)你自己想一想。想一想：請(qǐng)你用格點(diǎn)圖形面積的計(jì)算公式試求每一個(gè)圖形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？是不 是每個(gè)圖都可以用公式計(jì)算，哪個(gè)可以，哪個(gè)不可以，為什么?3

15、求下圖中梯形的面積。分析與解答：這個(gè)梯形圖的一周共有 6個(gè)格點(diǎn)，中間共有16個(gè)格點(diǎn)，運(yùn)用正方形格點(diǎn) 圖形的面積公式的：6 +2 + 16 仁18 (面積單位)想一想：還有其他方法嗎？請(qǐng)你試做。4 下圖中三角形的面積分析與解答:方法一：這個(gè)三角形圖的一周共有6個(gè)格點(diǎn)，中間共有13個(gè)格點(diǎn)，運(yùn)用正方形格點(diǎn)圖形的面積公式的：6 +2 + 13 仁15 （面積單位）。方法二：將三角形擴(kuò)展成一個(gè) 6 X6的正方形時(shí)，增加了三個(gè)直角三角形，因?yàn)橹苯侨?角形的面積簡(jiǎn)單易求，所以我們將求三角形 ABC的面積轉(zhuǎn)化為求正方形的面積和直角三角 形的面積，然后求差即可。正方形的面積為36，左上角的直角三角形的面積為 2

16、 X6 +2=6 （面積單位），右下角的 直角三角形的面積為 3 X6 +2=9 （面積單位），右上角的直角三角形的面積為 4 X3 +2=6 （面 積單位），由此可得三角形 ABC的面積：36 6 9 6=15 （面積單位）5 下面圖中有 21個(gè)點(diǎn)，其中相鄰的三點(diǎn)所形成的等邊三角形的面積為1，試計(jì)算四邊形的面積。分析與解答：方法一：這個(gè)四邊形圖的一周共有4個(gè)格點(diǎn)，中間共有 5個(gè)格點(diǎn)，運(yùn)用三角形格點(diǎn)圖形的面積公式的：5 X2 + 4 2=12 （面積單位）。方法二：加一條輔助線，將四邊形分成下圖中的2個(gè)三角形，左上的三角形面積為4X仁4，右下的三角形面積為 4 X2=8，所以四邊形的面積為 4

17、 + 8=12 。6 計(jì)算下面三角形格點(diǎn)多邊形的面積分析與解答：這個(gè)六邊形圖的一周共有 7個(gè)格點(diǎn)，中間共有 8個(gè)格點(diǎn)，運(yùn)用三角形格點(diǎn)圖形的面積公式：8 X2 + 7 2=21 （面積單位）。7 計(jì)算下面三角形格點(diǎn)中多邊形的面積。分析與解答：方法一：這個(gè)多邊形圖的一周共有10個(gè)格點(diǎn)，中間共有9個(gè)格點(diǎn)，運(yùn)用三角形格點(diǎn)圖形的面積公式的：9 X2 + 10 2=26 （面積單位）。方法二：加輔助線將這個(gè)多邊形分成如下圖所示的三個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形。左下角的三角形為一個(gè)面積為 10的平行四邊形面積的一半是5,右上角的三角形的面積為3（請(qǐng)你自己找出它所在的平行四邊形），中間的等邊三角形的面積為4 X4

18、=16，小平行四邊形的面積為2，因此多邊形的面積為：5 + 3 + 16 + 2=26 （面積單位）&下圖中有16個(gè)格點(diǎn)，以圖中三點(diǎn)為頂點(diǎn)連一個(gè)三角形，并且至少有一條邊水平或垂直。問共有多少個(gè)這樣的格點(diǎn)三角形，面積分別是多少？分析與解答：以這16個(gè)格點(diǎn)中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)連成的三角形面積最多為整個(gè)圖形面積 的一半，即任一三角形的面積至多為3 X3 +2=4.5 （面積單位）。面積為4.5的直角三角形有 4個(gè)；面積為4.5的非直角三角形有 2 X4=8 （個(gè)）;面積為3 X2 +2=3的直角三角形有 4 X4=16 （個(gè)）；面積為3 X2 +2=3的非直角三角形有 6 X4=24 （個(gè)）;面積為2 X2 +2=2的直角三角形有 4 X4=16 （個(gè)）；面積為2 X2 +2=2的非直角三角形有 8 X4=32 （個(gè)）；面積為3 X1 +2=1 。 5的直角三角形有 4 X6=24 （個(gè)）；面積為3 X1 +2=1 。5