2020屆江西省師大附中高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)(理)試卷(有答案)(精品)

1、/./.、選擇題：本大題共有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知z13iZ2.已知集合A.1 1,2江西師大附中第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試卷12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只B.1x|223.給出下列兩個(gè)命題:i ,其中i是虛數(shù)單位，則二的虛部為（）Z2x 2 ,B1.1命題p:：若在邊長(zhǎng)為1的正方形C.D 5ix| In xC.CrB ()；,1D.ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M1的概率為r r命題q:設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量，則u與b共線”的充分不必要條件;那么，下列命題中為真命題的是C.D.4.若函數(shù) y ksin kx ( k0,）與函數(shù)y kxk2的部分圖像如圖所示，則函數(shù)

2、f(x)sin kxcos kx像的一條對(duì)稱軸的方程可以為圖24B.13x 24C. x724D.13x 245.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)中有這樣一道算術(shù)題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問(wèn)物幾何?此類題目稱為“中國(guó)剩余定理”，若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n ,則記為N n（mod m）,例如11 2（mod 3）.現(xiàn)將該問(wèn)題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n等于（）A. 21B. 22C. 23D. 246.某食品廠只做了 3種與“?！弊钟嘘P(guān)的精美卡片，分別是“富強(qiáng)?！?、“和諧福”、“友善福”、每袋食品隨機(jī)裝入一張卡片，若只有集齊為（）3種卡片才可獲獎(jiǎng)，則購(gòu)

3、買該食品4袋,獲獎(jiǎng)的概率A. 316C.D.7.已知D E是ABC邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)uuuP在線段DE上，若APuuu xABuuuryAC ，則x y的取值范圍是（）1 49,91 1B3,4D.9,48.若數(shù)列an是正項(xiàng)數(shù)列，且可反反L,ann2a-等于（）nA. 2n2 2nB . n2 2n22C. 2n2 n D. 2(n2n)y x 2,9.已知實(shí)數(shù)x, y滿足x y 6,則函數(shù)y x 1,log 1 2|x 2|2|y|的最大值是()A. log 1 7 B. log 1 5C.222D. 210.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側(cè)面的面積為（）B 2B.C.

4、 q D .當(dāng)2211.點(diǎn)F2, P分別為雙曲線y 4 1(a a b0,b 0）的右焦點(diǎn)與右支上的一點(diǎn)，若uuuu 1 uuu uuuu uuur 2OM OP+OF2) QF22A. 3B.32uuur 2uuun uuuurF2M，且2OF2 F2M a2+b2,則該雙曲線的離心率為(0 2 13+1C.D.2.已知函數(shù)f（x） exax 1,g(x) ln x ax a,若存在 x0(1,2),使得 f(xo)g(xo) 0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A (Ine2 12TB. (ln2,e 1)C. 1,e 1D.1n二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分.913 .已知a

5、 2 cosx dx,則ax 展開式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為;02ax314 .已知函數(shù) f(x) m 0g如7 x x ；x 為偶函數(shù)，則 m n ;log2017( x) nx3,x 015 .正三角形ABC勺邊長(zhǎng)為2,將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為 J2 ,此時(shí)四面體ABCD 的外接球的表面積為 ,2-216 .數(shù)列 an的前項(xiàng)和為 Sn ,且a -,an 1 Sn鼻，用x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如330.11, 1.6 1,設(shè)bnan ,則數(shù)列 bn的前2n項(xiàng)和為三、解答題：本大題共 6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明或推理、驗(yàn)算過(guò)程.17 .(本題滿分12分)曰 r. 3

6、r、，r r設(shè)向量 a sin x,sin x cosx ,b cosx,sin x cosx , x R ,記函數(shù) f x a b.2(1)求函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在銳角ABC中，角A,B, C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f A ja J2,求ABC面積的最大值.18.(本題滿分12分)在2017年高校自主招生期間，某校把學(xué)生的平時(shí)成績(jī)按“百分制”折算，選出前n名學(xué)生,并對(duì)這n名學(xué)生按成績(jī)分組,第一組75,80 ,第二組80,85 ,第三組85,90 ,第四組 90,95 ,6第五組95,100 ,如圖為頻率分布直方圖的一部分，其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)依次成等

7、差數(shù)列，且第四組的人數(shù)為60 .(1)請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全頻率分布直方圖；(2)若Q大學(xué)決定在成績(jī)高的第 3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行面試(I )若Q大學(xué)本次面試中有 B,C, D三位考官，規(guī)定獲得兩位考官的認(rèn)可即可面試成功，且各考官面試結(jié)果相互獨(dú)立，已知甲同學(xué)已經(jīng)被抽中，并且通過(guò)這三位考官面試的概率依次為 求甲同學(xué)面試成功的概率;(II)若Q大學(xué)決定在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取 3名學(xué)生接受考官 B的面試，第3組總有 名學(xué)生 被考官B面試，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望.19 .(本題滿分12分)如圖，在以A, B, C, D, E, F為頂點(diǎn)的多面體中，四邊形 ACDF是菱形， FAC 600,

