知識講解二項式定理110

1、二項式定理【學習目標】1 理解并掌握二項式定理，了解用計數(shù)原理證明二項式定理的方法2 會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題【要點梳理】要點一：二項式定理1. 定義一般地 , 對于任意正整數(shù)n , 都有：(ab) nCn0a nCn1a n 1bCnr an r brCnn bn ( nN * ) ，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做(ab) n 的二項展開式。式中的 Cnr an r br 做二項展開式的通項，用Tr+1 表示，即通項為展開式的第r+1 項： Tr 1Cnr an r br ，其中的系數(shù) Cnr （ r=0， 1， 2， ， n）叫做二項式系數(shù)，2

2、二項式 (a+b)n 的展開式的特點：(1) 項數(shù)：共有 n+1 項，比二項式的次數(shù)大1；(2) 二項式系數(shù)：第 r+1 項的二項式系數(shù)為 C rn ，最大二項式系數(shù)項居中；(3) 次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n字母 a 降冪排列，次數(shù)由次數(shù)從 0 到 n，每一項中， a， b 次數(shù)和均為n；n 到0；字母b 升冪排列，3. 兩個常用的二項展開式： (a b)nCn0 anC n1an 1b( 1)r Cnr an r br( 1)n C nnbn ( n N * ) (1 x)n1 Cn1 x Cn2x2Cnr xrxn要點二、二項展開式的通項公式二項展開式的通項：Tr 1 Cnr

3、an-r br （ r0,1,2, , n ）公式特點：r它表示二項展開式的第r+1 項，該項的二項式系數(shù)是Cn ； a 與 b 的次數(shù)之和為 n。要點詮釋：（ 1）二項式 (a+b)n 的二項展開式的第 r+1 項 Cnr an r br 和 (b+a)n 的二項展開式的第r+1 項 Cnr bn r ar 是有區(qū)別的，應用二項式定理時，其中的a 和 b 是不能隨便交換位置的（ 2 ） 通 項 是 針 對 在 (a+b)n這 個 標 準 形 式 下 而 言 的 ， 如 (a b)n的 二項展開式的通項是Tr 1( 1)r Cnr an r br （只需把 b 看成 b 代入二項式定理） 。要

4、點三：二項式系數(shù)及其性質(zhì)1. 楊輝三角和二項展開式的推導。在我國南宋，數(shù)學家楊輝于1261 年所著的詳解九章算法如下表，可直觀地看出二項式系數(shù)。(ab) n 展開式中的二項式系數(shù) , 當 n 依次取1,2,3, 時 , 如下表所示 :(ab)111(ab) 2121(ab) 31331(ab) 41464 1(ab) 51510 1051(ab) 61615 2015 61上表叫做 二項式系數(shù)的表 , 也稱楊輝三角 ( 在歐洲 , 這個表叫做帕斯卡三角 ), 反映了二項式系數(shù)的性質(zhì)。表中每行兩端都是 1，而且除 1 以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和。用組合的思想方法理解(a+b)n 的展

5、開式中anr br 的系數(shù) Cnr的意義：為了得到 (a+b)n 展開式中anr br的系數(shù)，可以考慮在(abababrnrr的nab)() () 這 n 個括號中取 r 個 b，則這種取法種數(shù)為C，即為n系數(shù)2. (ab)n 的展開式中各項的二項式系數(shù)Cn0 、 C n1 、 Cn2 Cnn 具有如下性質(zhì)：對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即C nrC nn r ；增減性與最大值： 二項式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小， 在中間取得最大值. 其中，n當 n 為偶數(shù)時，二項展開式中間一項的二項式系數(shù)Cn2最大；當 n 為奇數(shù)時，二項展開式中間兩項的二

