直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系―知識講解(提高)

1、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一知識講解(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解并掌握直線與圓、圓與圓的各種位置關(guān)系；2 .理解切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，并熟練掌握以上內(nèi)容解決一些實(shí)際問題；3 .了解兩個(gè)圓相離(外離、內(nèi)含)，兩個(gè)圓相切(外切、內(nèi)切)，兩圓相交，圓心距等概念.理解兩圓的位 置關(guān)系與d、ri、r2之間的等價(jià)條件并靈活應(yīng)用它們解題.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系1 點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點(diǎn)分成了三個(gè)集合，即圓內(nèi)的點(diǎn)，圓上的點(diǎn)和圓外的點(diǎn)，這三類點(diǎn)各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)。的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離為d

2、,則有(1)點(diǎn)尸在圓內(nèi)=d匚r。Jh門(2)點(diǎn)尸在圓上n d=廣=也?十/- r;(3)點(diǎn)尸在圓外n d 尸=十爐？ r.2 .三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等要點(diǎn)詮釋：(1)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系；(2)不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓要點(diǎn)二、直線和圓的位置關(guān)系1 .直線和圓的三種位置關(guān)系：(1)相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交.這時(shí)直線叫做圓的割線.(2)相

3、切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切.這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn) 叫做切點(diǎn).(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離.2 .直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì).直線與圓的位置關(guān)系能否像點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進(jìn)行分析判斷呢？由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和 點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系.下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖 (2)中直線與圓心的距離等于半徑; 圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑.如果。的半徑為r,圓心。到直線的距離為d,那么(0直線，和0%交Od<n(2)直線/和®。相切= *(

4、3)直線，和O。相離今dr.要點(diǎn)詮釋：這三個(gè)命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)系的判定.要點(diǎn)三、切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長定理1 .切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線要點(diǎn)詮釋：切線的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，二是直線與過交點(diǎn)的半徑垂直，缺一不可2 .切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑 .3 .切線長：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長要點(diǎn)詮釋：切線長是指圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，不是“切線的長”的簡稱.切線是直線，而非線段.4 .切線長定理：

5、從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角 要點(diǎn)詮釋：切線長定理包含兩個(gè)結(jié)論：線段相等和角相等5 .三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓6 .三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等. 要點(diǎn)詮釋：(1)任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形；(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即S = 1pr (S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).(3)三角形的外心與內(nèi)心的

6、區(qū)另1J:名稱確定方法外心(三角形 外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交占內(nèi)心(三角形 內(nèi)切圓的圓心)二角形二條角平分線 的交點(diǎn)圖形(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB OC分別平分/ BAG /ABG Z ACB (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.性質(zhì)(1)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即 OA=OB=QC(2) 外心不一定在三角形內(nèi)部要點(diǎn)四、圓和圓的位置關(guān)系1 .圓與圓的五種位置關(guān)系的定義兩圓外離：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離兩圓外切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí), 叫做這兩個(gè)圓外切.這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)

7、.兩圓相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做這兩圓相交兩圓內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí), 叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).兩圓內(nèi)含：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含2 .兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關(guān)系:設(shè)O Ol的半徑為 門，。2半徑為2,兩圓心O1O2的距離為d,則:兩圓外離d=: d>ri+r2兩圓外切 =：d=i+2兩圓相交 1 ri-r2< dv 門+2 (ri > r2)兩圓內(nèi)切d=r d=ri-r2 (門兩圓內(nèi)含 =d<ri-r2 (門>2)要點(diǎn)

8、詮釋：(1)圓與圓的位置關(guān)系，既考慮它們公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分類，又可以分為：相離(含外離、內(nèi)含卜相切(含內(nèi)切、外切 卜相交；(2)內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點(diǎn)叫作切點(diǎn)；(3)具有內(nèi)切或內(nèi)含關(guān)系的兩個(gè)圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合【典型例題】類型一、點(diǎn)與圓的為位置關(guān)系1.已知。O的半徑r=5cm,圓心O到直線l的距離d=OD = 3cm,在直線l上有P、Q、R三點(diǎn), 且有PD=4cm, QD>4cm, RD v 4cm, P、Q、R三點(diǎn)與。O位置關(guān)系各是怎樣的 ？【思路點(diǎn)撥】 判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是計(jì)算出點(diǎn)與圓心的距離，再與圓的半徑比較大小

