導(dǎo)數(shù)與微分解答

1、第二講導(dǎo)數(shù)與微分一、大綱考試要求1. 理解導(dǎo)數(shù)的概念及可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟意義（含邊際與彈性的概念），會求平面曲線的切線方程和法線方程.2 掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)的四則運算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求 分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 會求反函數(shù)與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).4了解微分的概念，導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系以及一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的 微分.二、內(nèi)容提要1. 導(dǎo)數(shù)的概念（變形，注意相應(yīng)的增量的含義幾何意義：切線與法線的求法。物理意義：速度，加速度。左，右導(dǎo)數(shù)的概念：f .（Xo）, f _（X°）;與記號：（X。*

2、0）的區(qū)別。2. 求導(dǎo)數(shù)的四則運算，復(fù)合運算，反函數(shù)，隱函數(shù)，參數(shù)方程決定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計算。（積分限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在定積分復(fù)習）3. 微分的概念與求法；可微，可導(dǎo)，連續(xù)的關(guān)系；微分在近似計算中的應(yīng)用；一階微分形 式的不變性。4. 高階導(dǎo)數(shù)（遞歸定義）1ax b多項式的高階導(dǎo)數(shù)；可求n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)形式：eax,sin ax, cosax, ,ln（ax b）等（注意變化為這類函數(shù)），萊布尼茲公式；分段函數(shù)在分斷點的高階導(dǎo)數(shù)；反函數(shù)，隱 函數(shù)，參數(shù)方程決定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。5. 基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式。三、?？贾R點1. 導(dǎo)數(shù)定義的考查2. 求已知函數(shù)（包括顯式、隱式、參數(shù)式及變上限積分確定的函數(shù)）

3、的導(dǎo)數(shù)或微分或高階 導(dǎo)數(shù)。3. 判斷函數(shù)在一點的可導(dǎo)性（常結(jié)合連續(xù)性、極限存在性）。分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即曲線的切線和法線的求法（曲線方程可以是顯式、隱式、參數(shù)方程 形式及極坐標形式）。導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟意義（含邊際與彈性的概念）5. 可導(dǎo)、可微、連續(xù)的關(guān)系。四、導(dǎo)數(shù)定義的考查例 1： f（x） x（x 1）（x 2）（x n），求 f （0）, f （-1）解:例 2： f (x) =(ex-1)(e2x-2)IH(enx -n), n為正整數(shù)，求 f (0)解 f'(0)XempHx2 xnx-1)(e-2) (e -n)xt1)n( n-1)!類似:例3:設(shè)f(0)存在，

4、f(0)=0 ,則八廠“)(A)-2 f (0)( B) 一 f (0)2x f (x) -2 f (x 解limx_0x33x(C)f (0)xf(x) 2f(x)3f'(0)(D) 0f(x)=(arctanx-1)(arctanx-2) (arctanx100 -100)求 f' (1)444例4：設(shè)函數(shù)f (x)在點x=a可導(dǎo)，則函數(shù)|f(x)|在點x=a不可導(dǎo)的充分條件是(A) f(a) =0, f (a) =0(B) f(a)=0, f (a) =0(C)f(a) 0, f (a) 0(D)f(a) ： 0, f (a) ： 0解 因為在x二a左右f (x)恒正恒負

5、，|f(x)|都可導(dǎo)，所以在x二a左右f (x) 一定是一邊 正，一邊負。即如 f '(a 0) = f '(a), f '(a - 0)二 f '(a)，可不導(dǎo)即是 f (a) =0, f (a) = 0例5：設(shè)x在la,b 上連續(xù)，且 a 0, f b ： 0 ,則下列結(jié)論中錯誤的是(A)至少存在一點xa,b，使得 f X。f a(A) f 0 =0且 f_ 0 存在(C) f 0 =0且 f . 0 存在(B) f 0 =1且 f_ 0 存在(D) f 0 =1且 f- 0 存在(B)至少存在一點 怡三i：a,b，使得f xof b(C)至少存在一點xa,

6、b，使得f x0 =0(D)至少存在一點 xiab，使得f x v0五、各類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)，微分的求法1.復(fù)合函數(shù)1 sinx 土例 7. y =1 n.,求 y 。V1 s inx1 . r 1 1 、y 1 nT21 +si nx 1 -si nx,1r cox cox , y' =se(x2 1 +si nx 1 -si nxy'' = se at a ix8：八 ln x，x2x 1,xdydx_1：12.參數(shù)方程決定的函數(shù)- 2X _t3決定y =t -t39.10.1 -3t2-2t12t2求曲線丿12tdyy = f (f(x)，則 J*X )f)

