帶通隨機(jī)過程

1、第6章帶通隨機(jī)信號帶通：功率譜集中在某個非零頻率處應(yīng)用背景：通信、雷達(dá)和無線電技術(shù)。本章討論：1) 希爾伯特變換與復(fù)隨機(jī)信號的分析方法，2) 帶通信號的基本特性、表示方法與重要關(guān)系、以及 頻譜搬移的原理；3) 三種帶通信號的幾種基本概率分布。窄帶高斯信號、窄帶高斯噪聲、窄帶高斯噪聲的中 高頻正弦信號。符號注意：小寫字母也表示隨機(jī)信號 。6.1希爾伯特變換與解析信號6.2 (復(fù)值)隨機(jī)信號6.3帶通信號與調(diào)制6.4帶通高斯信號6.5帶通高斯噪聲中的高頻信號定義6.1信號的希爾伯特(Hilbert )變換：1 緬)=Hx(t) =x(t) 兀t顯然，-j, 0 H(j ) = -jsgn(廠I J

2、, *0希爾伯特逆變換：H ° = -H HHx(t) =-x(t)Hj) jsgn®)=J； >0I j, <0正頻率：相移-二/2 ; 負(fù)頻率：相移-12。而幅度為1。1- 900相移的全通濾波器，H© 0t =_jej 0t =ej( 0：/2)He0t = jej ote(ot-mHcos otHej ot He。t2=sin otH sin otHej ot -Heot2j=-cos otH f (t)cos ot = f (t)sin ot H f (t)sin ot二 _f (t)cos otH奇函數(shù)=偶函數(shù)H 偶函數(shù)=奇函數(shù)2. 平穩(wěn)信

3、號X(t)，則，R)?( J = rx ()RXX ( ) = RX ( ),RX)? ( ) = - Rx ()證明：RfW) =Rx J 丄 J丄卜H '【HRxG) 5丿5丿(1】Rxx(£)=Rx(9*打嚴(yán)Rx (1 )RxX>( ) =Rx( ).：HRx()3. 是正交變換：彼此正交且功率相等(1) Rx(0)=Rx(0)；(2) Rxx(0) -E 0(t)X(t) =0。證明：因?yàn)镽x(.)是偶函數(shù)，RXC)是奇函數(shù):E ；(t)X(t)卜 Rxx(O) =Rx(O) =0定義6.2實(shí)信號x(t)與X(t)構(gòu)造的復(fù)信號: z(t) =x(t) + jXt

4、)稱為x(t)的解析信號(Analytic signal )或信號預(yù)包絡(luò) (Pre-envelope)。由解析信號求出原信號,x(t) =Rez(t)二z(t)z*(t)2解析信號的頻譜為，Z( j J2X(j -)uC )功率譜為2Sz(灼)=5(灼)2u(co)=4Sx©)u(co)解析信號本質(zhì)上是原信號的正頻率部分，是實(shí)信號的一種 “簡練”形式。確定信號的解析信號是確定的平穩(wěn)隨機(jī)信號的解析信號是隨機(jī)的，它們聯(lián)合平穩(wěn)。功率譜: 復(fù)(值)隨機(jī)變量：X jY，兩個實(shí)變量X與Y作為實(shí)部與虛部 特性：聯(lián)合統(tǒng)計(jì)特性 FxY(x,y)所規(guī)定。復(fù)(值)信號:Z(t) =X(t) jY(t),t

5、 T?兩個實(shí)信號X(t)與Y(t)作為實(shí)部與虛部特性：聯(lián)合統(tǒng)計(jì)特性所規(guī)定Fxy (x, 丫花花)。復(fù)信號的均值與相關(guān)函數(shù)：mZ(t)二 EZ(t)二 mx(t)jmY(t)Rz(ti,t2)=E Z(ti)Z*(t2)-RX (t1, t2 ) RY (t1, t2)jRYX(t1,t2 jRXY(t1,t2)復(fù)信號的互相關(guān)函數(shù)定義為，Rzz2 (tl, t2 ) = E I Zi(ti )Z2 (t2 ) J-RXtX2 (t1, t2 )RY1Y2(t1,t2) jRY|X2 (t1, t2 jRX1Y2 (t1, t2 )注意共軛運(yùn)算。其它數(shù)字特征:1. 均方差EZ(t)|2=RZ(t,