8、AB PDE,BC PEF,AB BC 3, AF 2,3, BF ,15(1)求證：平面 ABCL平面 ACDF(2)求平面AEF與平面AC所成的銳二面角的余弦值20 .(本題滿分12分)22已知橢圓Ci： 土 4 i(b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 Fl、F2,點(diǎn)F2也為拋物線C2：y2 8x的6 b焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2的直線l交拋物線C2于A,B兩點(diǎn).(1)若點(diǎn)P(8,0)滿足|PA |PB ,求直線l的方程；(2) T為直線x3上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Fi作TFi的垂線交橢圓Ci于M ,N兩點(diǎn)，求HF的最小值.MN21 .(本題滿分i2分)已知函數(shù) f(x) ln(x 2a) ax, a 0.(i)求f

9、 (x)的單調(diào)區(qū)間；i(n)記 f(x)的最大值為 M(a),若 a? & 0且 M(a1) M(a2),求證：&a2 -;4(出)若a 2,記集合x|f(x) 0中的最小元素為x0,設(shè)函數(shù)g(x) |f(x)| x ,求證：x0是g(x)的極小值點(diǎn)請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按照所做的第一題計(jì)分.22 .(本題滿分I0分)選修4-4 :極坐標(biāo)與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線l的參數(shù)方程為x 3 t cos(t為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為y i tsin極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓 C的方程為4cos(I)求l的普通方程和C的直角坐標(biāo)方程；當(dāng) 0, 時(shí)

10、，l與C相交于P,Q兩點(diǎn)，求PQ的最小值.23 .(本題滿分I0分)選修4-5:不等式選講已知f (x) x a ,其中a 1.(1)當(dāng)a 2時(shí)，求不等式f(x) 4 x 4的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式f(2x a) 2f (x)2的解集為x1 x 2,求a的值.參考答案1.B 2.A 3 C 4. .B 5.C 6.D 7.D 8 .A 9.C 10. C 11.D 12.A13.21 14. 415.2516.2n 122n -3317.解：(1)由題意知:r r. 3f (x) a b sin x cosx (sin x cosx)(sin x cosx)2令2k1 .八sin 2x

11、2蟲cos2x2sin(2x ) 32x 2k , k Z,則可得：k232 x k 1252,kQ f (A) (k Z)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為11 .2, sin(2A 3)2,結(jié)合ABC為銳角三角形，可得2A 3 6b在ABC中，利用余弦定理a c2 2bccos A，即2 b2c22bc (2 2)bc (當(dāng)且僅/.,bc 22 sin A sin b c時(shí)等號(hào)成立)，即 2 J2，又42S abc 1bcsinA - bc24拈 T.(當(dāng)且僅當(dāng)b c時(shí)等號(hào)成立)ABC面積的最大值為218.解：(1)因?yàn)榈谒慕M的人數(shù)為 60,所以總?cè)藬?shù)為:5 60=300,由直方圖可知，第五組人數(shù)為

12、 0.02 5300=30人,又y15為公差，所以第一組人數(shù)為:45人,第二級(jí)人數(shù)為：75人，第三組人數(shù)為：90人(2) (I) 設(shè)事件A甲同學(xué)面試成功，則:P(A) 2114 12 1 1 1 1(II)由題意得:=0,1 23P( 0)C30C3C631, 20P(1)C3C32C63920P( 2)空CT9, 20P(3)C3C30CT1204_15/.0123P12092092012013E( ) 02020202021991 2 319.解:(1)設(shè)O是AC的中點(diǎn)，連接OF,OB 及 FC,ABC 中，AB BC,OBQ四邊形ABDFFACAC,“060/-/.FAC是等邊三角形，F(xiàn)

13、OB是二面角F ACOFACB的平面角ED|Q在 RtABO 中，AB 3,AO 出，OB JAB2 AO2、6qbf .15,OF2 OB2 BF2,FOB 900平面ABC 平面ACDF則 A(0,3,0), B( .6,0,0), C(0,、3,0), F (0,0,3)uuir _uuirAF(0, 3,3), AC(0, 2x3,0)(2)由(1)知，OB,OC,OF兩兩垂直，故可如圖建立直角坐標(biāo)系:Q AB PDE, AF PCD, AB 平面 CDE,AF 平面 CDFDE 平面 CDE,CD 平面 CDE, AB P 平面 CDE , AF PCDE ,又 AB I AF A平