9、，即可得 出結(jié)論.【答案與解析】依題意畫出圖形(如圖所示)，計(jì)算出P、Q、R三點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑比較大小.連接 PO, QO, RO.PD=4cm, OD=3cm,PO= . PD2 OD2、42 32 5 r.點(diǎn)P在OO上.IJ JQO,'QD2OD2,QD23.42325 r，E 7中- 飛 點(diǎn)Q在。外.RO. RD2OD2, RD232. 4232 5 r, 點(diǎn)R在。內(nèi).【總結(jié)升華】 本題也可以先計(jì)算出直線 l上的點(diǎn)恰好在圓上時(shí)，改點(diǎn)與垂足點(diǎn)D之間的距離，然后再比較得出結(jié)論.類型二、直線與圓的位置關(guān)系2.如圖， ABC內(nèi)接于。0, D為AB延長線上一點(diǎn)，且/ DCBW A,

10、求證：CD是。的切線?！敬鸢概c解析】如圖，彳直徑 CE,連結(jié) BE,則/ CBE=90 , / E=/A, /DCBNA, / DCBWE, / E+/BCE=90 , . / DCB吆 BCE=90 ,即 CDL EC, EC又是直徑， .CD是。O的切線。A和B是切點(diǎn)，BC是直徑.【總結(jié)升華】 證切線常用的方法是連半徑（或直徑） ，證垂直 舉一反三:【變式】已知：如圖，P為。外一點(diǎn)，PA、PB為。的切線, 求證：AC / OP【答案】如圖，連接OA AB,圓gABC勺外接圓, ./ BAC= 90度，即 ACL ABPA、PB 為。O 的切線， OAhPA OBL PB, PA=PB 且

11、OA= OB= r,2 .OP! ABI勺的垂直平分線.-.AB± OPACll OP匪直同一條線的兩直線平行）如圖所示，I是4ABC的內(nèi)心，/ A=80° ,求/ BIC的度數(shù).【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)/ A的度數(shù)，可以求出/ ABC吆ACB的度數(shù)，再根據(jù)內(nèi)心是三角形三條角平分線的交 點(diǎn)，可以求出/ 1 + /2的度數(shù)，進(jìn)而求得/ BIC的度數(shù).【答案與解析】3 I是 ABC的內(nèi)心，/ 1 = 1 / ABC , / 2= 1 / ACB .22/1 + / 2= 1 ( Z ABC+ Z ACB).2又 / ABC+ / ACB = 180° - ZA= 180&#

12、176; -80° =100° ,/BIC = 180° -( Z 1+Z2) =180° -50° =130° .1 , 一【總結(jié)升華】熟記結(jié)論，I是4ABC的內(nèi)心，則/BIC=90 +/BAC , I是4ABC的外比2則/BIC=2/A,對解有關(guān)的填空、選擇題很方便.類型三、圓與圓的位置關(guān)系.如圖所示，O O的半徑為5,點(diǎn)P為。外一點(diǎn),OP = 8.求：(1)以P為圓心作。P與。相切，則。P的半徑為多少？(2)當(dāng)。P與。相交時(shí)，O P的半徑的取值范圍為多少【答案與解析】(1)當(dāng)。P與。外切時(shí)，則有 5+r = 8,r= 3.當(dāng)。P與。O內(nèi)切時(shí)，則有r-5=8,r= 13.當(dāng)r= 3或13時(shí)，0O與。P相切.(2)當(dāng)。P與。相交時(shí)，則有| r-5| <8<r+5,解得 3< r< 13,即當(dāng)3V rv 13時(shí)，。P與。O相交.【總結(jié)升華】兩圓相切包含兩圓外切與兩圓內(nèi)切，兩圓外切和內(nèi)切的對應(yīng)關(guān)系分別為d = R+r和d =R-r(R>r),它們起著分界作用，分別