建筑力學(xué)第九章超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力ppt課件

1、9.1 概述概述9.2 力法力法 9.3 位移法位移法 9.4 力矩分配法力矩分配法 9.5 無剪力分配法無剪力分配法9.6 超靜定構(gòu)造計(jì)算方法分析超靜定構(gòu)造計(jì)算方法分析 9.7 超靜定構(gòu)造的特性超靜定構(gòu)造的特性 小小 結(jié)結(jié)9.1.1 超靜定構(gòu)造的概念超靜定構(gòu)造的概念超靜定構(gòu)造是工程中廣泛采用的一類構(gòu)造，為了全面認(rèn)識(shí)超靜定構(gòu)造，我們把它與靜定構(gòu)造作一比較。 圖a所示的剛架是一個(gè)靜定構(gòu)造，它的支座反力和各截面的內(nèi)力都可以由靜力平衡條件獨(dú)一確定。圖b所示的剛架是一個(gè)超靜定構(gòu)造，有四個(gè)反力，卻只能列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，它的支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件獨(dú)一確定。abFFByFAxFA

2、yFFByMAFAxFAy再?gòu)膸缀谓M成方面來分析，圖a所示剛架和圖b所示剛架都是幾何不變的。假設(shè)從圖a所示的剛架中去掉支桿B，其就變成了幾何可變體系。而從圖b所示剛架中去掉支桿B，那么其仍是幾何不變的，從幾何組成上看支桿B是多余約束，所以，該體系有一個(gè)多余約束，是一次超靜定構(gòu)造。abFFByFAxFAyFFByMAFAxFAy綜上所述，存在多余約束，單靠靜力平衡方程不能確定一切支座反力和內(nèi)力，這就是超靜定構(gòu)造與靜定構(gòu)造的根本區(qū)別。9.1.2 超靜定次數(shù)確實(shí)定超靜定次數(shù)確實(shí)定超靜定次數(shù)就是構(gòu)造的多余約束的個(gè)數(shù)，也就是多余未知力的個(gè)數(shù)。所以，確定構(gòu)造的超靜定次數(shù)的方法，就是把原構(gòu)造中的多余約束去掉

3、，使之變成靜定構(gòu)造，所去掉的多余約束的個(gè)數(shù)即為構(gòu)造的超靜定次數(shù)。通常情況下，從超靜定構(gòu)造中去掉多余約束的方式有如下幾種： 1.切斷體系內(nèi)部的一根鏈桿或去掉支座處的一根支桿，相當(dāng)于去掉一個(gè)約束，如下圖。X1(a)(b)X1X2 (a)(b)X1X2X1X2X1X2 (a)(b)cX1X2MAX1X2X1X2X3X3 X1(a)(b)(c)X1用上述去掉多余約束的方式，可以確定任何超靜定構(gòu)造的超靜定次數(shù)。然而，對(duì)于同一個(gè)超靜定構(gòu)造，可用各種不同的方式去掉多余約束而得到不同的靜定構(gòu)造。但不論采用哪種方式，所去掉的多余約束的數(shù)目必然是相等的。但要留意所去掉的約束必需是多余約束。即去掉多余約束后，體系必

4、需是無多余約束的幾何不變體系，原構(gòu)造中維持平衡的必要約束是絕對(duì)不能去掉的。 如圖(a)所示的剛架，假設(shè)去掉一個(gè)支座處的豎向支桿，即變成了如圖(b)所示瞬變體系，這是不允許的。所以，此剛架支座處的豎向支桿不能作為多余約束。 9.1.3 超靜定構(gòu)造的計(jì)算方法超靜定構(gòu)造的計(jì)算方法力法計(jì)算超靜定構(gòu)造，是以靜定構(gòu)造為計(jì)算對(duì)象，把多余未知力作為根本未知量，根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立力法方程，從而把計(jì)算超靜定構(gòu)造多余未知力的問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算靜定構(gòu)造的問題。9.2.1 力法的根本原理力法的根本原理(b)根本構(gòu)造X1(b)根本構(gòu)造X1在圖(b)所示的根本構(gòu)造上，多余未知力X1是替代原構(gòu)造支座B的作用。因此，根本構(gòu)造的受

5、力和變形應(yīng)與原構(gòu)造完全一樣。設(shè)根本構(gòu)造在B點(diǎn)沿X1方向上的位移為1。由于在原構(gòu)造圖(a)中，支座B處的豎向位移等于零。所以，在根本構(gòu)造圖(b) 中，B點(diǎn)由荷載q與多余未知力X1共同作用下在X1方向上的位移1也應(yīng)該為零，即 1=0 上式稱為根本構(gòu)造應(yīng)滿足的 原 構(gòu) 造 的 位 移 條 件 ， 設(shè)1F圖(c)和11圖(d)分別表示荷載q與多余末知力X1單獨(dú)作用于根本構(gòu)造上時(shí)，引起的B點(diǎn)沿X1方向上的位移。由疊加原理，有 1 =11 +1F =0 =+(c)(d)(b)根本構(gòu)造X1X1由于X1是末知力，假設(shè)以11表示X11單獨(dú)作用于根本構(gòu)造時(shí)引起的B點(diǎn)沿X1方向上的位移，即11 = 11 X1 ，那

6、么 11 X1 +1F =0上式稱為力法方程，而11稱為方程的系數(shù)， 1F稱為方程的自在項(xiàng)。由于11和1F均為知力作于靜定構(gòu)造時(shí)，引起的B點(diǎn)沿X1方向上的位移，所以由靜定構(gòu)造的位移計(jì)算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知力X1。 為了詳細(xì)計(jì)算位移11和1F，可分別繪出根本構(gòu)造在荷載q和X11單獨(dú)作用下的MF圖和 圖圖(a，b)，然后用圖乘法計(jì)算。 1M(a) MF 圖圖1)b(MX1(a) MF 圖圖)b(1M 由于MF 圖和 圖分別是根本構(gòu)造在X11和荷載q作用下的彎矩圖，同時(shí) 圖又可了解成為求B點(diǎn)的豎向位移而繪制的單位荷載作用下的彎矩圖。所以，可用圖 乘 圖，即 圖自乘，那么有1M1

7、M1M1M1MEIllllEI332211311X1同理可用 圖乘MF圖計(jì)算1F EIqllqllEI84321311421F將11和1F代入力法方程，可解得多余未知力X1。所得末知力X1為正號(hào)，表示反力X1的方向與所設(shè)的方向一樣。 1Mql8311F11(a) MF 圖圖)b(1MX1多余未知力X1求出后，將已求得的多余力X1與荷載q共同作用在根本構(gòu)造上, 就可以按求解靜定構(gòu)造的方法，求出原構(gòu)造的其他反力和內(nèi)力，最后繪出原構(gòu)造的彎矩圖，如圖c所示。82ql82qlABM圖超靜定構(gòu)造的最后彎矩圖M，也可利用曾經(jīng)繪出的 圖 和MF圖按疊加原理繪出，即 。 F11MXMM1Mc 綜上所述，力法是以

8、多余未知力作為根本未知量，以去掉多余約束后的靜定構(gòu)造作為根本構(gòu)造，根據(jù)根本構(gòu)造在多余約束處與原構(gòu)造完全一樣的位移條件建立力法方程，求解多余未知力，從而把超靜定構(gòu)造的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為靜定構(gòu)造的計(jì)算問題。9.2.2 力法典型方程力法典型方程 前面用一次超靜定構(gòu)造闡明了力法計(jì)算的根本原理，下面以一個(gè)三次超靜定構(gòu)造為例進(jìn)一步闡明力法計(jì)算超靜定構(gòu)造的根本原理和力法的典型方程。圖(a)所示為一個(gè)三次超靜定剛架，荷載作用下構(gòu)造的變形如圖中虛線所示。a這里我們?nèi)サ艄潭ㄖё鵆處的多余約束，用多余未知力 X1、X2 、X3替代，得到如圖(b)所示的根本構(gòu)造。X2X1X3ab 由于原構(gòu)造C處為固定支座，其線位移和角位