6、項n1n1式系數(shù) Cn2， Cn2相等，且最大 .各二項式系數(shù)之和為2n ，即 Cn0Cn1Cn2Cn3Cn4Cnn2n ；二項展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即 Cn0Cn2Cn4Cn1Cn3Cn52n 1 。要點詮釋：二項式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別二項展開式中，第r+1 項 Cnr a n r b r 的二項式系數(shù)是組合數(shù) C nr ，展開式的系數(shù)是單項式Cnr anr br的系數(shù)，二者不一定相等。如 (a b)n 的二項展開式的通項是Tr1(1)r C nr anr br ，在這里對應項的二項式系數(shù)都是Cnr ，但項的系數(shù)是 (1)r Cnr，可以看出，二項

7、式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的概念3. (a bc)n 展開式中 a p bq cr的系數(shù)求法（p,q, r 0 的整數(shù)且 pqr n ）(a b c) n( a b) c nC nr (a b) n r c rC nr C nqr a n r qb q cr如： (abc)10 展開式中含 a3 b2 c 5 的系數(shù)為 C103C 72 C5510!5!3!2!要點詮釋：三項或三項以上的展開式問題，把某兩項結(jié)合為一項，利用二項式定理解決。要點四：二項式定理的應用1.求展開式中的指定的項或特定項（或其系數(shù)）.2. 利用賦值法進行求有關(guān)系數(shù)和。二項式定理表示一個恒等式，對于任意的a， b，該等式都成立

8、。利用賦值法（即通過對a、 b 取不同的特殊值）可解決與二項式系數(shù)有關(guān)的問題，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項等情況。設(shè) f (x) (ax b) na0a1 xa2 x2an xn(1)令 x=0，則 a0f (0)bn(2)令 x=1，則 a0a1 a2anf (1)(ab)n(3)令 x= 1，則 a0a1a2a3( 1)n anf ( 1) ( a b) n(4)a0 a2 a4f (1)f (-1)2f (1)- f (-1)(5) a1a3a523.利用二項式定理證明整除問題及余數(shù)的求法：如：求證： 32 n 28n9 能被 6

9、4 整除（ nN * ）4.證明有關(guān)的不等式問題：有些不等式， 可應用二項式定理， 結(jié)合放縮法證明， 即把二項展開式中的某些正項適當刪去 (縮小 )，或把某些負項刪去 ( 放大 ) ，使等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后再根據(jù)不等式的傳遞性進行證明。(1 x)n1 nx ； (1 x)n1 nxn( n 1) x 2 ；（ x0）2如：求證： 2(11 ) nn5.進行近似計算：求數(shù)的 n 次冪的近似值時，把底數(shù)化為最靠近它的那個整數(shù)加一個小數(shù)當 | x | 充分小時，我們常用下列公式估計近似值： (1 x) n1 nx ； (1 x) n1nxn(n 1) x 2 ；2如：求 1.056 的近似值，使結(jié)

10、果精確到0.01；【典型例題】類型一、 求二項展開式的特定項或特定項的系數(shù)35例 1.求的二項式的展開式2x2x2【思路點撥】 按照二項式的展開式或按通項依次寫出每一項，但要注意符號【解析】53（ 1）解法一：2x2x202C50 (2 x)53C51(2 x)43C52 (2 x)33C53 (2 x)22x22x22x245C54 (2 x)3C5532x22x2(或減一個小數(shù))的形式。332x232 x5120x2180135405243xx48x732x1035(4 x33)5解法二：2x2x232x10110 C50 (4 x3 )5C51(4 x3) 4 ( 3) C52 (4 x

11、3 )3 ( 3)2C53 (4 x3) 2 ( 3)3C54 (4 x3)( 3) 4C55 ( 3)5 32 x110 (1024x153840 x125760 x94320 x6 1620 x3243)32 x18013540524332 x5120x2xx48x710 。32x【總結(jié)升華】 記準、記熟二項式 (a+b)n 的展開式，是解答好與二項式定理有關(guān)問題的前提條件，對較復雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡捷舉一反三：【變式】求2x1x6的二項式的展開式【答案】先將原式化簡。再展開162x16162xxxx3 (2x1)13 C60 (2 x) 6C61 (2 x)5C62 (2