7、X'(閆 fx=e1f e'(f (e月 f' ( )f e U )'( )1二y(x)，求y”。(雪的求法)dy23t2 3t2 1 2t23+ 2"x = 2t + 3 + arctant2在t = 0處的切線與法線方程。y =2_3t+l n(1+t2)切點為(3,2)2-3 2t -3t3 t2d -3+ 2t2 dy _1 t2dx _ 2 丄 1 t2dy | _ 1 二11 Z0 _1_2 =x -3,y - -x 5 ,y =x -1dx所以切線方程為y法線方程為y3.隱函數(shù)22arctandx例 11. x y =e x 決定 y 二

8、 y(x)，求 y , y 。( 一 ,dy 的求法)dy解兩邊對x求導(dǎo)xy'-yyy2x 2yy'arctxan x2 a rctxanxyy2攻y2卞乂口xx yy'二 xy'y(1)y' =心x _y對(1)兩邊x求導(dǎo)21 (y') yy'' = y' xy''_y'1 (y')22(x2 y2)x-y (x-y)3例 12. <x = arctant”2宀5決定"，求。dx1dt _1 t2dy2 dyy dy2y -2ty ey 0dtdt dtdy =y2dt e

9、y -2ty 22 2dy _ y (1 t)dx ey -2ty 24 幕指函數(shù)(取對數(shù)或用f(x)g(x) =eg(x)lnf(x)1 2x例 13. y =(1)，求 y (1)。x2xl n1et!) 解 y = e x2xl n1( L)1=e x 2 In + _) + x-21 xy'(1)二e2ln22ln2 -1例 14. yX 二 xy 確定了 y 二 y(x)，求 dy。解兩邊去對數(shù)即xln y = y ln xxyIn ydx dy 二 In xdy dxyx2 2xy In ydx x dy = xy In xdy y dxxyln y - y2dy亍 dxx

10、yl n x x5.多個因子乘積的函數(shù)(多個指至少 3個)例 15. y =x(2x-5)3.23，求y。(形式寫法)(x2 1)3(3x 1)解兩邊取對數(shù). 1In y =2丄In x +3ln 2x-5 -3ln x2 +1 -In 3x+1兩邊求導(dǎo),1 x(2x5)3 r1 2 門 2x 3 ny233-3 2-2 ； (x2 1)3(3x 1) x 2x5x2 1 3x 1例 16. f (x) =x(x 1)(x2) (x n)，求 f(n 1) (x)。解 f (n d) (x (n 1)!6.分段函數(shù)17.x2+ 1,x>0 卡,求y。cosx,x 冬 02xs i nxf

11、'(x) =f'(0 0) =0; f'(0-0) =0f2x= f'(x)=' sin x例 18. y = e|x ，求 y。ea_x) _ey" = f'(x) = *f'(a 0) =1; f'(a -0)即4)_e(axx _0x : 0例 19. f (x)二(x2 -x2) |3x - x|有幾個不可導(dǎo)點?(x2 x 2)(xx3) =x(x +1)2(x2)(1x) x<1解(x2x2)(x3x)=x(x+1)2(x2)(x1)1£xc0(x _x_2)(x_x ) = x(x + 1)

12、(x_2)(1_x)0<XV1232(x _x2)(x _x) = x(x + 1) (x_2)(x_1) x>1=0f'(-1) = lim f(X)_f(_1) =lim (x-2)x3-x所以I .、，2 ,|xx -1xlim f(X)_ f(叭 lim (x -2)(x 1)x0乂x0lim I不存在f'(0)不存在f (x) - f (-1)f'( -1) = lim J x +1f(x)-f(1)|limlim(x-2)(x 1) x(x 1)X 1 x _1X1x -1=lim (x 2) x -xx >J=0x -1x -1x 1不存

13、在f'(0)不存在例 20. f(x)=im n1 xnx2 n,x 0，求 f (x)。21nfx2T1 +x +解 f(x)=limn_jpc1x2x20 ： x _ 11 ： x ： 2x_2f'(x)01 ： x : 2而且函數(shù)f (x)在x=1,2不可導(dǎo)x 20f'(x)x1 ： x : 2x 2例 21 . f (x)二存在。解(1)f'(x)f (0)2ax bx c, x _ 0xe2ax+b,2e2x,存在 故f(x)是連續(xù)函數(shù)，故，求(1)a,b,c，使 f (0)存在。(2)a,b,c，使廠(0)x : 0f (0 0)=b= f'