14、面ABF P平面 CDE,Q EF PBC, B,C,E, F共面BF PCE,從而四邊形BCEF是平行四邊形uuuFEuuirBC_ _uuir(.6, .3,0), AEuur uuuAF FEr設(shè)n (x,y,z)是平面AEF的法向量,r uur n AF r uun n FE r取n0、,3y 3z 00 6x、3y 0,(3, 6,2)ur設(shè)m (x, y, z)是平面ACE的法向量,ir uuirm AE 0 ir uuurm AC 0.6x 2、3y 3z2 3y 0ir r cos m, nir rm nuurm n_1_ _55555520.解：(1)由拋物線C2:y28x

15、得 F2(2,0),(6, 2、. 3,3)r,取n平面AEF與平面ACE所成銳二面角的余弦值為5555當(dāng)直線l斜率不存在，即l ：x 2時(shí)，滿足題意2 分 當(dāng)直線 l 斜率存在，設(shè) l: y k(x 2)(k 0), A(x1, y1),B(x2,y2)2由 y x得 k2x2 (4k2 8)xy k(x 2)4k2 0x1 x2、，y1 y2 k(x1 x2)k4k - k設(shè)AB的中點(diǎn)為G ,22 k2 4 4、則 G(-,-),k kQ PA| |PB ,PG l, kPG k 14 024 k 丁 81,解得kV2,則y .2(x2)直線l的方程為2)或x(2 ) QF2(2,0),F

16、i( 2,0),2b26 42 x2, C1: -6設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,m)則直線TF1的斜率kTF1當(dāng)m 0時(shí)，直線MN的斜率kMN1一,直線MN的方程是x my 2 m當(dāng)m 0時(shí)，直線MN的方程是x2 ,也符合x my 2的形式所以直線MN的方程是xmy 2設(shè) M(%,y3),N(x4,y4),則x my122,得(m 3)y 4my 2 02y34my4 F,y3y4TFiMNx3、22羽）（y3 va）TFi |MNJ,當(dāng)且僅當(dāng).2 . 2_(m1)(y3 y4)4y3 y41244)直m21324(m2.1134:,即mm2 11時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)TF1MN取得最小值立321.一、1

17、(I ) f (x) ax 2a1(a)(x 2a -)a-,因?yàn)?x 2a , a 0 ,由 fx 2a(x) 0,2a1x 一 2a;由 f (x) 0, a得 x 1 2a;a所以,f(x)的增區(qū)間為(2a,1 a2a),減區(qū)間為占 2a,)；(II ),1由(I )知，M (a) f (a2a)_ 22a 1 In a2a121 1 na12 a；1 1na2,2(a2a12) 1na21na11na&2a1a222a2a-加2a2In -a1a2 4a1a2 (一a12lna2, a14 a1a2ao2ln 二 a浮a1)aa251設(shè) h(t) t -2ln t(t1),則 h(t)

18、(1所以，h(t)在(1,)上單調(diào)遞增,h(t)h(l)2lnt 0,也包2lna2ao2ln 二a10, 1,a2a1所以aa2aa21(III )由(1)可知，f (x)在區(qū)間(2a,1 a2a)單調(diào)遞增，又2a時(shí),f(x)，易知,1f(1 2a)aM(a) 2a21 1na 在(2,)遞增，M (a)M(2)ln2 0.2a Xq2a x% 時(shí)，f (x) 0； Xq2a 時(shí),f(x)0.2a1,2a 時(shí), a(a 1)x ln(x2a)2a x2a便能證明(ag(x)ln(x 2 a) (a1)x(Xq xXq)1 2 a) aXq 時(shí)，g (x) (a1) Ua(a1)1Xq 2a(

19、所以，若能證明x0土 2a1、一11) - 0)，圮 H(a) ”了2-2a) 2a2111 1n(a 1)，則a 11H (a) 4a 2(a 1)1-hQa 21H (a) 8 -9H(a)在(2,)內(nèi)單調(diào)遞增,22H(a) H(2)5ln3 0,1f(x)在a-2a)(12a, -a2a)內(nèi)單調(diào)遞增,X0(2a，a2a xX0時(shí),g (x)(a 1)(a x 2a1)12a 2a1g(x)在(2a,Xo)遞減.當(dāng)x02a時(shí)，相應(yīng)的g (x)1x 2a(a1)1(2 a) 2aa(a1) 1 0.，、，1g(x)在(x。,一 2a)遞增,故x0是g(x)的極小值點(diǎn) a x 3 t cos22.解一：(1)由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，y 1 tsin消去參數(shù)t得，x 3 sin y 1 cos 0,即直線l的普通方程為 sin x cos y cos 3sin 0,由圓C的極坐標(biāo)方程為 4cos ，得2 4 cos 0 * ,x cos將 222 代入(*)得，x2 y2 4x 0,x y即C的直角坐標(biāo)方程為x 2 2 y2 4.(2)將直線l的參數(shù)方程代入 x 2 2 y2 4得，t2 2 cos sin t 2 0,