9、移都為零。所以，根本構(gòu)造在荷載q及X1、X2 、X3共同作用下，C點(diǎn)沿X1、X2 、X3方向的位移都等于零，即根本構(gòu)造應(yīng)滿足的位移條件為 1=0 2=0 3=0X2X1X3ab 上式就是三次超靜定構(gòu)造的力法方程。 000F3333232131F2323222121F1313212111根據(jù)疊加原理，上面的位移條件可以表示為=+X2X1X3bX2deX3f圖FM1F3F2FcX1 式中：11、21、31 當(dāng)X11時(shí)引起的根本結(jié) 構(gòu)上沿 X1 、X2 、X3方向上的位移圖(c)； 12、22、32 當(dāng)X21時(shí)引起的根本構(gòu)造上沿X1 、 X2 、X3方向上的位移圖(d)； 13、23、33當(dāng)X31時(shí)

10、引起的根本構(gòu)造上沿X1 、X2 、X3方向上的位移圖(e)； 1F、2F、3F荷載引起的根本構(gòu)造上沿X1 、X2 、X3方向上的位移圖(f)。對(duì)于n次超靜定構(gòu)造，用力法分析時(shí)，去掉n個(gè)多余約束，代之以n個(gè)多余未知力，當(dāng)原構(gòu)造在去掉多余約束處的知位移為零時(shí)，采用上面同樣的方法可以得到n個(gè)方程，稱為力法典型方程。詳細(xì)方式如下：000Fi22112F2i2222121F11i1212111nnnnninnnninniXXX 在力法典型方程的前面n項(xiàng)中，位于從左上方至右下方的一條主對(duì)角線上的系數(shù)ii稱為主系數(shù)，它表示Xi=1時(shí)，引起的根本構(gòu)造上沿Xi方向上的位移，它可利用 圖自乘求得,其值恒為正值；主

11、對(duì)角線兩側(cè)的系數(shù)ij(ij)稱為副系數(shù)，它表示Xj =1時(shí)，引起的根本構(gòu)造上沿Xi方向上的位移，它可利用 圖與 圖互乘求得。1MiMjM根據(jù)位移互等定理可知副系數(shù)ij與ji相等；方程組中最后一項(xiàng)iF不含未知力，稱為自在項(xiàng)。它是由荷載單獨(dú)作用在根本構(gòu)造上時(shí)，引起的沿多余力Xi方向上的位移，它可經(jīng)過MF圖與 圖互乘求得。副系數(shù)和自在項(xiàng)能夠?yàn)檎担軌驗(yàn)樨?fù)值，也能夠?yàn)榱恪?iM 由于根本構(gòu)造是靜定的，所以力法典型方程中各系數(shù)和自在項(xiàng)都可按上一章位移計(jì)算的方法求出。解力法方程求出多余未知力Xi (i=1，2，n)后，就可以按靜定構(gòu)造的分析方法求其他反力和內(nèi)力。原構(gòu)造的彎矩可由下面的疊加公式求出：F22

12、11MXMXMXMMnn原構(gòu)造的剪力和軸力可以根據(jù)平衡條件確定。9.2.3 力法的計(jì)算步驟和舉例力法的計(jì)算步驟和舉例 根據(jù)以上所述，用力法計(jì)算超靜定構(gòu)造的步驟可歸納如下： 1選取根本構(gòu)造。去掉原構(gòu)造的多余約束，以相應(yīng)的未知力替代多余約束的作用。 2建立力法典型方程。根據(jù)根本構(gòu)造在去掉多余約束處的位移與原構(gòu)造相應(yīng)位置的位移一樣的條件，建立力法方程。 3計(jì)算力法方程的系數(shù)和自在項(xiàng)。利用計(jì)算力法方程的系數(shù)和自在項(xiàng)。利用靜定構(gòu)造的位移計(jì)算公式，或分別繪出根本構(gòu)靜定構(gòu)造的位移計(jì)算公式，或分別繪出根本構(gòu)造在單位多余力造在單位多余力Xi和荷載作用下的彎矩圖，然和荷載作用下的彎矩圖，然后用圖乘法計(jì)算系數(shù)和自在

13、項(xiàng)后用圖乘法計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng) 。4解方程求多余未知力。將所得各系數(shù)解方程求多余未知力。將所得各系數(shù)和自在項(xiàng)代入力法方程，解出多余未知力和自在項(xiàng)代入力法方程，解出多余未知力Xi。 5繪制原構(gòu)造的內(nèi)力圖。用疊加法繪制原繪制原構(gòu)造的內(nèi)力圖。用疊加法繪制原構(gòu)造的彎矩圖，進(jìn)而根據(jù)平衡條件確定剪力圖和構(gòu)造的彎矩圖，進(jìn)而根據(jù)平衡條件確定剪力圖和軸力圖。軸力圖。1超靜定梁和超靜定剛架超靜定梁和超靜定剛架用力法計(jì)算超靜定梁和剛架時(shí)，通常忽略剪用力法計(jì)算超靜定梁和剛架時(shí)，通常忽略剪力和軸力對(duì)位移的影響，因此，在計(jì)算力法方程力和軸力對(duì)位移的影響，因此，在計(jì)算力法方程的系數(shù)和自在項(xiàng)時(shí)只思索彎矩的影響。的系數(shù)和自在項(xiàng)時(shí)

14、只思索彎矩的影響。【例【例9.1】?jī)啥斯潭ǖ某o定梁如下圖，全跨接】?jī)啥斯潭ǖ某o定梁如下圖，全跨接受均布荷載受均布荷載q的作用，試?yán)L制梁的彎矩圖。的作用，試?yán)L制梁的彎矩圖。 【解】【解】 1) 選取根本構(gòu)造。選取根本構(gòu)造。 這是一個(gè)三次超靜定梁，現(xiàn)去掉這是一個(gè)三次超靜定梁，現(xiàn)去掉A、B端的轉(zhuǎn)動(dòng)端的轉(zhuǎn)動(dòng)約束及約束及B端的程度約束，代之以多余未知力端的程度約束，代之以多余未知力X1、X2、X3，得到根本構(gòu)造如圖，得到根本構(gòu)造如圖 (b)所示。所示。qABl(b)根本構(gòu)造根本構(gòu)造X3X1X2 2) 建立力法方程。建立力法方程。在豎向荷載作用下，當(dāng)不計(jì)梁的軸向變形時(shí)，在豎向荷載作用下，當(dāng)不計(jì)梁的軸向

15、變形時(shí)，可以為軸向約束力為零，即可以為軸向約束力為零，即X3= 0。由根本構(gòu)造在。由根本構(gòu)造在多余未知力多余未知力X1 、X2及荷載的共同作用下，應(yīng)滿足及荷載的共同作用下，應(yīng)滿足在在A端和端和B端的角位移等于零的位移條件。因此力法端的角位移等于零的位移條件。因此力法方程為方程為 00F2222121F1212111 3) 計(jì)算方程的系數(shù)和自在項(xiàng)。計(jì)算方程的系數(shù)和自在項(xiàng)。 分別繪出根本構(gòu)造在單位多余力分別繪出根本構(gòu)造在單位多余力X1=1作用下的作用下的彎矩圖，即彎矩圖，即 圖圖圖圖(c)、 圖圖圖圖(d)，及荷載作用下，及荷載作用下的彎矩的彎矩 圖圖圖圖(e)。1M2MFMABABqAB11圖)