6、t)=EX(t)2+EY(t)f2. 協(xié)方差函數(shù)Cz (ti,t2)二Cov(Z(ti),Z(t2)CZ(ti,t2)= E iz (ti) - mZ (ti) Z(t2)- mZ &)* /-& (ti,七2)- mZ (ti)mZ (t2)3.相關(guān)系數(shù)Z (ti 譏2)CZ (tit)二 Z (ti )；Z (t2 )4. 互相關(guān)系數(shù)CZiZ2 (ti,t2)二 Zi(ti)二 Zz)性質(zhì)1(1) 共軛對稱性：R(ti,t2)=R*(t2,ti)、C(ti, t2 - C (t2, ti )；2(2) 均方值為非負(fù)實(shí)數(shù)：EX(t)| =R(t,t)KO(3) 方差為非負(fù)實(shí)數(shù)

7、： 2(t) = R(t,t)m(t) >0(4) '(tit)乞i, '(t,t) =i性質(zhì)2(1) 對稱性：RxY(ti £) = Rx 億2 ,ti)；(2) CXY (ti,t2 RXY(ti, t2mX (ti)mY (t2)(3) |PxY(tl，t2)| 蘭 1廣義平穩(wěn)性要求:EX(t)二 m 二復(fù)常數(shù)! R(t1 ,t2) - R( ),- t1 _ t2特別注意：R( ) =EX( )X*(t)。也有的書中 R(.)二EX(t)X*(t .)。對于實(shí)信號而言，這沒有差別， 但對于復(fù)信號就有不同了，應(yīng)該留意。性質(zhì)1(1) R(-J =R*()2

8、2 2(2) Cn)= R") m 與 <r2=R(0) m性質(zhì)2RXY ( - ) = Ryx (J 與 CX yC)二 RxYt + m Xm Y功率譜：總是正的實(shí)函數(shù)，但不一定是偶函數(shù)；并且,互功率譜：仍具有共軛對稱性：SXY () = SYX CO。mY =mxH (j0)Ry( HRx( ) h( ) h*()Ryx(Rx( ) h( ) Rxy( ) =Rx( ) h*(-)例6.1 X(t)二 Aej( 0t °通過 h(t) =e"u(t) 假定 E A2 二 a2,0 U U ( -二，二)討論：(1 )平穩(wěn)性與功率譜；(2)輸出的相關(guān)函數(shù)

9、。解： X(t) =Acos(0t 0) jAsin( 0t 0)EX(t) =EAE lcos( 0t 0) 1 jEsin( 0t O) If =0 j0RX (t1 ,t2):=e A2ej(站刃e(Qt2。= a2ej 0功率譜為,Sx(co) =2兀 aW(國們。)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：H(j)1 -,b + jSY©)=Sx©)|Hj)輸出信號的相關(guān)函數(shù)為,2aRy ( J2b +灼帶通信號(Bandpass signal):功率譜S(« )僅在某個有限的 區(qū)間上非零，而在該區(qū)間以外為零。實(shí)信號的功率譜是偶函數(shù)，實(shí)帶通信號的典型功率譜。頻域區(qū)間還表示為：中

10、心頻率，0與帶寬丫，-，這時(shí)，勺=0 - /2 , '2 =0 亠 '、：' /2 。帶通系統(tǒng)是處理帶通信號的系統(tǒng)。頻率響應(yīng)的非零區(qū)間應(yīng)該對準(zhǔn)信號的非零區(qū)域，可 見，這類系統(tǒng)的沖激響應(yīng)也是帶通的。討論多個帶通信號與系統(tǒng)時(shí)，總是考慮它們具有相同的頻率區(qū)間，即有著相同或相近的中心頻率與帶寬。定義6.3給定兩個零均值聯(lián)合平穩(wěn)的帶限實(shí)信號i(t)與q(t)，以及常數(shù)'0，構(gòu)造信號x(t) = i(t)cos 0tq(t)sin 0t二 r(t)cos，0t r(t)稱為帶通(隨機(jī))信號。振幅與相位也是實(shí)隨機(jī)信號，r(t) f i2(t) q2(t)=(t) rarcta

