導數(shù)中分類討論地三種常見類型

1、導數(shù)中分類討論的三種常見類型高中數(shù)學中，分類討論思想是解決含有參數(shù)的復雜數(shù)學問題的重要途徑， 而所謂分類討論，就是當問題所給的研究對象不能進行統(tǒng)一的研究處理時，對 研究對象按照某種標準進行分類，然后對每一類的對象進行分別的研究并得出 結(jié)論，最后綜合各類的研究結(jié)果對問題進行整體的解釋 幾乎所有的高中生都對分類討論思想有所了解，而能正確運用分類討論思 想解決問題的不到一半，不能運用分類討論思想解決具體問題的主要原因是對 于一個復雜的數(shù)學問題不知道該不該去分類以及如何進行合理的分類，下面根 據(jù)導數(shù)中3種比較常見的分類討論類型談談導數(shù)中如何把握對參數(shù)的分類討 論.1. 導函數(shù)根的大小比較1 i a實例

2、1：求函數(shù)f X -X3x2 ax a，x R的單調(diào)區(qū)間.32分析：對于三次或三次以上的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間，基本上都是用求導法，所以對函數(shù)f x1 3x1 a 2xax a進行求導可以得到導函數(shù)321 fxx21a xa ，觀察可知導函數(shù)可以因式分解為1 fxx21a xa xa x 1 ，由此可知方程f x0有兩個實根11 a捲a， x2 1，由于a的圍未知，要討論函數(shù) f x - x3 - - x2 ax a的32單調(diào)性，需要討論兩個根的大小，所以這里分 a 1，a 1，a 1三種情況 進行討論：當a 1時，f x，f x隨x的變化情況如下:x，-aa, 1-11,f x+00+f x單調(diào)遞增

3、極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間為，a和1,，單調(diào)遞減區(qū)間為a, 1當a 1時，f x 0在R上恒成立，所以函數(shù) f x的單調(diào)遞增區(qū)間為,，沒有單調(diào)遞減區(qū)間.當a 1時，f x，f x隨x的變化情況如下:x,1-11,aaa,f x+00+f x單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間為，1和a, ，單調(diào)遞減區(qū)間為1,a綜上所述,1時，函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間為,a和1,，單調(diào)遞減區(qū)間為a, 1 ;，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；1和a,，單調(diào)遞減區(qū)間為當a 1時，函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間為當a 1時，函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間為1,a點評：這道題之所以要

4、分情況討論，是因為導函數(shù)兩個根的大小不確定，而兩 根的大小又會影響到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而由于a R，所以要分a 1，a 1，a1三種情況，這里注意不能漏了 a 1的情況.2. 導函數(shù)的根的存在性討論實例2：求函數(shù)f x x3 ax2 x的單調(diào)區(qū)間分析：這道題跟實例1 一樣，可以用求導法討論單調(diào)區(qū)間，對函數(shù) f x x3 ax2 x進行求導可以得到導函數(shù) f x 3x2 2ax 1，觀察可以發(fā)現(xiàn)，該導函數(shù)無法因式分解，故無法確定方程3x2 2ax 1 0是否有實根，因此首先得考慮一下方程是否有解，所以我們可以求出根判別式4a2 12，若4a212 0即.3a 3，方程3x22ax 10沒有實根，

5、即f x 0在R上恒成立，所以f x在R上單調(diào)遞增；若4a212 0即a.3，方程3x22ax 10有兩個相等的實根x1 x2-，即f x 0在R上恒成立，所以f x在R上單調(diào)遞增；3若4a2 12 0即a、一3或a 、3，則方程3x2 2ax 1 0有兩個不同實根，由求根公式可解得Xia 3 , X2 a 3，顯然XiX233此時f x , f X隨X的變化情況如下:X,XiXiXi,X2X2X2,f X+00+f X單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增綜上所述，當.3 a ,3時，f X的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；當a x 3或a ,3時，f x的單調(diào)遞增區(qū)間為，一a a 3和3a

6、 .a2 33，單調(diào)遞減區(qū)間為a Va23 a333點評：實例2和實例1都是求三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，但是兩道題分類討論的情 況不一樣，實例2主要是因為導函數(shù)所對應的方程根的情況未知，所以需要討 論根的存在性問題，而實例1是因為導函數(shù)所對應的方程可以因式分解，所以 可以確定方程的根肯定是存在的，因此不用再討論，而需要討論的是求出來兩 個根的大小關(guān)系，實例2則相反，實例2在方程有兩個不同實根的情況下求出 來的兩根大小已知，所以不用再討論。通過這兩道實例可以知道，在分情況討 論的時候弄清楚討論的必要性是很重要的，不能以偏概全。3. 導函數(shù)的根與給定區(qū)間的關(guān)系實例3：已知函數(shù)f x X2 lnx，函數(shù)g