16、 c (1M圖)d(2M圖) e (FM82qlX2=1X1=1利用圖乘法計(jì)算，由利用圖乘法計(jì)算，由 圖自乘，可得圖自乘，可得EIllEI332121111 EIllEI332121122 EIllEI63112112112 由由 圖自乘，可得圖自乘，可得由由 圖與圖與 圖互乘，可得圖互乘，可得1M2M2M1MAB1圖) c (1MX1=1AB1圖)d(2MX2=1由由 圖與圖與 MF 圖互乘，可得圖互乘，可得由由 圖與圖與MF圖互乘，可得圖互乘，可得1M2MEIqlqllEI242181321321F EIqlqllEI242181321322F qAB圖) e (FM82qlAB1圖) c

17、 (1MX1=1AB1圖)d(2MX2=14) 解力法方程求多余未知力。解力法方程求多余未知力。將求得的系數(shù)和自在項(xiàng)代入力法方程，化簡(jiǎn)后將求得的系數(shù)和自在項(xiàng)代入力法方程，化簡(jiǎn)后得得042221 qlX042221 qlX21121ql 22121ql 解得解得 5) 繪制彎矩圖。繪制彎矩圖。由由 繪出最后的彎矩圖繪出最后的彎矩圖圖圖(f) 。ADEB122ql122ql242ql82ql(f)M圖圖F2211MXMXMM【例9.2】試用力法計(jì)算圖示超靜定剛架，并繪制內(nèi)力圖。 F【解】【解】 1) 選取根本構(gòu)造。選取根本構(gòu)造。該剛架為二次超靜定構(gòu)造，去掉該剛架為二次超靜定構(gòu)造，去掉B支座處的支座

18、處的兩個(gè)約束，代之以相應(yīng)的多余未知力兩個(gè)約束，代之以相應(yīng)的多余未知力X1、X2，得，得到圖到圖(b)所示根本構(gòu)造。所示根本構(gòu)造。 (b)根本構(gòu)造根本構(gòu)造(a)原構(gòu)造原構(gòu)造X2X1FF2) 建立力法方程。建立力法方程。由根本構(gòu)造在多余未知力由根本構(gòu)造在多余未知力X1、X2及荷載共同及荷載共同作用下，作用下，B支座處沿支座處沿X1、X2方向上的位移分別為方向上的位移分別為零的位移條件，建立力法方程零的位移條件，建立力法方程00F22221211F212111 3) 計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)。計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)。分別繪出根本構(gòu)造在荷載作用下的分別繪出根本構(gòu)造在荷載作用下的MF圖圖圖圖(c)及在單位力及在單位力

19、X11、X21作用下的作用下的 圖、圖、 圖圖圖圖(d，e)。1M2MABCABCaaa圖) c (FM圖) e (2MF2Fa2Fa2FaABCa圖)d(1M11X12X利用圖乘法計(jì)算，由利用圖乘法計(jì)算，由 圖自乘，可得圖自乘，可得由由 圖與圖與 圖互乘，可得圖互乘，可得1M2M由由 圖自乘，可得圖自乘，可得2M1MEIaaaEI3)3221(13211 EIaaaEIaaEI67)(1)3221(2132222 EIaaaEI2)21(1322112 ACa圖)d(1M11XABCaaa圖) e (2M12X由由 圖與圖與MF圖互乘，可得圖互乘，可得1M由由 圖與圖與 MF 圖互乘，可得圖

20、互乘，可得2MEIFaFaaEI4)221(1321F EIFaaFaEIaaFaEI9653)2(1)652221(21322F ABC圖) c (FMF2Fa2Fa2FaACa圖)d(1M11XABCaaa圖) e (2M12X4) 解方程求多余未知力。解方程求多余未知力。將求得的系數(shù)和自在項(xiàng)代入力法方程，消去將求得的系數(shù)和自在項(xiàng)代入力法方程，消去 后后得得 解得解得 EIa3041213121 FXX09653672121 FXX)(8091 FX)(40172 FX ， 5) 繪制內(nèi)力圖。繪制內(nèi)力圖。利用疊加公式利用疊加公式 ，繪出彎矩，繪出彎矩圖如圖圖如圖a所示。根據(jù)靜定構(gòu)造分析方法

21、，由靜力所示。根據(jù)靜定構(gòu)造分析方法，由靜力平衡條件，繪出剪力圖和軸力圖如圖平衡條件，繪出剪力圖和軸力圖如圖b，c)所示。所示。 FMXMXMM 22114023F403Fa803Fa809FACBABCABC4017F圖)a (M圖)b(SF圖) c (NF8017Fa4023F809F【例【例9.3】試計(jì)算圖示超靜定桁架各桿的軸力?！吭囉?jì)算圖示超靜定桁架各桿的軸力。知各桿知各桿EA為常數(shù)。為常數(shù)?！窘狻俊窘狻?1) 選取根本構(gòu)造。選取根本構(gòu)造。此桁架為一次超靜定構(gòu)造，將此桁架為一次超靜定構(gòu)造，將BC桿作為多余桿作為多余約束，將其切斷代之以多余未知力約束，將其切斷代之以多余未知力X1 ，得到如

22、，得到如圖圖b所示的根本構(gòu)造。所示的根本構(gòu)造。2) 建立力法方程。建立力法方程。根據(jù)根本構(gòu)造在多余未知力及荷載共同作用根據(jù)根本構(gòu)造在多余未知力及荷載共同作用下，下，BC桿切口兩側(cè)截面沿桿軸方向的相對(duì)線位移桿切口兩側(cè)截面沿桿軸方向的相對(duì)線位移為零的條件，建立力法方程為零的條件，建立力法方程 0F1111 X 3) 計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)。計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)。按靜定桁架內(nèi)力的計(jì)算方法，分別求出根本構(gòu)按靜定桁架內(nèi)力的計(jì)算方法，分別求出根本構(gòu)造在造在X1=1和荷載單獨(dú)作用下各桿的內(nèi)力和荷載單獨(dú)作用下各桿的內(nèi)力 和和FNF，如圖如圖c，d所示。所示。1NF系數(shù)和自在項(xiàng)計(jì)算如下：系數(shù)和自在項(xiàng)計(jì)算如下： )22(2

23、2)2(11(222221N11 EAaaaaEAEAlF )222(2)2()2(111N1N1F EAFaaFaFaFEAEAlFFF4) 解方程求多余未知力。解方程求多余未知力。將求得的系數(shù)和自在項(xiàng)代入力法方程，求得將求得的系數(shù)和自在項(xiàng)代入力法方程，求得 ， ， （壓壓力力）21FX 5)計(jì)算各桿最后軸力。計(jì)算各桿最后軸力。由疊加公式由疊加公式 求得各桿軸力如圖求得各桿軸力如圖e所示。所示。FN11NNFXFF在對(duì)排架的柱(含柱頂)進(jìn)展受力分析時(shí)，通常將屋架(或屋面梁)與柱頂間的銜接簡(jiǎn)化為鉸接。由于屋架剛度較大，通常可將屋架視為拉壓剛度EA為無窮大的鏈桿。其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖b所示，我們稱其為

24、鉸接排架。 鉸接排架的超靜定次數(shù)等于排架的跨數(shù)，用力法計(jì)算時(shí)，通常把橫梁作為多余約束切斷，代之以一對(duì)大小相等、方向相反的多余未知力，利用切口兩側(cè)截面相對(duì)軸向位移為零的條件建立力法方程，下面舉例闡明鉸接排架的計(jì)算過程?！纠纠?.4】試用力法計(jì)算圖示鉸接排架，并繪】試用力法計(jì)算圖示鉸接排架，并繪制彎矩圖。知制彎矩圖。知I2=6I1?！窘狻俊窘狻?1選取根本構(gòu)造。選取根本構(gòu)造。切斷兩鏈桿，代之以多余未知力切斷兩鏈桿，代之以多余未知力X1 、X2，得到如圖得到如圖b所示的根本構(gòu)造。所示的根本構(gòu)造。 b根本構(gòu)造根本構(gòu)造 a原構(gòu)造原構(gòu)造2建立力法方程。建立力法方程。由根本構(gòu)造在多余未知力由根本構(gòu)造在多余