12、x) 4C63 (2 x)3C64 (2 x)2C65 (2 x) C66 x113(64 x6192x5240x4160x360x2 12 x 1)xx3例 2 試求：（ 1） (x3 2 )5 的展開式中 x5 的系數(shù)；x 2（ 2） (2x2 1 )6 的展開式中的常數(shù)項；x【思路點撥】先根據(jù)已知條件求出二項式的指數(shù)n，然后再求展開式中含x 的項因為題中條件和求解部分都涉及指定項問題，故選用通項公式【解析】（ 1） Tr 1 C 5r (x 3 ) 5r (22 ) r(2)r C 5r x15 5rx依題意 15 5r 5 ，解得 r 2故 (2)2C 5r 40為所求 x5 的系數(shù)（

13、 2） Tr 1r2 6-r1rr6 -rr 12 3r() (1)C 6 x C6 (2x )2x依題意 12 3r 0 ，解得 r 4故 ( 1) 4 22 C62 60 為所求的常數(shù)項【總結(jié)升華】1. 利用通項公式求給定項時避免出錯的關(guān)鍵是弄清共有多少項, 所求的是第幾項, 相應的 r 是多少；2. 注意系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別；3. 在求解過程中要注意冪的運算公式的準確應用。舉一反三：【變式 1】求 ( x21) 9 的展開式中 x 3 的二項式系數(shù)及x3 的系數(shù) .x【答案】 126， 126；通項 Tr 1C9r ( x2 )9 r ( 1) r( 1)r C9rx18 3r ，x

14、18 3r3 ， r5 ，故展開式中 x3 的二項式系數(shù)為C95C94126 ，x 3 的系數(shù)為 (1)5C95126.【變式 2】求( 3 x1) 15 的展開式中的第4 項 .x5【答案】455x 2 ；T4 C153 ( 3x)153 (1)31)3C153155(x 6455x 2 。x【變式 3】（ 1）求 ( x3)9 的展開式常數(shù)項；（ 2）求 ( x3 )9 的展開式的中間兩項3x3xr x9 r3 rr2r99 3 r【答案】2Tr 1C9(3) (x )C9 3x，（ 1）當 93 r0, r6時展開式是常數(shù)項，即常數(shù)項為T7C96332268 ；2（ 2） ( x3 )9

15、 的展開式共10 項，它的中間兩項分別是第5 項、第6 項，3xT5 C94 389 x942C9591512， T63109 x2378 x3x3110例 3 求二項式x2的展開式中的有理項2x【思路點撥】展開式中第r+1 項為 C10r (x2 )10 r12 xr，展開式中的有理項，就是通項中x 的指數(shù)為正整數(shù)的項1r20 5 r1r2 10 rrx【解析】2設(shè)二項式的通項為 Tr 1 C10( x )2 xC102令 205 rZ ，即 r=0 ， 2， 4， 6， 8 時， 205 rZ 。22C100 x20 10 T1x20 ，2245 x15 ，T3C102x151244T5C

16、104x101105x10 ，286T7C106x51105 x5 ，2328T9C108x0145 。225610r，二項式 x21的展開式中的常數(shù)項是第9項： 45；有理項是第1 項：x20，第 3 項： 45x15 ，2x2564第 5 項： 105 x10 ，第 7 項：105 x5 ，第 9 項：45 832256【總結(jié)升華】求有理項是對x 的指數(shù)是整數(shù)情況的討論，要考慮到一些指數(shù)或組合數(shù)的序號的要求舉一反三：n【變式】如果在x1的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項。24 x【答案】（1）展開式中前三項的系數(shù)分別為1， n， n(n 1) ，由題意得： 2 n =1