14、(0-0)=2f(0 0)=c= f(0_0) =1,c = 1,a 任意(2) f (0)存在即 f(0)存在,2a,4e2x,f (0)存在即7.反函數(shù)例22.不求出反函數(shù)，計算y二In(x1 x2)的反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)d2xd?dxdy 一1dydx1 x、1x2L 2X 、1 X=.1 x2d2xdy22x dxx'壽 2t2例 設(shè)函數(shù)y = y(x)是有y Jeu du1 ut . 1所確定的求d2ydx2km2 J x2 dy8.積分限函數(shù)(在定積分一章復(fù)習)2e1 2Intdydxt(1 2lnt)4t2(1 2I nt)2e2d y |t |-edx22(1 21 nt)

15、29(1 41 n 3)29. n階導(dǎo)數(shù)的其它例子例23.2x -3x2 3x -4y(10)2x-3111'一 x2 3x -4 一 5(x 4)5(x1)y(n)(-1)n n!11(x 4)n 11n 1(x-1)例 24.設(shè) f (x)二 f 2 (x) , n 2，則 f(n) (x)二 n! f n 1 (x)解 f (x)二 f 2(x)f''(x) =2f (x)f'(x) =2f3(x)f'''(x)=2 3f 2(x)f'(x) =2 3f 4(x)f(n)(x) =2 3 nfn lx)二 n!fn 1(x)

16、例25. y = x2 sinx,求y(8)(?)。(萊布尼茲公式的適用范圍)(8)28 7二、解 y =xsinX 8) 8 2xsinx(7 )2s i nx( 6 )2 2 2 2所以(8)一一 n 2（2）928 72 =2456例 y =arct axi，求 y(n) (0)。解 y'Ip(1 x2)y11 +x0 =(1 x2)y')(z =(1 x2)y(n) 2(n-1)xy(n(n-1)(n-2)y2。0 = y(n)(0) (n-1)(n -2)y(n)(0) y(n)(0) = -(n -1)(n-2)y(n)(0)所以y(n)(0) (n -1)(n -

17、2)y(n刀(0) =(-1)2(n -1)(n -2)(n -3)(n -4)y(n-4)(0)'0n = 2m-J-1)m(2m)!n = 2m+1例 y 二 ex si nx，求 y(n)。.xf- x兀、解 y' = e (s i x co s<) = 2e s i nX )42y''= *2e (sin(x十一)+cos(x +) = (J2) e sinx十2)444所以(n)- n xn 二y =(%2) e s i nx 十)46.雜例例26 .設(shè)f(x)在x0處有f(x。)= f (x°) = 0 ,(x)在x。的某鄰域內(nèi)有界。

18、證明F x)二 f (x) (x 在 x0 處可導(dǎo)，并求 F(Xo)。解 limimd 迪：(xrO = F'(X0)X - 冷0X - x0lim. f (x) _ _： _ lim _f (x)=:x整f(x)十。例27設(shè)f(x)可導(dǎo)，則(D )。f (x)-:二Alim f(x) _ _： lim f (x)_：Clim二f (x) _ ：二 lim二f (x)二:：,y 二 y(t)的例28作變量代換x=si nt將微分方程（1-x2）d y -xdy a20化為關(guān)于 dx2dx微分方程（并求方程的通解）。解 dy = dy dt =1 dydx dt dx cost dt2

19、2d y sin t dy 1 d y dx2 cos31 dt cos21 d 2td y 222ay=0 r a=0 r = ai d2ty = q cosax c2sin ax且 g(0) =1©(0) 一 1例 設(shè)函數(shù)f(x) = x x"其中g(shù)(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),0 x = 0求(1) f ' (x) ( 2)討論f'(x)在(一3, ：)上的連續(xù)性。(1)f'(x)“l(fā)imx(g'(x) e)_(g(x) _e)2xg(x) -e2xg''(0)-12g''(0)-12(2)limf'(x

20、)“imx(g'(x) (ggr.limxg'gr)XTTx2T 2xf'(x)在(：，=)上是連續(xù)的。 1 亠例29設(shè)f(x)= jxarctan x2，x = 0，討論廠在x = 0處的連續(xù)性。0,x = 02x1arcta n-y4,f'(x)二x2 x4 +1 lim =limarct8?n = x 0 x x ：ox 2f (x)在x = 0處是連續(xù)的。例30已知一個長方形的長l以2cms的速率增加，寬 w以3cms的速率增加，則當l =12cm, w =5cm時，它的對角線增加的速率為 3cm s小 dl c dw,2l十 2W丄 L2C解對角線ds