25、未知力X1、X2及荷載共同及荷載共同作用下，在鏈桿切口兩側(cè)截面相對(duì)程度位移應(yīng)該作用下，在鏈桿切口兩側(cè)截面相對(duì)程度位移應(yīng)該為零的條件，建立力法方程。為零的條件，建立力法方程。00F22221211F212111 b根本構(gòu)造根本構(gòu)造 3計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)。計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)。分別繪出根本構(gòu)造在單位力分別繪出根本構(gòu)造在單位力X11、X21及及荷載作用下的彎矩圖圖荷載作用下的彎矩圖圖ce。圖(kN.m) e (FM圖(m)d(2M圖(m) c (1MF=利用圖乘法計(jì)算，由利用圖乘法計(jì)算，由 圖自乘，可得圖自乘，可得 1M22111504)6326621(1)6326621(1EIEIEI 圖(m) c (

26、1M由由 圖自乘，可得圖自乘，可得2M2212232270)3321031(3721)3311032(107212)3323321(2EIEIEI 圖(m)d(2M 由由 圖與圖與 圖互乘，可得圖互乘，可得1M2M222112144)4311032(66211EIEI 圖(m)d(2M圖(m) c (1M 由由 圖與圖與MF圖互乘，可得圖互乘，可得1M由由 圖與圖與 MF 圖互乘，可得圖互乘，可得2M01F 2212F314480)3321031(20721)3311032(1607211)231332(201211EIEIEI 圖(kN.m) e (FM圖(m)d(2M圖(m) c (1MF

27、=4解方程求多余未知力。解方程求多余未知力。將求得的系數(shù)和自在項(xiàng)代入力法方程，消去將求得的系數(shù)和自在項(xiàng)代入力法方程，消去 后后得得 解得解得 ， ， 21EI014450421 XX03144803227014421 XXkN927. 11 XkN746. 62 X 5繪制內(nèi)力圖。繪制內(nèi)力圖。利用疊加公式利用疊加公式 ，繪出彎矩圖，繪出彎矩圖如圖如圖f所示。所示。F2211MXMXMMfM 圖圖kNm 【例【例9.5】 加勁梁如下圖。知鏈桿的拉壓剛加勁梁如下圖。知鏈桿的拉壓剛度度EA為常數(shù)，橫梁的彎曲剛度為常數(shù)，橫梁的彎曲剛度EI=9EA。試?yán)L制。試?yán)L制梁的彎矩圖，并計(jì)算各鏈桿軸力。梁的彎矩圖

28、，并計(jì)算各鏈桿軸力?！窘狻俊窘狻?1選取根本構(gòu)造。選取根本構(gòu)造。 原構(gòu)造為一次超靜定構(gòu)造。設(shè)切斷原構(gòu)造為一次超靜定構(gòu)造。設(shè)切斷CD桿，桿，以多余未知力以多余未知力X1替代，得到如圖替代，得到如圖b所示的根所示的根本構(gòu)造。本構(gòu)造。 b根本構(gòu)造根本構(gòu)造 a原構(gòu)造原構(gòu)造 2建立力法方程。建立力法方程。根據(jù)切口處兩側(cè)截面軸向相對(duì)位移為零的條根據(jù)切口處兩側(cè)截面軸向相對(duì)位移為零的條件建立力法方程為件建立力法方程為 01F111 3計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)。計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)。分別繪出根本構(gòu)造在單位力分別繪出根本構(gòu)造在單位力X11及荷載作用及荷載作用下的彎矩圖下的彎矩圖 和和MF圖，并計(jì)算出各鏈桿的軸力如圖圖，并計(jì)算

29、出各鏈桿的軸力如圖c，d所示。所示。圖(kN.m)d(FMN1圖(m),) c (FM1M計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)如下：計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)如下： EAEAEAEAEI77.2332515193631253)25(12332632112211 EAEIEI600540002)385636032(11F 圖(kN.m)d(FMN11圖(m)，) c (FM4解方程求多余未知力。解方程求多余未知力。將求得的系數(shù)和自在項(xiàng)代入力法方程，解得將求得的系數(shù)和自在項(xiàng)代入力法方程，解得 ， ， 25.242kN/77.23/60011F11 EAEAX 5繪制橫梁最后彎矩圖和并求各鏈桿的軸力。由繪制橫梁最后彎矩圖和并求各

30、鏈桿的軸力。由疊加公式疊加公式FN11NNF11FFFMMM 所求橫梁最后彎矩圖和各鏈桿的軸力如圖所求橫梁最后彎矩圖和各鏈桿的軸力如圖e所示。所示。)kN(圖(kN.m)，) e (NFMB1ABB(a)B1A端固定的一次超靜定梁，如圖(b)所示，支座B發(fā)生與圖(a)同樣的位移。因有多余約束存在，在支座B挪動(dòng)的過程中，梁不能發(fā)生自在轉(zhuǎn)動(dòng)，梁軸線有彎曲變形，梁中產(chǎn)生內(nèi)力。 ABBB1(a)ABB(b)用力法計(jì)算支座挪動(dòng)引起的超靜定構(gòu)造的內(nèi)力，與上述計(jì)算類似，獨(dú)一區(qū)別是力法方程中的自在項(xiàng)的計(jì)算不同，下面經(jīng)過例題闡明。【例9.6】一單跨超靜定梁如下圖，知固定支座A發(fā)生轉(zhuǎn)角 ，試?yán)L制梁的彎矩圖。 【解

31、】【解】 1選取根本構(gòu)造。選取根本構(gòu)造。去掉去掉B支座處的約束，代之以相應(yīng)的多余未支座處的約束，代之以相應(yīng)的多余未知力知力X1，得到如圖，得到如圖(b)所示的根本構(gòu)造。所示的根本構(gòu)造。 b根本構(gòu)造根本構(gòu)造 a原構(gòu)造原構(gòu)造 X12建立力法方程。建立力法方程。根本構(gòu)造在多余未知力及支座挪動(dòng)共同作用根本構(gòu)造在多余未知力及支座挪動(dòng)共同作用下在下在B支座處引起的位移應(yīng)與原構(gòu)造一樣，因此支座處引起的位移應(yīng)與原構(gòu)造一樣，因此力法方程為力法方程為0c1111b根本構(gòu)造根本構(gòu)造 X1 3計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)。計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)。系數(shù)的計(jì)算與前述完全一樣。自在項(xiàng)系數(shù)的計(jì)算與前述完全一樣。自在項(xiàng)1c那么那么表示根本構(gòu)造由

32、于表示根本構(gòu)造由于A支座發(fā)生轉(zhuǎn)角支座發(fā)生轉(zhuǎn)角 所引起的沿所引起的沿X1方向上的位移，可由上一章引見的位移公式計(jì)算，方向上的位移，可由上一章引見的位移公式計(jì)算，即即繪出根本構(gòu)造在單位力繪出根本構(gòu)造在單位力X11作用下的作用下的 圖并圖并求出相應(yīng)的反力求出相應(yīng)的反力圖圖(c)。1McR1c由由 圖自乘，可得圖自乘，可得1Ma原構(gòu)造原構(gòu)造EIlllllEI332211311 自在項(xiàng)那么為自在項(xiàng)那么為llcR)(1cb根本構(gòu)造根本構(gòu)造 X1X1圖) c (1M4解方程求多余未知力。解方程求多余未知力。將系數(shù)和自在項(xiàng)代入力法方程，解得將系數(shù)和自在項(xiàng)代入力法方程，解得 ， 311c113lEIX5繪制內(nèi)力