17、+ n( n1) 得 n =8。2828r1163r設(shè)第 r+1 項為有理項，4Tr1c82rx，則 r 是 4 的倍數(shù)，所以r=0， 4， 8。有理項為 T1x4 , T535 x,T912。8256 x類型二、二項式之積及三項式展開問題例 4求 (1x)2 (1x)5 的展開式中 x 3 的系數(shù) .【思路點撥】將 (1x) 2 變形為 12xx2 ，要使兩個因式的乘積中出現(xiàn)x 3 ，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)可以分類討論：當前一個因式為1 時，后面的應該為x 3 ；當前一個因式為x 時，后面的應該為 x2 ；當前一個因式為 x2 時，后面的應該為x ；也可以利用通項公式Tr 1Cnr a n r b

18、r 化簡解答?！窘馕觥拷夥ㄒ唬?1x) 2 (1 x)5(12xx2 )(1x)5 ，(1x) 5 的通項公式 Tk1C5k(x) k( 1) k C5k x k （ k0,1,2,3,4,5），分三類討論：（ 1）當前一個因式為1 時，后面的應該為x 3 ，即 T4(1)3 C52 x310x3 ；（ 2）當前一個因式為2x時，后面的應該為x2 ，即 T3(1)2 C52 x210 x2 ；（ 3）當前一個因式為x2 時，后面的應該為x ，即 T2(1)1 C51x15x ；故展開式中 x3 的系數(shù)為1021055 。解法二：(1x) 2 的通項公式 Tr1C2rxr（ r0,1,2 ），(

19、1x) 5 的通項公式 Tk1C5k(x) k( 1) k C5k x k , （ k0,1,2,3,4,5），令 kr 3 , 則 k1 或 k2 或 k3 ，r2r 1r0從而 x 3 的系數(shù)為C51C21C52C535 。舉一反三：【變式 1】求 (1x2 )(1x)5 的展開式中x3 的系數(shù) .【答案】 15 ；(1 x) 5 的通項公式 Tk 1 C5k ( x) k(1) k C5k x k （ k0,1,2,3,4,5），分二類討論：（ 1）當前一個因式為1 時，后面的應該為x 3 ，即 T4(1)3 C52 x310x3 ；（ 2）當前一個因式為x2 時，后面的應該為x ，即

20、T2(1)1 C51x15x ；故展開式中x3 的系數(shù)為15 。【變式 2】在 (1 x)5(1- x)4 的展開式中，x3 的系數(shù)為 _【答案】(1x) 5(1- x)4 (1 x)(1- x2)4，其中 (1- x2)4 展開的通項為C4r (-x2)r，31故展開式中x 的系數(shù)為C4 -42 85例 5. 求 (1+x+x ) 展開式中x 的系數(shù)【思路點撥】要把上式展開，必須先把三項中的某兩項結(jié)合起來，看成一項，才可以用二項式定理展開，然后再用一次二項式定理，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理展開【解析】解 法 一 ： (1+x+x 2 )8=1+(x+x2) 8 ，

21、所 以 Tr1C8r (xx2 ) r ， 則 x5的 系 數(shù) 由 (x+x 2)r來決定，T k 1Crk xr k x2kCrk xrk ，令 r+k=5 ，解得r5 或 r4 或 r3 。k0k1k2含 x5 的系數(shù)為 C85C50C84C41C83C32504。解法二： (1 xx2 )8(1x)x2 8C80 (1x)8C81 (1x)7 x2C82 (1x)6 ( x2 ) 2C83 (1x)5 (x2 )3C87 (1x)( x2 ) 7C88 ( x2 )8 ，則展開式中含 x5 的系數(shù)為 C80C85C81 C73C82C61504 。解法三： (1+x+x 2)8=(1+x