21、 ._dtdt_ | = 12 2 5 3 = 3dt |t02 w213例31：曲線tan(x +y+=) =ey在點(0,0)處的切線方程為，法線方程為42二y2 二解 sec (x y 4)(1y') =e y' sec -(1y'(0) =y'(0)y'(0)：1切線方程y=-2x法線方程為 y x2七、補充：邊際成本、邊際收益、邊際利潤，彈性，需求(對價格)彈性，收益(對價格) 彈性，需求對收入的彈性例32 02年數(shù)四:設(shè)某商品需求量 Q是價格 p的減函數(shù) Q=Q（p），其需求彈性22p 20，（ 1） R為總收益函數(shù)，證明 當=Q（1r）（2

22、）求p = 6時總收益對192-pdp價格彈性，并說明其經(jīng)濟意義。解（1）R（p） pQ（ p）上式兩邊對p求導(dǎo)dR(P)dp二Q(p) pdQ(P)dp)=Q(1 - )(2)EjPdJ p q(i_)亠Ep R dp pQ2p21923p2一 192 - p2 一 192 - p2EREp|p -6 =137 ： 0.54.0.54% o經(jīng)濟意義：當p =6時，若價格上漲1%,則總收益將上漲例33 07年數(shù)三:設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=160-2p ，其中Q , p分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，則商品的價格是（）(A) 10(B) 20(C) 30(D) 40例34

23、 09年數(shù)三:設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為 Q=Q（P）,其對應(yīng)價格P的彈性 =0.2，則當 需求量為10000件時，價格增加1元會使產(chǎn)品收益增加 12000元解（Qp）' = pQ' Q且p =也=0.2p Q所以(Qp)'=1.2Q將Q等于10000代入即得(Qp)'=12000 練習：2x =5(t -sint)dy d y1.決疋y = y(x)，求,一2- o y =5(1 - cost)dx dxdy 5sin t dx 5(1 - cost)二 cot -解也dx2125(1cost)1 2 t 112 t 1csccsc2 2 dx 22 5(1 - c

24、ost)dt2. y =1 xexy 決定 y =y(x)，求 y 良。解 x =0, y =1對方程 y =1 xexy 兩邊 x 求導(dǎo) y二 exy - xexy(y xy') (1)對方程 (1)兩邊 x求導(dǎo) y” = 2exy(y xy') xexy(y xy')2xexy(2y' xy”)將x =0, y =1,y'(0) =1代入上式，得y''(0)=2.3. y =x2 +ax +b與 2y = -1 + xy3相切于(1, 一1)，求 a,b。解 y=x2+ax + b與2y = 1十xy3相切于(1，-1)，故有 1=1

25、a b a b = 2-y32 a 2lx* =1即 a = -1,b = -13xy2 -2 心4.丿 X = f(l 決定 y = y(x)，f 可導(dǎo)，f 0)不為 0，求dy |0。 ,y = f (e3t -1)dx5.dyf'(e3t - 1)e3t 3r*(t)|t= = 32y = sin f (x )，求d2ydx2dy222xf '(x )cos f (x )dx= 2 f '(x2) cos f (x2) 4x2 f ''(x2) cos f (x2) -4x2 f '(x2)2 si nf (x2) dx6.f(x y),

26、f二階可導(dǎo)，且一階導(dǎo)數(shù)不為1,蟻 f'(x y)(1y') X f'(X y) dx1 - f'(x y)雪二 f"(x y)(1 y')2 f'(x y)y'' 屮二 dxf''(x y)y')2 _f''(x y)1f'(x + y)( y )(1 f'(x + y)37.xef(y) =ey, f (x) = 1, f 二階可導(dǎo)，求d2y dx2從而ef(y)xef(y)f'(y也e型dx dx3 xef(y)(dy)2 xef(y)dxdx2ef(y)d2ydx22e2 xe"dxeydyef(y)fryref(y)dxey -xf'(y)ed2y呼)2呼)2dxdx-xef(y)2f(y)ey-xef(y)28.f (x), g(x)為恒大于0的可導(dǎo)函數(shù),f g _ fg ： 0，當 a - x b 時(A. f(x)g(b) f (b)g(x)B. f(x)g(a) f(a)g(x)C. f (x)g(x) f(b)g(b)D. f(x)g(x) f (a)g(a)解 因f g - fg ： 0 即 (丄兇)'二f g2_ fg : 0 丄 單調(diào)下