33、圖。繪制內(nèi)力圖。由于根本構(gòu)造是靜定構(gòu)造，支座挪動(dòng)在根本由于根本構(gòu)造是靜定構(gòu)造，支座挪動(dòng)在根本構(gòu)造中不引起內(nèi)力，內(nèi)力完全由多余未知力引起。構(gòu)造中不引起內(nèi)力，內(nèi)力完全由多余未知力引起。彎矩疊加公式為彎矩疊加公式為 。繪出彎矩圖如圖。繪出彎矩圖如圖d所示。所示。11XMM dM圖圖對(duì)于圖對(duì)于圖(a)所示的超靜所示的超靜定梁，假設(shè)去掉定梁，假設(shè)去掉A支座處限支座處限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束，代之以相制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束，代之以相應(yīng)的多余未知力，那么得應(yīng)的多余未知力，那么得到的根本構(gòu)造為如下圖的到的根本構(gòu)造為如下圖的簡(jiǎn)支梁。簡(jiǎn)支梁。a原構(gòu)造原構(gòu)造根本構(gòu)造根本構(gòu)造相應(yīng)的力法方程那么是由根本構(gòu)造在多余未相應(yīng)的力法方程那么是由根

34、本構(gòu)造在多余未知力及支座挪動(dòng)共同作用下在知力及支座挪動(dòng)共同作用下在A支座處引起的轉(zhuǎn)支座處引起的轉(zhuǎn)角應(yīng)與原構(gòu)造一樣的條件建立的，即力法方程為角應(yīng)與原構(gòu)造一樣的條件建立的，即力法方程為 111X繪出根本構(gòu)造在單繪出根本構(gòu)造在單位 力位 力 X 1 1 作 用 下 的作 用 下 的 圖，由圖，由 圖自乘，可得圖自乘，可得1M1MEIllEI313221111 圖圖1M將系數(shù)代入力法方程，解得將系數(shù)代入力法方程，解得按同樣的方法繪制彎矩圖如圖按同樣的方法繪制彎矩圖如圖(d)所示。所示。 lEIX311c11dM圖圖經(jīng)過以上分析可以看出，與載荷作用相比用力法計(jì)算由支座挪動(dòng)引起的超靜定構(gòu)造內(nèi)力有以下幾個(gè)特

35、點(diǎn)：(1) 選取不同的根本構(gòu)造時(shí)，力法方程的方式有所不同，方程等號(hào)右邊可以不為零。(2) 力法方程的自在項(xiàng)是由支座挪動(dòng)在根本構(gòu)力法方程的自在項(xiàng)是由支座挪動(dòng)在根本構(gòu)造中產(chǎn)生的位移，可由靜定構(gòu)造支座挪動(dòng)的位移造中產(chǎn)生的位移，可由靜定構(gòu)造支座挪動(dòng)的位移公式確定。公式確定。(3) 由于沒有載荷作用，所以構(gòu)造的內(nèi)力全部由于沒有載荷作用，所以構(gòu)造的內(nèi)力全部由多余未知力產(chǎn)生。由多余未知力產(chǎn)生。(4) 由計(jì)算結(jié)果及內(nèi)力圖可以看出，支座挪動(dòng)由計(jì)算結(jié)果及內(nèi)力圖可以看出，支座挪動(dòng)時(shí)引起的超靜定構(gòu)造的內(nèi)力與構(gòu)造彎曲剛度時(shí)引起的超靜定構(gòu)造的內(nèi)力與構(gòu)造彎曲剛度EI的的絕對(duì)值成正比。絕對(duì)值成正比。 ， 9.2.4 超靜定構(gòu)

36、造的位移計(jì)算超靜定構(gòu)造的位移計(jì)算 超靜定構(gòu)造的位移計(jì)算和靜定構(gòu)造的位移計(jì)算方法一樣，即采用單位荷載法。由力法計(jì)算可知，當(dāng)多余未知力解出后，靜定的根本構(gòu)造在多余未知力和荷載共同作用下的內(nèi)力和變形是與原構(gòu)造的受力與變形完全一致的。因此，超靜定構(gòu)造的位移計(jì)算問題可以轉(zhuǎn)化為根本構(gòu)造的位移計(jì)算問題，即靜定構(gòu)造的位移計(jì)算問題。由于超靜定構(gòu)造的內(nèi)力不隨力法計(jì)算所選的根本構(gòu)造不同而異，所以，最后的內(nèi)力圖可以以為是由與原構(gòu)造對(duì)應(yīng)的恣意根本構(gòu)造求得的。故在計(jì)算超靜定構(gòu)造的位移時(shí)，虛擬單位力可以施加在其中任何一種方式的根本構(gòu)造作為虛擬形狀。因此，為使計(jì)算簡(jiǎn)化，可選取單位內(nèi)力圖較簡(jiǎn)單的根本構(gòu)造來施加虛擬單位力。綜合以

37、上分析，可以得出超靜定構(gòu)造位移計(jì)算的步驟如下：(1)用力法求解超靜定構(gòu)造，求出其最后內(nèi)力或繪出內(nèi)力圖，以此作為實(shí)踐形狀；(2)將單位力施加在根本構(gòu)造上作為虛擬形狀，并求出相應(yīng)的內(nèi)力或繪出內(nèi)力圖；(3)按位移公式或圖乘法求超靜定構(gòu)造的位移。下面舉例闡明超靜定構(gòu)造由于荷載作用引起的位移計(jì)算。【例9.7】 求圖a所示剛架橫梁中點(diǎn)D的豎向位移。 (a)【解】【解】 1用力法求解，作出最后彎矩圖如用力法求解，作出最后彎矩圖如圖圖b所示。所示。2) 選取懸臂剛架為根本構(gòu)造，將單位力施加選取懸臂剛架為根本構(gòu)造，將單位力施加在根本構(gòu)造上，繪出在根本構(gòu)造上，繪出 圖如圖圖如圖c所示。所示。 1M )mkN(圖)

38、b(M圖) c (1M 由由M圖與圖與 圖相乘，可得圖相乘，可得1M3按圖乘法求構(gòu)造的位移。按圖乘法求構(gòu)造的位移。EIEID20)24203224602124202123221021221210(1V )mkN(圖)b(Mm)c (圖(1M 假設(shè)取圖假設(shè)取圖(d)所示根本構(gòu)造，在所示根本構(gòu)造，在D點(diǎn)施加豎向點(diǎn)施加豎向單位力單位力F=l作為虛擬形狀并繪圖。將作為虛擬形狀并繪圖。將M圖與圖與 圖進(jìn)圖進(jìn)展圖乘得展圖乘得1MEIEID20)104121(1V 圖(m)d(1M)mkN(圖)b(M 以上選取不同的兩種根本構(gòu)造作為虛擬形狀，計(jì)算結(jié)果那么完全一樣，顯然后者計(jì)算較為簡(jiǎn)單。最后需求闡明的是，在計(jì)

39、算超靜定構(gòu)造的過程中，經(jīng)過的計(jì)算步驟和數(shù)學(xué)運(yùn)算較多，比較容易發(fā)生錯(cuò)誤。為保證最后結(jié)果的正確性，校核任務(wù)是非常重要的。最后內(nèi)力圖的校核，應(yīng)從平衡條件和變形條件兩個(gè)方面進(jìn)展： 正確的內(nèi)力圖首先要滿足平衡條件。平衡條件的校核就是檢驗(yàn)超靜定構(gòu)造的最后內(nèi)力圖能否完全滿足靜力平衡條件，即構(gòu)造的整體或恣意取出構(gòu)造的一部分都應(yīng)滿足平衡條件。 正確的內(nèi)力圖還應(yīng)該滿足變形條件。由于計(jì)算超靜定構(gòu)造內(nèi)力時(shí)，除平衡條件外，還運(yùn)用了變形條件。特別是在力法中，多余未知力是由變形條件求得的，因此，校核任務(wù)應(yīng)以變形條件為重點(diǎn)。校核變形條件的普通作法是，恣意選取根本構(gòu)造，恣意選取一個(gè)多余未知力Xi，然后根據(jù)最后的內(nèi)力圖算出沿Xi