22、+x 2)(1+x+x 2) (1+x+x2)（共 8 個），這 8個因式中乘積展開式中形成x5 的來源有三：（ 1）有 2 個括號各出1 個 x2，其余6 個括號恰有1 個括號出1 個 x，這種方式共有 C82C61 種；（ 2）有 1 個括號出 1 個 x2，其余7 個括號中恰有3 個括號各出1 個 x，共有 C81C61 種；（ 3）沒有 1 個括號出 x2，恰有 5 個括號各給出1 個 x，共有 C85 種所以 x5 的系數(shù)是C82 C81C81 C73C85504 【總結(jié)升華】 高考題中，常出現(xiàn)三項式展開或兩個二項式乘積的展開問題，所用解法一般為二項式定理展開，或?qū)⑷検睫D(zhuǎn)化為二項式

23、舉一反三：13【變式 1】2的展開式中的常數(shù)項 .xx3611【答案】2=x 所求展開式中的常數(shù)項是3 20xx- C6x【變式 2】在 (1+x+px2)10 的展開式中，試求使x4 的系數(shù)為最小值時p 的值【答案】由通項 Tr 1C10r( xpx2 )rC10r xr(1 px) r，又 (1+px)r 的通項為 Crm ( px)m 。 Tr 1C10r Crmpm xr m 。而 m+r=4 ，且 0 m r10。m0m1m2。，或r，或r2r43 x4 的系數(shù)為C104C40C103C31 pC102C22 p245 p2360 p 210 45( p28 p) 210 45( p

24、 4) 2510 。僅當 p= 4 時， x4 的系數(shù)為最小。類型三：有關(guān)二項式系數(shù)的性質(zhì)及計算的問題例 6. （ 1）求 (1+2x)7 展開式中系數(shù)最大的項；（ 2）求 (12x)7 展開式中系數(shù)最大的項?！舅悸伏c撥】利用展開式的通項，得到系數(shù)的表達式，進而求出其最大值?！窘馕觥浚?1）設(shè)第 r+1 項系數(shù)最大，則有C7r 2rC7r 1 2r 1C7r 2rC7r 1 2r 17!r7!2r121r !(7r )!2(r1)!(7rr8r1)!，即7!127!r2r1r !(7r )!2(r1)!(7r7rr11)!r163 ，即41r 5 1解得， r=5。r13333系數(shù)最大的項為T

25、6T5 1C7525 x5672x5 。（ 2）展開式共有8 項，系數(shù)最大的項必為正項，即在第一、三、五、七這四項中取得。又因(1 2x)7括號內(nèi)的兩項中后項系數(shù)絕對值大于前項系數(shù)絕對值，故系數(shù)最大的項必在中間或偏右，故只需要比較T5和 T7 兩項系數(shù)大小即可，T5系數(shù)C74 ( 2)4C731 ，T7系數(shù)6(2)61C7C7 4所以系數(shù)最大的項是第五項，T5C74 ( 2x) 4560x4 。【總結(jié)升華】求展開式中系數(shù)最大的項，一般是解一個不等式組TrTr 1 。TrTr 1舉一反三：【變式】設(shè) ( 1 x2 )n 展開式的第10 項系數(shù)最大，求n.55【答案】展開式的通項為r1 n r 2

26、 rr1 n r2 rn rTr 1C n ( 5 x)( 5 )Cn ( 5)(5 ) xr 2r 其系數(shù)為 C n n5C929C828n5nn5n第 10 項系數(shù)最大，29，910210Cn5nCn5n25又 nN+解得n 14 ，2 n=13 或 n=14n【變式 2】 已知12a的展開式中第五、六、七項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式2系數(shù)最大的項?！敬鸢浮恳驗?Cn4Cn62Cn5 ，所以n!4)!n!2n!。4!( n6!( n6)!5!( n5)!即 n2 21n+98=0，解得 n=14 或 7。7當 n=14 時，第8 項的二項式系數(shù)最大，T8C1471(2 a)