7、 x f x X2 ax , a 0 ,若x 0,e時，g x的最小值是3,數(shù)a的值.（e是自然對數(shù)的底數(shù)）分析：由題意可以求得g x ax Inx，且函數(shù)g x的定義域為0,，已知的是函數(shù)g x在0,e上的最小值是3,而函數(shù)最值的討論通常是以單調(diào)性的討論為基礎(chǔ)，所以可以先考慮函數(shù) g x在0,e上的單調(diào)性，因此對g x進行求 導，得到導函數(shù)g x a - aX1，因為a 0，所以令g x 0解得x ，x xa則g X，g X隨X的變化情況如下：x0,1a1 a1 ag x0+g x單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增這是g x在0,上的單調(diào)性，而要討論其在0,e上的單調(diào)性，這里涉及到e跟1的大小，也即是1

8、是在給定區(qū)間還是在區(qū)間外的問題，可以知道，題目中aa并沒有條件可以讓我們確定e跟1的大小關(guān)系，所以這里需要分情況討論：a11若e 一即0 a -，則g x在0,e上單調(diào)遞減，g x min g e ae 1，令 ae4ae 1 3，解得a （舍去）e1iii若e 即a -，則g x在0, 上單調(diào)遞減，在，e上單調(diào)遞增，所以aeaag x皿山g 1 1 ln a，令1 In a 3，解得a e2，滿足條件.a綜上所述，所數(shù)a的值為e2.點評：這道題實質(zhì)上就是討論函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，在這道例題中，導函數(shù)存在唯一的實根，所以可以確定原函數(shù)g x在定義域0,上的單調(diào)性，而要討論其在區(qū)間0,e的單

9、調(diào)性，則涉及到e跟1的大小關(guān)系，也就是確定導a函數(shù)等于零的點跟給定區(qū)間的關(guān)系.這道題中如果把a的圍改為a R，問題就稍微復雜一點，首先得考慮導函數(shù)g x a -ax1根是否存在，可以發(fā)現(xiàn)，x x如果a 0，則不存在導函數(shù)等于零的點，此時g x a -10 ,函數(shù)g xx x在0,e上單調(diào)遞減；而如果a 0，則導函數(shù)存在唯一的實根 1，其中a 0又a11包含了兩種情況：a 0和a 0,如果a 0，那么0, 0, ，此時aag x a 1 ax10，函數(shù)g x在0,e上單調(diào)遞減；至于a 0的情況，討x x論如實例3.分類討論思想是對研究對象進行分類，簡化所要研究的對象，它是解決問題的一種邏輯方法，

10、也是鍛煉人思維模式的方法，但在分類討論時要明確討論的對象以及按什么標準進行分類，做到不重復、不遺漏.導數(shù)中的分類討論在歷 年高考中也是經(jīng)常出現(xiàn)，主要是在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值中應用比較 多.導數(shù)問題中分類討論的方法摘要：近年，高考解答題對導數(shù)部分的考察幾乎都會涉及到對某個參數(shù)的分類討論，而考生的在這一題中的得分率并不高。主要原因有兩個，一是看不懂題意，二是不會分類討論。而分類討論在高考中處于重要的地位”：分類討論思想是歷年高考的必考容，它不僅是高考的重點與熱點，而且是高考的難點。每年在中高檔題甚至在低檔題中都設(shè)置分類討論問題， 通過分類討論考查推理的嚴謹性和分析問題解決問題的能力。本人在

11、幾年的教學生涯中，對這類問題作了一定的探討，并總結(jié)出了導數(shù)問題中解答問題的步驟及引起分類討論的原因。關(guān)鍵詞：單調(diào)區(qū)間，極值，分類，最值，取值圍 為了更好的解決導數(shù)中分類討論的問題，筆者建議按照下列步驟來解決導數(shù)解答題（1）求導 f （X）（2）令 f（x）=O（3）求出f（x）=O的根（4）作出導數(shù)的圖像或等價于導數(shù)的圖像（一般是二次函數(shù)或一次函數(shù)的圖像）（5）由圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，或最值規(guī)了步驟后，在解題過程中涉及到的分類討論一般有：方程f（x）=O的類型引起的討論、根的存在引起的討論、根的大小引起的討論、畫圖像時開口或斜率的討論、根與給定區(qū)間 或定義域的端點的大小的討論）下面筆者

12、結(jié)合若干例題對上述的分類討論方法作-lnx （a0），求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。x例1:若函數(shù)f(x)ax闡述解：f (x)22x2ax x 2(x 0)x2令 f (x) =0，即:2ax x（注意這里方程的類型需要討論）若a0,則x2,作出g(x)2的圖像，由圖像可知f (x)在(0,2 )上為減函數(shù)，在（2， +8）上為增函數(shù)若a 0,則1 8a0,由 ax2 x 20，得1.1 8a02a.下載可編輯.yik/7X作出h(x) ax2 x 2的圖像，由圖像可知f(X)在(0, X2)上為減函數(shù)，在(X2,)上為增函數(shù)綜上所述：a 0時，f (x)在(0,2 )上為減函數(shù)，在(2, +R)上為增