40、方向的位移i，并檢查i能否與原構(gòu)造中的相應(yīng)位移(給定值)相等。9.2.5 對(duì)稱性的利用對(duì)稱性的利用 用力法計(jì)算超靜定構(gòu)造時(shí)，要建立和解算力法方程，構(gòu)造的超靜定次數(shù)愈高，需求計(jì)算力法方程中的系數(shù)和自在項(xiàng)的任務(wù)量就愈大。為了簡(jiǎn)化力法計(jì)算，可根據(jù)構(gòu)造特點(diǎn)恰中選取根本構(gòu)造，盡能夠使力法方程中的副系數(shù)為零，這樣就可以減少計(jì)算任務(wù)量，從而到達(dá)簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。 在工程實(shí)踐中，許多構(gòu)造都具有對(duì)稱性，利用構(gòu)造的對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化力法計(jì)算。1. 對(duì)稱性的概念1 構(gòu)造的對(duì)稱性構(gòu)造的對(duì)稱性，是指構(gòu)造對(duì)某一軸的對(duì)稱。即對(duì)稱構(gòu)造必需有對(duì)稱軸。而且必需滿足以下兩個(gè)條件： 1構(gòu)造的幾何外形、尺寸和支承情況對(duì)某一構(gòu)造的幾何外形、尺

41、寸和支承情況對(duì)某一軸對(duì)稱；軸對(duì)稱；2桿件截面的外形、尺寸和資料性質(zhì)也對(duì)此桿件截面的外形、尺寸和資料性質(zhì)也對(duì)此軸對(duì)稱。軸對(duì)稱。因此，對(duì)稱構(gòu)造繞對(duì)稱軸對(duì)折后，對(duì)稱軸兩邊因此，對(duì)稱構(gòu)造繞對(duì)稱軸對(duì)折后，對(duì)稱軸兩邊的構(gòu)造圖形完全重合。的構(gòu)造圖形完全重合。如下圖的兩個(gè)構(gòu)造均為對(duì)稱構(gòu)造。其中圖a所示的剛架，有一根對(duì)稱軸。而圖b所示的箱形構(gòu)造那么有兩根對(duì)稱軸。ab2 荷載的對(duì)稱性荷載的對(duì)稱性作用在對(duì)稱構(gòu)造上的任何荷載圖作用在對(duì)稱構(gòu)造上的任何荷載圖a都都可以分解為對(duì)稱荷載圖可以分解為對(duì)稱荷載圖b和反對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載圖圖c兩種。兩種。所謂對(duì)稱荷載是指繞對(duì)稱軸對(duì)折后，對(duì)稱軸兩邊的荷載完全重合。即力的大小、方向一

42、樣，力的作用點(diǎn)相對(duì)應(yīng)圖b。反對(duì)稱荷載，是指繞對(duì)稱軸對(duì)折后，對(duì)稱軸兩邊的荷載彼此相反，即力的大小相等，力的作用點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，但力的指向是相反的圖c。需求指出的是，對(duì)稱構(gòu)造在對(duì)稱荷載作用下，構(gòu)造的變形是對(duì)稱的，如圖b虛線所示；對(duì)稱構(gòu)造在反對(duì)稱荷載作用下，構(gòu)造的變形也是反對(duì)稱的，如圖c虛線所示。利用構(gòu)造的對(duì)稱性和荷載的對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化力法計(jì)算。 梁的切口兩側(cè)有三對(duì)大小相等而方向相反的多余未知力，其中X1、X2是對(duì)稱力，X3為反對(duì)稱力。根據(jù)根本構(gòu)造在切口兩側(cè)截面的相對(duì)程度位移、相對(duì)豎向位移以及相對(duì)轉(zhuǎn)角應(yīng)為零的條件，得到力法方程如下：0003F3332321312F3232221211F313212111根本

43、構(gòu)造在各單位多余未知力作用下的彎矩圖和變形圖如圖bd所示?？梢钥闯?，對(duì)稱的未知力X1=1和X2=1所產(chǎn)生的彎矩圖 圖和 圖以及變形圖是對(duì)稱的；反對(duì)稱的未知力X3所產(chǎn)生的彎矩圖 圖和變形圖是反對(duì)稱的。1M2M3M因此，力法方程的系數(shù)為0d0d323223313113sEIMMsEIMMll于是，力法方程簡(jiǎn)化為0003F3332F2221211F212111可以看出，力法方程已分解為獨(dú)立的兩組：一組為上式的前兩式，其只包含對(duì)稱的未知力X1、X2；另一組為上式的第三式，只包含反對(duì)稱的未知力X3。2荷載分組荷載分組由于任何荷載都可以分解為對(duì)稱荷載和反對(duì)稱由于任何荷載都可以分解為對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載，所

44、以力法方程的自在項(xiàng)，也同樣可以簡(jiǎn)化。荷載，所以力法方程的自在項(xiàng)，也同樣可以簡(jiǎn)化。+例如對(duì)于如下圖的恣意荷載，可以分解為對(duì)稱荷載圖a和反對(duì)稱荷載圖b。=(a)MF圖(b)MF圖0d33FsEIMMlF當(dāng)構(gòu)造上的荷載為對(duì)稱荷載時(shí)，荷載作用于根本構(gòu)造的MF圖為對(duì)稱的如圖a所示。這時(shí)由于 圖是反對(duì)稱的，因此有 3M(a)MF圖由力法方程的第三式可知，反對(duì)稱的多余未知力X3=0。由此得出結(jié)論：對(duì)稱的超靜定構(gòu)造在對(duì)稱荷載作用下，反對(duì)稱的多余未知力必為零，只存在對(duì)稱的多余未知力。當(dāng)構(gòu)造上的荷載為反對(duì)稱荷載時(shí)，荷載作用于根本構(gòu)造的MF圖為反對(duì)稱的如圖b所示。這時(shí)由于 圖和 圖是對(duì)稱的，因此有1M2M0d11F

45、sEIMMlF0d22FsEIMMlF(b)MF圖由力法方程的前兩式可知，對(duì)稱的多余未知力X1=X2=0。于是可得結(jié)論：對(duì)稱的超靜定構(gòu)造在反對(duì)稱荷載作用下，對(duì)稱的多余未知力必為零，只存在反對(duì)稱的多余未知力。綜上所述，在用力法計(jì)算受恣意荷載作用的對(duì)稱構(gòu)造時(shí)，只需選取對(duì)稱的根本構(gòu)造，把荷載分解為對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載，那么根本未知量都是對(duì)稱未知力或反對(duì)稱未知力，力法方程必然分成獨(dú)立的兩組，其中一組只包含對(duì)稱未知力，另一組只包含反對(duì)稱未知力。這樣一來，原來的高階聯(lián)立方程組就分解成兩個(gè)獨(dú)立的低階方程組，從而使計(jì)算得到簡(jiǎn)化?！纠纠?.8】繪制圖示單跨對(duì)稱剛架的彎矩圖。】繪制圖示單跨對(duì)稱剛架的彎矩圖?！窘?/p>

46、】【解】 1對(duì)稱性分析。對(duì)稱性分析。這是一個(gè)三次超靜定對(duì)稱剛架，荷載為恣意荷這是一個(gè)三次超靜定對(duì)稱剛架，荷載為恣意荷載。為使計(jì)算簡(jiǎn)化，將圖載。為使計(jì)算簡(jiǎn)化，將圖a所示的荷載分解為所示的荷載分解為對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載圖對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載圖b，c兩種情況。兩種情況。在對(duì)稱荷載作用下在對(duì)稱荷載作用下圖圖b，假設(shè)忽略橫梁，假設(shè)忽略橫梁軸向變形，那么只需橫梁接受軸向壓力軸向變形，那么只需橫梁接受軸向壓力F/2，其他，其他桿件無內(nèi)力。所以，為了繪原剛架的彎矩圖，只需桿件無內(nèi)力。所以，為了繪原剛架的彎矩圖，只需繪在反對(duì)稱荷載繪在反對(duì)稱荷載圖圖c作用下的彎矩圖。作用下的彎矩圖。2選取根本構(gòu)造。選取根本構(gòu)造。