11、i(t)典型波形：包絡(luò)常為r(t)，慢變化。 通信的調(diào)制技術(shù)：將帶限的信息信號變換為帶通信號。i(t) 和q(t)稱為 同相(In-phase)與正交(Quadrature)分 量，是兩路信息信號，-'0 為載波頻率(Carrier frequency)，而x(t)稱為已調(diào)信號。定理6.1帶通信號廣義平穩(wěn)的充要條件是i(t)與q(t)滿足Ri( ) =Rq( )Rq( ) - - Rqi ()證明：Ex(t) = Ei(t)cos 0t _ Eq(t)sin 0t =0 Ex(t +)x(t) =RG)COSCOo(tRq (. )sin 0(t . )sin 0t-Riq( )cos

12、 0(t)sin 0t-Rqi( )sin 0(t)cos 0tRx(t r,t)二 Rj(.)cos-Rqi( )sin 0.1 )互相關(guān)函數(shù)是奇函數(shù)，%(0)二 Ei(t)q(t) =0 ,即，i(t)與q(t)在同一時(shí)刻正交。2)為了 x(t)廣義平穩(wěn)，兩路分量必須功率相同，相關(guān)函 數(shù)一樣；且在同一個時(shí)刻彼此正交。解析信號:z(t) =x(t) j)?(t)復(fù)包絡(luò)(Complex envelop): a(t) = i(t) + jq (t) = r(t)e舊°z(t)二 a(t)ej 0t證明：xt) = H i(t)cos 0t _q(t)sin 0t=i(t)sin

13、6;t q(t)cos °t易見，z(t) =a(t)ej°°t=i(t)cos 0t _q(t)sin 0tji (t)sin ytjq(t)cos 0t性質(zhì) 1 由于 z(t)二 a(t)ej 0t,Rz()二 Ra( )ej 0Sz()7( z(t) =a(t)ej ot - lj(t) jq(t) lej ot:a(t)是信息信號的復(fù)數(shù)形式z(t)是已調(diào)信號的復(fù)數(shù)形式 帶通信號本質(zhì)上由兩個要素組成：低頻形式的復(fù)包絡(luò)a(t)，(即，i(t)與q(t) 載波位置 0功率譜的物理特點(diǎn)：如果i(t)與q(t)是帶限的 =a(t)帶限=z(t)是帶通的二 x(t)

14、= Rez(t) = i(t)cos 0t _q(t)sin 0t 帶通的。 任何具有帶通特征的實(shí)信號 x(t)=正頻率部分SXC') 帶通的z(t)=帶限的a(t)=帶限的i(t)與q(t):x(t)二 i (t )cos ，0t _ q(t )sin -0t在頻帶通信等應(yīng)用中，“ i(t)與 q(t)二 x(t) ”稱為調(diào)制(Modulation): x(t)二 i(t)cos st -q(t)sin st“ x(t) = i (t)與 q(t) ”稱為解調(diào)(Demodulation) i(t) =LPF ：x(t) 2cos # q(t) =LPFx(t) 2sin gt ?x(

15、t)二 i(t)cos 0t -q(t)sin 0ti(t) =LPF 1x(t) 2cos 腫q(t) =LPF 1x(t) 2sin 0“證明解調(diào)過程：2x(t) =2Rez(t)二 z(t) z*(t)2x(t)e0t =a(t) a*(t)e2 0t x(tp<2 lcos%t jsin0t =i(t) + jq(t) +a*(t)e°知ti(t) jq(t) =LPF 1x(t) 2cos 0C - jLPFx(t) 2sin 0t?由于，Rx( ) = RJ )co s o - Rqi(. )s in。利用對偶特性，可以證明，R( ) = LPF 12Rx( )co