13、函數(shù)a 0時，f(x)在(0, l1 8a )上為減函數(shù)2a在(一-_8，)上為增函數(shù)2a例2: (08全國高考)已知函數(shù)32f(x) = x + ax + x+ 1, a R,討論函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間解：f (x) 3x22ax 1f (x) 3x2 2ax 10(注意這里根的存在需要討論)24a2124a2120，即f (x)在R上為增函數(shù)4a2120,即 af (x) 3x22ax 10 得,f (x)在 (2旦旦3，)上為增函數(shù)3在(衛(wèi)，)上為減函數(shù)綜上所述:3時，f (x)在R上為增函數(shù)、3時，f (x)在(a a23)或3a上為增函數(shù)，在(-3，3)上為減函數(shù)1)1kxk1)x

14、11XyX若0 k1 x求f （ x）的單調(diào)區(qū)間。1若k 1 , f （x）在（1,f1）或（0,）上為增函數(shù)1在（1,0）上為減函數(shù)例3. （2010）已知函數(shù)f ( x)=ln(1+ x)- x + kx2 ( k 0)。21解：f (x)1 x若 k=1,f （x）在（-1, +m）上為增函數(shù)x(kx k 1)(x1 x令 f(x)=0,即：x(kx0 （這里需要對方程kx k 10的類型討論）若 k=0,則 f (x)f （x）在（-1,0 ）上為增函數(shù)，在（0, +7 上為減函數(shù)若k工0,由x（kxk 1)0 得,x 0或xk1（這里需要對兩個根的大小進行討論）若k=1，則f (x)

15、2x0, f (x)在(-1, +m)上為增函數(shù)1 x例4. （2009理改編）設(shè)函數(shù) f （x） xe，求函數(shù)f （x）的單調(diào)區(qū)間解：f (x) ekxkxekxekx(kx 1)下載可編輯f （x）在（-1,0 ）上為增函數(shù)，在（0, +8）上為減函數(shù)11, f （x）在（1,0）或（1,）上為增函數(shù)1在（0,匚1）上為減函數(shù)若0 k11，則f （x）在（1,0）或（丄 k1在（0,1）上為減函數(shù)1,）上為增函數(shù)若k 1 ,1則 f (x)在(1,11)或(0,）上為增函數(shù)1在（匚1,0）上為減函數(shù)綜上所述:若 k=0,若對任意的x 1,2, f (x)g(x)恒成立，求實數(shù)p的取值圍令f

16、 (x) 0，即kx 1 0(這里需要對方程 kx 1 0的類型討論)若艮=0,貝U f (x)10 , f (x)在r上為增函數(shù)1若k豐0則由kx 10得，x -(這里需要對y kx 1的k斜率討論)11若k0則f(x)在(,)上為減函數(shù)，在(一，)上為增函數(shù)kk若k0則f(x)在(,)上為減函數(shù)，在(一，)上為增函數(shù)kk若k0,則f (x)在(,1)上為增函數(shù)，在(】，)上為減函數(shù)kk例5: (2011四校聯(lián)考)f (x) 2l nx 2x 3,g(x) (p 2)x3x解：f (x)的定義域為(0,)設(shè) h(x)p 2 f (x) g(x) 2l nx pxx設(shè) h (x)2px 2x

17、p 22x令設(shè)h (x) 0,即px2 2x p 20 (對方程類型的討論)2x 2若p=0,則設(shè)h(x)2_廠 0x則h(x)在1,2上為增函數(shù)，h(x)min h(1)2,不符合要求若p豐0,由px2 2x p 20得x 1或x 一-(對兩根的大小，定義域的端點、給定區(qū)間的端點大小的討論)p1,即p1,則h(x)min h(1)0,符合題意1,即10,則 h(x)min h(1)2p 20，不符合題意0,即p 2,則p 1 則 h(X)minh(X)min h(1)22 人即 p 2,則 h(X)min h(1)L 2,即p 2,則 h(1) p2p 22,即 p 2,則 h(1)2h(1) 2p 20,符合題意2p 20，符合題意0,不符合題意0,不符合題意I-1012,即0 p 2,則 h(1)2p 20，不符合題意綜上所述:p的取值圍為(，1下面筆者就2010年高考的壓軸題來說明本人提出的解題步驟和討論方法具有一定的實 用價值，當然解答的過程可能不夠嚴謹，處于定性的圍，不足之處，望全體多多指教。例 6：(2010 理)設(shè)函數(shù) f(x) ex 1 x ax2。若當 x 0 時 f(x) 0，二 十 1求a的取值圍f (x) ex 2ax 1令f (x) ex 2ax 10 (此方程是個超越方程，故根的討論