47、在反對(duì)稱荷載作用下，選用圖在反對(duì)稱荷載作用下，選用圖d所示的根所示的根本構(gòu)造。由于荷載是反對(duì)稱的，在橫梁中點(diǎn)切口的本構(gòu)造。由于荷載是反對(duì)稱的，在橫梁中點(diǎn)切口的兩側(cè)截面上彎矩和軸力，都是對(duì)稱未知力，所以均兩側(cè)截面上彎矩和軸力，都是對(duì)稱未知力，所以均為零。故切口處只需反對(duì)稱未知力為零。故切口處只需反對(duì)稱未知力X1存在。存在。 3建立力法方程。建立力法方程。根據(jù)橫梁中點(diǎn)切口兩側(cè)截面的相對(duì)豎向位移應(yīng)根據(jù)橫梁中點(diǎn)切口兩側(cè)截面的相對(duì)豎向位移應(yīng)該等于零的條件，建立力法方程為該等于零的條件，建立力法方程為4計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)。計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)。分別繪出根本構(gòu)造在荷載及分別繪出根本構(gòu)造在荷載及X1=1作用下的彎作

48、用下的彎矩圖矩圖MF圖和圖和 圖，如圖圖，如圖e，f所示。所示。1M0F2122 X 由圖乘法計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)為由圖乘法計(jì)算系數(shù)和自在項(xiàng)為1211F23122111422212122232222112212EIlFhlhFhEIEIlEIhllllEIlhlEI (f)M1圖(e)MF圖5解力法方程。解力法方程。代入力法方程，設(shè)代入力法方程，設(shè) ，解得，解得lIhIk12 lFhkkX21661 6繪彎矩圖。繪彎矩圖。 由疊加法由疊加法 繪出彎矩圖如下圖。繪出彎矩圖如下圖。F11MXMM4166Fh41626FhF力法計(jì)算超靜定構(gòu)造是以多余未知力為根本未知量，當(dāng)構(gòu)造的超靜定次數(shù)較高時(shí)，用力法計(jì)

49、算比較費(fèi)事。而位移法那么是以獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移為根本未知量，未知量個(gè)數(shù)與超靜定次數(shù)無關(guān)，故一些高次超靜定構(gòu)造用位移法計(jì)算比較簡(jiǎn)便。9.3.1 位移法的根本概念位移法的根本概念位移法是以構(gòu)造的結(jié)點(diǎn)位移作為根本未知量，由平衡條件建立位移法方程求解結(jié)點(diǎn)位移，利用桿端位移和桿端內(nèi)力之間的關(guān)系計(jì)算桿件和構(gòu)造的內(nèi)力，從而把超靜定構(gòu)造的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為單跨超靜定梁的計(jì)算問題。 。 為了闡明位移法的根本概念，我們來研討圖a所示的等截面延續(xù)梁。此梁在均布荷載作用下的變形情況如圖虛線所示。由于B點(diǎn)為剛性結(jié)點(diǎn)，所以，匯交于此點(diǎn)的各桿在該端將發(fā)生一樣的轉(zhuǎn)角 。BBB在分析上述延續(xù)梁時(shí)，我們可以這樣思索：把桿AB看作是兩端固

50、定的梁在B端發(fā)生了轉(zhuǎn)角 ；把桿BC看作是B端固定C端鉸支的梁，在梁上受均布荷載作用，并在B端發(fā)生轉(zhuǎn)角 ，如圖b所示。BBBB因此，如把結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角 作為支座挪動(dòng)對(duì)待，那么上述延續(xù)梁可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)單跨超靜定梁。只需可以計(jì)算出轉(zhuǎn)角 的大小，就可以用力法計(jì)算出這兩個(gè)單跨超靜定梁的全部反力和內(nèi)力 。BBBB下面分為四步討論如何計(jì)算轉(zhuǎn)角 的問題。第一步，添加約束，將結(jié)點(diǎn)B鎖住。假設(shè)在結(jié)點(diǎn)B處參與一附加剛臂圖(a)，附加剛臂的作用是約束B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，而不能約束挪動(dòng)，即相當(dāng)于固定端。ABBB(a)根本構(gòu)造BC于是圖a所示的等截面延續(xù)梁變成了由AB和BC兩個(gè)單跨超靜定梁組成的組合體。我們把參與附加剛臂后的構(gòu)造稱為

51、位移法計(jì)算的根本構(gòu)造。在根本構(gòu)造上受外荷載作用，并使B點(diǎn)附加剛臂轉(zhuǎn)過與實(shí)踐變形一樣的轉(zhuǎn)角Z1= ，使根本構(gòu)造的受力和變形與原構(gòu)造獲得一致圖(a)，進(jìn)而用根本構(gòu)造替代原構(gòu)造的計(jì)算。B第二步，在根本構(gòu)造中，只需荷載q的作用，無轉(zhuǎn)角Z1影響，如圖(b)所示。其彎矩圖可由力法計(jì)算如圖(b)所示，在附加剛臂上產(chǎn)生的約束力矩為R1F。(b)第三步，施加力偶，使根本構(gòu)造的結(jié)點(diǎn)B產(chǎn)生角位移Z1如圖(c)所示。在B端發(fā)生轉(zhuǎn)角Z1的支座挪動(dòng)，其彎矩圖可由力法計(jì)算得到，如圖(c)所示，在附加剛臂上產(chǎn)生的約束力矩為R11 。c第四步，把根本構(gòu)造的兩種情況疊加，計(jì)算轉(zhuǎn)角Z1。由疊加原理可得根本構(gòu)造在兩種情況下引起的約束

52、力矩為R11+R1F。由于根本構(gòu)造的受力和變形與原構(gòu)造一樣，在原構(gòu)造上沒有附加剛臂，故根本構(gòu)造中附加剛臂上的約束力矩應(yīng)為零。即 R11+R1F =0 。如在圖(c)中令r11表示當(dāng)Z1=1時(shí)附加剛臂上的約束力矩，即R11= r11Z1 ，那么上式改寫為 r11Z1+ R1F =0上式稱為位移法方程。式中的r11稱為系數(shù)；R1F稱為自在項(xiàng)。它們的方向規(guī)定與Z1方向一樣為正，反之為負(fù)。 為了由位移法方程求解Z1，可由圖 (b)中取結(jié)點(diǎn)B為隔離體，由力矩平衡條件得出 ；由圖(c)中取結(jié)點(diǎn)B為隔離體，并令Z1=1，由力矩平衡條件得出 。代入位移法方程，得 821FqlRlEIr711EIqlZ5631

53、cb求出Z1后，將圖(b，c)兩種情況疊加，即得原構(gòu)造的彎矩圖如圖 (d)所示。ABC82ql282ql142ql(d)總結(jié)以上分析過程，可以把位移法計(jì)算的解題思緒歸納如下：1以獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移作為位移法的根本未知量。2以添加附加約束后的一系列單跨超靜定梁的組合體作為位移法的根本構(gòu)造。3以根本構(gòu)造在附加約束處的受力與原構(gòu)造一致的平衡條件建立位移法方程。4原構(gòu)造的內(nèi)力是荷載和結(jié)點(diǎn)位移共同下，原構(gòu)造的內(nèi)力是荷載和結(jié)點(diǎn)位移共同下，在根本構(gòu)造中產(chǎn)生的內(nèi)力。在根本構(gòu)造中產(chǎn)生的內(nèi)力。在位移法計(jì)算中，要用力法對(duì)每個(gè)單跨超靜定在位移法計(jì)算中，要用力法對(duì)每個(gè)單跨超靜定梁的桿端彎矩和桿端剪力進(jìn)展計(jì)算。為了運(yùn)用方便，

