點(diǎn)差法公式在雙曲線中點(diǎn)弦問題中的妙用doc

1、點(diǎn)差法公式在雙曲線中點(diǎn)弦問題中的妙用圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點(diǎn)。它的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若已知直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個(gè)與弦 的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”，它的一般結(jié)論叫做點(diǎn)差法公式。本文就雙曲線的點(diǎn)差法公式在高考中的妙用做一些粗淺的探討，以饗讀者。定理在雙曲線 x2y 210b0l與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)（ a ， ）中，若直線a2

2、b2P(x0 , y0 ) 是弦 MN 的中點(diǎn)，弦 MN 所在的直線 l 的斜率為 k MN ，則 kMNy0b2.x0a2x12y121,(1)( x1 ,y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，則有a 2b2證明：設(shè) M、 N 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x2 2y221.(2)a 2b2(1)x12x2 2y12y2 20.(2) ，得a 2b2y2y1y2y12b2 .x2x1x2x1a又 kMNy2y1y1y22 y0y0.x2x1,x22x0x0x1y0b2kMNx0a 2 .同理可證，在雙曲線y 2x 21（ a 0， b 0）中，若直線 l 與雙曲線相交于M、N 兩點(diǎn)，a2b 2點(diǎn) P(

3、x0 , y0 ) 是弦 MN 的中點(diǎn)，弦 MN 所在的直線 l 的斜率為 k MN ，則 kMNy0a 2.x0b2典題妙解2例 1 已知雙曲線C : y 2x1，過點(diǎn) P(2,1) 作直線 l 交雙曲線 C 于 A、 B 兩點(diǎn) .3（ 1）求弦 AB 的中點(diǎn) M 的軌跡；（ 2）若 P 恰為弦 AB 的中點(diǎn)，求直線 l的方程 .解：（ 1） a 21, b 23, 焦點(diǎn)在 y 軸上 .設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (x, y) ，由 k ABya21y1 ，xb2 得： yx2x3整理得： x23 y 22x3y0.所求的軌跡方程為x 23 y 22x3y0.（ 2）P 恰為弦 AB 的中點(diǎn)，y0a

4、211 , 即 k AB2 .由 kAB得：kABx0b2233直線 l的方程為 y12 ( x2) ，即 2x3 y10.3例 2已知雙曲線 C : 2x 2y 22 與點(diǎn) P(1,2).（ 1）斜率為 k 且過點(diǎn) P 的直線 l 與 C 有兩個(gè)公共點(diǎn)，求k 的取值范圍；（ 2）是否存在過點(diǎn) P 的弦 AB ，使得 AB 的中點(diǎn)為 P？（ 3）試判斷以 Q(1,1) 為中點(diǎn)的弦是否存在 .解：（ 1）直線 l 的方程為 y2k (x 1) ，即 ykx2 k.y kx2k,22)22(22 )246 0.由得 (kxkxkk2x2y22.k直線 l 與 C 有兩個(gè)公共點(diǎn)，k 220,得4(k

5、 22k )24(k 22)(k 24k6)0.解之得： k 3 且 k2.22, 3).k 的取值范圍是 (,2 )(2,2 )(2（ 2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2y21,a 21,b 22.2設(shè)存在過點(diǎn) P 的弦 AB ，使得 AB 的中點(diǎn)為 P，則由 k ABy0b2得： k 2 2, k 1.x02a由（ 1）可知， k 1時(shí)，直線 l 與 C 有兩個(gè)公共點(diǎn)，存在這樣的弦.這時(shí)直線 l 的方程為 yx1.（ 3）設(shè)以Q(1,1)為中點(diǎn)的弦存在，則由kABy0b2得： k 12, k 2.x0a 2由（ 1）可知， k2 時(shí)，直線 l 與 C 沒有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)以 Q(1,1) 為中點(diǎn)的

6、弦不存在 .例3 過點(diǎn)M(2,0)作直線 l 交雙曲線 C : x2y 21 于 A 、B 兩點(diǎn)，已知 OPOA OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)） ，求點(diǎn) P 的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.解：在雙曲線 C : x 2y 21中， a 2b 21，焦點(diǎn)在 x 軸上 .設(shè)弦 AB 的中點(diǎn)為 Q .OP OAOB,由平行四邊形法則知：OP 2OQ ，即 Q 是線段 OP 的中點(diǎn) .設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( x, y) ，則點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為x , y.22yb 2yyyy由 kAB2得：21 ，xa2xxx 4x222整理得： x2y24x0.配方得： ( x2) 2y 21.44點(diǎn) P 的軌跡方程是(x2)