16、s 0 JRqi(.) =LP-2Rx(.)sin .0. /1.復(fù)信號a(t)與z(t)之間的關(guān)系, Rz( Ra( )ej 02. 兩個分量信號之間的關(guān)系，Ri ( H Rq ( ),Rq( ) = -Rqi()i (t)與q(t)在同一時(shí)刻正交分量信號的這種特性保證x(t)是平穩(wěn)的。3. 功率(或方差)之間的關(guān)系,4. 分量與帶通信號的相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，Rx( ) = Ri( )cos 0 - Rqi( )sin 0R( )二 LPF2Rx( )cos 0 J,Rqi( )二 LPF2Rx( )sin ° /5. 有關(guān)信號的功率譜、互功率譜的關(guān)系，Sz(')二Sa( S)

17、Sz( J =4Sx( )u( J =4Sx(，)S (們)=Sq (們)Sx (八: o) -Sx: )0o <co0其它證明：R(.) =LPF 12Rx( )cos 0. ?,O /、 O /、jSx佝灼 0)Sx(灼 +肌)國 <©SqSq何科0其它Rqi( .)二 LPF C-2Rx( )sin 0 J2cos0“i2二 L( -，0) ,(：” r0) .12sin，0" j 2二 L. (；.-: ；i0 )_、：(；.： ；r0)若Sx( )以0偶對稱，則i(t)與q(t)所有時(shí)刻正交。例6.2零均值帶通白高斯噪聲試求它的同相與正交分量i(t)與

18、q(t)的自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)。解：利用功率譜、互功率譜的關(guān)系易知,N。S ()=Sq ()=| 0Si q( )-S q i(-<W/2其它，0進(jìn)而得到,RO 卡(.)=NoSinW /2例6.3零均值帶通信號的中心頻率為仁=98Hz :v(t)二 x(t)cos(196 二t) 一 y(t)sin(196 二t)試求：兩個低頻分量x(t)與y(t)的自相關(guān)與互相關(guān)函數(shù)。解：Rx()=Ry()=4sin 6 二 cos4二Rxy()sin6 二 sin4 二或采用時(shí)域，si n6二.Rv(.) =4cos200 二.rt sin 6mRx( ) = LPF 12Rv( )cos 04

19、cos4二兀I窄帶信號(Narrowband process)或準(zhǔn)單頻信號特2 E叫時(shí)0 (或時(shí)m ££時(shí)0 )實(shí)際應(yīng)用中大量的帶通信號是窄帶的，且高斯的。i(t)= L pF 刈t 2 a%s t由q( t)= L P F (xt 2 skn t可見，i(t)與q(t)是x(t)的線性變換，(雖然含時(shí)變因子) 因此也是聯(lián)合高斯的。而且1) 零均值的，同方差,- I - I2) i(t)與q(t)是正交的2 性質(zhì)1 同相和正交分量i(t)、q(t) :N(0,；x)，_j2_q2fi(i;t)= 丄 e 叱 ，fq(q；t)= 二 e 2*寸2兀<x寸2兀ox同一時(shí)刻

20、彼此獨(dú)立，嚴(yán)2fq(i,q;t,t)二 fi(i;t)fq(q;tH7?17e 2匚x例6.4零均值窄帶白高斯噪聲n(t)，試求其一維密度函數(shù)、同相與正交分量的聯(lián)合密度函數(shù)。解：n(t)均值為零，方差為，巳=N°B二尺(0)。八1n1(兀nfn(n;t)=exp _ I = > exp VN0B 、2N°B 丿 Jn0Wi N0W功率譜關(guān)于0偶對稱，于是，SqjnC J = 0，即，&“()= Ein (ti)qn (t2) =0于是,in(ti)與qn(t2 )彼此正交。也彼此獨(dú)立，所以,1空2七2)finqn(i,q；t1,t2 fin(i,t1)fqn(q,t2)-。N0W應(yīng)該注意，由于t-,t2不一定相同，該結(jié)果