54、梁的桿端彎矩和桿端剪力進(jìn)展計(jì)算。為了運(yùn)用方便，對(duì)各種約束的單跨超靜定梁由荷載及支座挪動(dòng)引起對(duì)各種約束的單跨超靜定梁由荷載及支座挪動(dòng)引起的桿端彎矩和桿端剪力數(shù)值均列于表的桿端彎矩和桿端剪力數(shù)值均列于表9.1中，以備查中，以備查用。用。在表9.1中，i=EI/l，稱為桿件的線剛度。表9.1中桿端彎矩的正、負(fù)號(hào)規(guī)定為：對(duì)桿端而言彎矩以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎龑?duì)支座或結(jié)點(diǎn)而言，那么以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄樨?fù)如下圖。至于剪力的正、負(fù)號(hào)仍與以前規(guī)定一樣。轉(zhuǎn)角以順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。表9.1 等截面直桿的桿端彎矩和剪力 1 1 續(xù)表9.1 等截面直桿的桿端彎矩和剪力 1 1 續(xù)表9.1 等截面直桿的桿端彎矩和剪力

55、 續(xù)表9.1 等截面直桿的桿端彎矩和剪力 續(xù)表9.1 等截面直桿的桿端彎矩和剪力 續(xù)表9.1 等截面直桿的桿端彎矩和剪力 9.3.2 位移法根本未知量與根本體系位移法根本未知量與根本體系在構(gòu)造中，普通情況下剛結(jié)點(diǎn)的角位移數(shù)目和剛結(jié)點(diǎn)的數(shù)目一樣，但構(gòu)造獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移的數(shù)目那么需求分析判別后才干確定。下面舉例闡明如何確定位移法的根本未知量。圖a所示剛架有兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)，如今兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)都發(fā)生了角位移和線位移，但在忽略桿件的軸向變形時(shí)，這兩個(gè)線位移相等，即獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移只需一個(gè)，因此用位移法求解時(shí)，該構(gòu)造的根本未知量是兩個(gè)角位移 和 以及一個(gè)線位移。 DC(b)同理，圖b所示排架有三個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)，其程度線

56、位移一樣，故該構(gòu)造的根本未知量是一個(gè)線位移。 當(dāng)構(gòu)造的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的數(shù)目由直觀的方法難以判別時(shí)，那么可以采用“鉸化結(jié)點(diǎn)、添加鏈桿的方法判別。即在確定構(gòu)造獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移時(shí)，先把一切的結(jié)點(diǎn)和支座都換成鉸結(jié)點(diǎn)和鉸支座，得到一個(gè)鉸結(jié)體系。假設(shè)此體系是幾何不變體系，那么由此知道構(gòu)造的一切結(jié)點(diǎn)均無獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移。假設(shè)此體系是幾何可變體系或瞬變體系，那么可以經(jīng)過添加鏈桿使其變?yōu)閹缀尾蛔凅w系，所添加的最少鏈桿的數(shù)目，就是原構(gòu)造的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的數(shù)目。例如圖(a)所示構(gòu)造，鉸化結(jié)點(diǎn)后添加一根鏈桿可變?yōu)閹缀尾蛔凅w系 圖(b)，所以結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移的數(shù)目為一，整個(gè)構(gòu)造的根本未知量為兩個(gè)角位移和一個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移。

57、圖(a)所示剛架有兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)D和E，在忽略各桿件本身軸向變形的情況下，兩結(jié)點(diǎn)有一樣的線位移，所以只需在結(jié)點(diǎn)D和E處附加兩個(gè)剛臂，以阻止兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，在結(jié)點(diǎn)E處附加支座鏈桿以限制其線位移。(b)根本構(gòu)造(a)原構(gòu)造這樣就使得原構(gòu)造變成為無結(jié)點(diǎn)線位移及角位移的一系列單跨超靜定梁的組合體，即位移法的根本構(gòu)造圖(b)。(b)根本構(gòu)造(a)原構(gòu)造需求強(qiáng)調(diào)闡明：力法中的根本構(gòu)造是從原構(gòu)造中撤除多余約束而代之以多余未知力的靜定構(gòu)造。而位移法的根本構(gòu)造是在原構(gòu)造上添加約束構(gòu)成假設(shè)干個(gè)單跨超靜定梁的組合體。雖然它們的方式不同，但都是原構(gòu)造的代表，其受力和變形與原構(gòu)造是一致的。9.3.3 位移法典型方程及計(jì)算

58、舉例位移法典型方程及計(jì)算舉例 圖(a) 所示剛架有兩個(gè)根本未知量，即結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角Z1和結(jié)點(diǎn)C的程度位移Z2。在結(jié)點(diǎn)B處施加限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束附加剛臂，在結(jié)點(diǎn)C加一控制程度線位移的約束附加支座鏈桿，得到的根本構(gòu)造如圖(b) 所示。(b)根本構(gòu)造(a)原構(gòu)造下面利用疊加原理建立位移法方程。(1) 計(jì)算根本構(gòu)造在荷載單獨(dú)作用時(shí)各附加約束上的約束力。先求出各桿的桿端力，然后求約束中存在的約束力R1F、R2F圖 (a)。 圖 (a)FR1FR2FF2計(jì)算根本構(gòu)造在結(jié)點(diǎn)計(jì)算根本構(gòu)造在結(jié)點(diǎn)B發(fā)生轉(zhuǎn)角發(fā)生轉(zhuǎn)角Z1時(shí)各附時(shí)各附加約束上的約束力。使根本構(gòu)造在結(jié)點(diǎn)加約束上的約束力。使根本構(gòu)造在結(jié)點(diǎn)B發(fā)生單位轉(zhuǎn)發(fā)生單位轉(zhuǎn)

59、角角Z1=1，但結(jié)點(diǎn)，但結(jié)點(diǎn)C仍被鎖住。這時(shí)，可求出根本構(gòu)仍被鎖住。這時(shí)，可求出根本構(gòu)造在桿件造在桿件AB、BC和和CD的桿端力，以及在兩個(gè)約束的桿端力，以及在兩個(gè)約束中分別存在的約束力中分別存在的約束力r11和和r21圖圖 (b)。于是我們把。于是我們把圖圖 (b)擴(kuò)展擴(kuò)展Z1倍，即乘以倍，即乘以Z1 。 (b) (c)3計(jì)算根本構(gòu)造在結(jié)點(diǎn)計(jì)算根本構(gòu)造在結(jié)點(diǎn)C發(fā)生程度位移發(fā)生程度位移Z2時(shí)時(shí)各附加約束上的約束力。使根本構(gòu)造在結(jié)點(diǎn)各附加約束上的約束力。使根本構(gòu)造在結(jié)點(diǎn)C發(fā)生發(fā)生單位程度位移單位程度位移Z2=1，但結(jié)點(diǎn)，但結(jié)點(diǎn)B仍被鎖住。這時(shí)，可仍被鎖住。這時(shí)，可求出根本構(gòu)造在桿件求出根本構(gòu)造在

60、桿件AB、BC和和CD的桿端力，以及的桿端力，以及在兩個(gè)約束中分別存在的約束力在兩個(gè)約束中分別存在的約束力r12和和r22圖圖 (c)。于是我們把圖于是我們把圖(c)擴(kuò)展擴(kuò)展Z2倍，即乘以倍，即乘以Z2 。疊加以上三種情況，得根本構(gòu)造在荷載和結(jié)點(diǎn)位移Z1、Z2共同作用下的結(jié)果。根據(jù)以上各種要素引起的附加約束上的約束力疊加后應(yīng)與原構(gòu)造一致，即各附加約束上的總約束力應(yīng)等于零的條件?？闪谐鰞蓚€(gè)位移法方程 r11Z1+r12Z2+r13Z3+R1F=0 r21Z1+r22Z2+r23Z3+R2F=0 式中的系數(shù)和自在項(xiàng)，是由荷載和結(jié)點(diǎn)位移Z1、Z2共同作用下，在附加約束上引起的約束力?？捎山Y(jié)點(diǎn)隔離體和