7、2y21 ，它是中心為( 2,0)，對稱軸分別為x 軸和直線44x 2 0的雙曲線 .例 4. 設(shè)雙曲線 C 的中心在原點(diǎn)，以拋物線y 223x4 的頂點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為雙曲線的右準(zhǔn)線（）試求雙曲線C 的方程；（）設(shè)直線 l: y2x1與雙曲線 C 交于 A, B 兩點(diǎn)，求 AB ；（）對于直線l : ykx1，是否存在這樣的實(shí)數(shù)k ，使直線 l 與雙曲線 C 的交點(diǎn) A, B 關(guān)于直線 l ' : yax4( a 為常數(shù) )對稱，若存在，求出 k 值；若不存在，請說明理由解：（）由 y223x4 得 y22 3( x2 ) ，3p3(2 ,0)x321.32323c2

8、,Ca 231.a 21 , b21.3c23C3x 2y21 .y2x1,x24x20.3x 2y 21.( ,),(,).A x1y1B x2 y2x1x24, x1 x22|AB|(1k 2 )( x1x2 ) 24x1 x2 (122)(4) 2422 10.klCA, Bl 'l 'AB.a1l ': y1 x4 .ABP(x0 , y0 ) .kkk ABy0b 2y03ky03x0 .x0a2kx0y01 x04ky0x04k.kx0k, y03 .y0kx013 k 21k2 .3x 2y 21,(k23)x2220.ykx1.kxlCA B4k 28(

9、k 23) 0k 2 6k 23.kk2.金指點(diǎn)睛1. (03)F (7 ,0)yx1M NMN23x2y2B.x 2y 21C.x 2y 2x2y 2A.14351D.1342252.（ 02 江蘇）設(shè) A、 B 是雙曲線 x 2y 21上兩點(diǎn)，點(diǎn) N (1,2) 是線段 AB 的中點(diǎn) .2（ 1）求直線 AB 的方程；（ 2）如果線段 AB 的垂直平分線與雙曲線相交于C、 D 兩點(diǎn)，那么A、 B、 C、 D 四點(diǎn)是否共圓，為什么？3. 已知雙曲線 x2y 21 ，過點(diǎn) P(1 ,3 ) 作直線 l 交雙曲線于 A、 B 兩點(diǎn) .322（ 1）求弦 AB 的中點(diǎn) M 的軌跡 ;（ 2）若點(diǎn)

10、P 恰好是弦 AB 的中點(diǎn)，求直線l 的方程和弦 AB 的長 .4、雙曲線 C 的中心在原點(diǎn)， 并以橢圓 x2y 21 的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)， 以拋物線 y22 3x 的準(zhǔn)線為2513右準(zhǔn)線 .（ 1）求雙曲線C 的方程；（ 2）設(shè)直線 l : ykx3( k0) 與雙曲線 C 相交于 A、 B 兩點(diǎn)，使 A、 B 兩點(diǎn)關(guān)于直線l ' : ymx6( m0) 對稱，求 k 的值 .參考答案25y0b255b21.解：在直線 yx1中， k1 ， x得 13.時(shí)， y. 由 kMNa222a233x03b 25得 a22,b 2又由 a225 .a 2b 2c27故答案選 D.2.解：（ 1）

11、a21,b22，焦點(diǎn)在 x 上. 由 kABy0b2得： k AB 22 ， k AB1.x0a2所求的直線 AB 方程為 y21 (x1) ，即 x y10 .（ 2）設(shè)直線 CD 的方程為 xym0 ，點(diǎn) N (1,2) 在直線 CD 上，1 2m0， m3.直線 CD 的方程為 xy30.yb2得： 1y，即 y2x .又設(shè)弦 CD 的中點(diǎn)為 M ( x, y) ，由 kCDa 22xxxy 3 0,由得 x3, y 6 .y 2x.點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( 3,6) .xy10,又由x2y21.得 A(1,0), B(3,4) .2由兩點(diǎn)間的距離公式可知：|MA| |MB|MC| |MD|

12、 210 .故 A 、 B、 C、 D 四點(diǎn)到點(diǎn) M 的距離相等，即A、B、C、D 四點(diǎn)共圓 .3.解：（ ）a21,b23，焦點(diǎn)在 x 上.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 (x, y).1若直線 l 的的斜率不存在，則lx 軸，這時(shí)直線 l 與雙曲線沒有公共點(diǎn)，不合題意，故直線l 的的斜率存在 .3yb2yy由 kAB得：23 ，xa21xx2整理，得： 6x22y233y0.x點(diǎn) M 的軌跡方程為 6x 22 y23x3y0 .y0b 23（ 2）由 kAB得： kAB23，k AB1.x0a21321) ，即 y所求的直線 l方程為 y1 ( xx 1.22由 x2y 21, 得 x 2x2 0，3yx1.解之得： x12, x21 .| AB|1 k 2 | x2x1 |23 32.4. 解：（ 1）在橢圓 x 2y 21中， a5, b13, ca 2b 22 3 ，2513F1 (23,0), F2 (23,0) .y223xp33.x2a23.a3,b3.c2Cx