27、73432 a7 。2當 n=7 時，第 4 項與第 5 項的二項式系數(shù)最大，435 a3 ， T5 C743T4 C731(2 a)31(2a)470a4 。222類型四、利用賦值法進行求有關(guān)系數(shù)和。例 7. 已知 (1 2x)7=a 0+a1x+a 2x2 + +a7x7 ，求：（ 1 ）a1+a2 + +a7；（2 ） a1+a3 +a5+a7；（ 3）a0 +a2+a4+a6；（ 4 ） |a0|+|a 1| +|a2 |+ +|a7|?！舅悸伏c撥】求展開式的各項系數(shù)之和常用賦值法【解析】令 x=1 ，則 a0 +a1+a2 +a3+a 4+a5+a6+a7= 1，令 x=1，則 a0

28、 a1+a2a3+a4 a5+a 6a=37，7（ 1）因為 a0=001237a0C7 1 （或令 x=9，得 a =1），所以 a +a +a +a =2。（ 2）由（ ） 2得 a1a3a5a71371094 。2（ 3）由（ +） 2得 a0a2a4a61371093 。2（ 4 ）方法一：因為 (1 2x)7 展開式中， a0 ，a2 ， a4， a6 大于零，而 a1， a3， a5 ，a7 小于零，所以 |a0 |+|a 1|+|a 2|+ +|a7|=(a 0 +a2+a4 +a6) (a1+a3 +a5+a 7)=1093 ( 1094)=2187。方法二： |a 0|+|a

29、 1|+|a 2 |+|a7|，即 (1+2x) 7 展開式中各項的系數(shù)和，所以|a 0|+|a 1 |+|a7|=3 7 =2187 。【總結(jié)升華】求展開式的各項系數(shù)之和常用賦值法?！百x值法 ”是解決二項式系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同的值。一般地，要使展開式中項的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x=0 可得常數(shù)項，令x=1 可得所有項系數(shù)之和，令x= 1 可得偶次項系數(shù)之和與奇次數(shù)系數(shù)之和的差，而當二項展開式中含負值時，令x= 1 則可得各項系數(shù)絕對值之和。舉一反三：【變式1】已知 (12x)7a0a1 xa2 x2a7 x7，求：（ 1） a1a2a7 ；（ 2） a1 a3a5a

30、7 ； （ 3） | a0 | | a1 | a7 | .【答案】（ 1）當 x1時， (12x)7(1 2)71，展開式右邊為a0a1a2a7 a0a1a2a71，當 x0 時， a01， a1a2a71 12 ，（ 2）令 x1 ， a0a1a2a71令 x1 ， a0a1a2a3a4a5a6a737 得： 2( a1a3a5 a7 )1 37 ， a1a3a5 a71 37.2（ 3）由展開式知：a1 ,a3, a5, a7 均為負， a0 ,a2 , a4, a8均為正，由（ 2）中 +得： 2( a0a2a4a6 )137， a0a2 a4a6137，2 | a0 | | a1 |

31、a7 | a0a1a2a3a4a5a6a7(a0a2a4a6 ) ( a1a3a5a7 ) 37舉一反三：【變式 1】求值： 2nC n1 2n 13Cn2 2n 232(1)n C nn 3n .【答案】2nC n1 2n1 3Cn2 2n232(1)n Cnn 3n(2 3)n( 1)n【變式 2】設(shè) 1 x1x2131na0a1xa2 x2an xn ，xx當 a0a1a2an254時，求 n 的值【答案】令 x1 得：a0 a1a2an222232n2(2n1)254 ，21 2n 128, n 7 ，類型四、二項式定理的綜合運用例 8. 求證： 32 n28n9 （ nN）能被64 整除.【思路點撥】可將32n2 化成 (32 ) n 1(81) n 1再進行展開 , 化簡即可證得 .【解析】 (32 ) n 1(81) n 1C n018n1Cn11 8n.Cnn1182Cnn181Cnn11 32n 28n9(Cn01 8n 1Cn118n2.Cnn11 )82Cnn181Cnn118n 982 (Cn01 8n1Cn118n 2.Cnn11 )故 32n 28n9（ nN ）能被 64 整除?！究偨Y(jié)升華】利用二項式定理進行證明,