機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)介

1、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法簡(jiǎn)介一.引言“設(shè)計(jì)”作為人們綜合運(yùn)用科學(xué)技術(shù)原理和知識(shí)并有目的地創(chuàng)造產(chǎn)品的一項(xiàng) 技術(shù)，已經(jīng)發(fā)展為現(xiàn)代社會(huì)工業(yè)文明的重要支柱。 今天，設(shè)計(jì)水平已是一個(gè)國(guó)家 的工業(yè)創(chuàng)新能力和市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)能力的重要標(biāo)志。許多的設(shè)計(jì)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告訴我們， 設(shè)計(jì)質(zhì)量的高低， 是決定產(chǎn)品的一系列技術(shù) 和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的重要因素。 因此，在產(chǎn)品生產(chǎn)技術(shù)的第一道工序設(shè)計(jì)上， 考慮越 周全和越符合客觀，則效果就會(huì)越好。在產(chǎn)品設(shè)計(jì)中， 追求設(shè)計(jì)結(jié)果的最優(yōu)化， 一直是我們工作努力的目標(biāo)。 現(xiàn)代 設(shè)計(jì)理論、 方法和技術(shù)中的優(yōu)化設(shè)計(jì)， 為工程設(shè)計(jì)人員提供了一種易于實(shí)施且可 使設(shè)計(jì)結(jié)果達(dá)到最優(yōu)化的重要方法和技術(shù)， 以便在解決一些復(fù)雜問(wèn)

2、題時(shí)， 能從眾 多設(shè)計(jì)的方案中找出盡可能完善的或是最好的方案。 這對(duì)于提高產(chǎn)品性能、 改進(jìn) 產(chǎn)品質(zhì)量、提高設(shè)計(jì)效率，都是具有重要意義的。二優(yōu)化設(shè)計(jì)的概念優(yōu)化設(shè)計(jì)是將工程設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問(wèn)題， 利用數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法， 借助 于計(jì)算機(jī)(高速度、高精度和大存儲(chǔ)量)的處理，從滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求的一切可行方 案中，按照預(yù)定的目標(biāo)自動(dòng)尋找最優(yōu)設(shè)計(jì)的一種設(shè)計(jì)方法。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) 最優(yōu) 化( Optimization) 通常是指解決設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)，使其結(jié)果達(dá)到某種意義上的無(wú)可 爭(zhēng)議的完善化。最優(yōu)化“ OPT在科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)如同使用最大“ MAX和最小“ MIN' 樣具有普遍性。 把機(jī)械設(shè)計(jì)和現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論及方

3、法相結(jié)合， 借助電子 計(jì)算機(jī)，自動(dòng)尋找實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案和最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。三優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般實(shí)施步驟(1) 根據(jù)設(shè)計(jì)要求和目的定義優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題；(2) 建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；(3) 選用合適的優(yōu)化計(jì)算方法；(4 )確定必要的數(shù)據(jù)和設(shè)計(jì)初始點(diǎn)；(5 )編寫(xiě)包括數(shù)學(xué)模型和優(yōu)化算法的計(jì)算機(jī)程序， 通過(guò)計(jì)算機(jī)的求解計(jì)算獲取最 優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)；(6)對(duì)結(jié)果數(shù)據(jù)和設(shè)計(jì)方案進(jìn)行合理性和適用性分析。其中，最關(guān)鍵的是兩個(gè)方面的工作： 首先將優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題抽象和表述為計(jì)算 機(jī)可以接受與處理的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型， 通常簡(jiǎn)稱(chēng)它為 優(yōu)化建模；然后選用優(yōu)化 計(jì)算方法及其程序在計(jì)算機(jī)上求出這個(gè)模型的的最優(yōu)解，通常簡(jiǎn)稱(chēng)它為

4、 優(yōu)化計(jì) 算。優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)的形式表示所設(shè)計(jì)問(wèn)題的特征和追求的目的， 它 反映了設(shè)計(jì)指標(biāo)與各個(gè)主要影響因素 (設(shè)計(jì)參數(shù)) 間的一種依賴(lài)關(guān)系， 它是獲得 正確優(yōu)化結(jié)果的前提。由于優(yōu)化計(jì)算方法很多， 因而它的選用是一個(gè)比較棘手的問(wèn)題， 在選用時(shí)一 般都遵循這樣的兩個(gè)原則： 一是選用適合于模型計(jì)算的方法； 二是選用已有計(jì)算 機(jī)程序，且使用簡(jiǎn)單和計(jì)算穩(wěn)定的方法。四無(wú)約束優(yōu)化計(jì)算方法1單變量?jī)?yōu)化計(jì)算方法 一維搜索就是要在初始單峰區(qū)間中求單峰函數(shù)的極小點(diǎn)。 所以 找初始單峰區(qū) 間是一維搜索的第一步 。然后將初始單峰區(qū)間逐步縮小， 直至極小點(diǎn)存在的范圍小于給定的一個(gè)正數(shù) ?，此?稱(chēng)為收斂精度或迭代

5、精度 。此時(shí)，如區(qū)間為 a(k),b(k) ，即有b(k)-a(k)< ?可取該區(qū)間的中點(diǎn)作為極小點(diǎn)x*=0.5(a(k)+b(k)(1) 黃金分割法在區(qū)間a,b內(nèi)，適當(dāng)插入兩個(gè)內(nèi)分點(diǎn)x1和x2 (x1< x2),它們把a(bǔ),b 分成 三段。計(jì)算并比較x1和x2兩點(diǎn)的函數(shù)值f(x1)和f(x2),因?yàn)閍,b是單峰區(qū)間， 故當(dāng)f(x1)>f(x2) 時(shí)，極小點(diǎn)必在x1,b中；當(dāng) f(x1)<f(x2) 時(shí)，極小點(diǎn)必在 a,x2 中。無(wú)論發(fā)生在那種情況， 都將包含極小點(diǎn)的區(qū)間縮小， 即可刪去最左段或最右 段，然后在保留下來(lái)的區(qū)間上做同樣的處理， 如此迭代下去， 將使搜索區(qū)間逐

6、步 減小，直到滿(mǎn)足預(yù)先給定的精度(終止準(zhǔn)則)時(shí)，即獲得一維優(yōu)化問(wèn)題的近似最 優(yōu)解。(2) 二次插值法二次插值的基本思想是利用目標(biāo)函數(shù)在不同 3點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)成一個(gè)與原函數(shù) f(x)相近似的二次多項(xiàng)式p(x)，以函數(shù)p(x)的極值點(diǎn)(即p' (x*p)=0的根)作為 目標(biāo)函數(shù)f(x)的近似極值點(diǎn)。2. 多變量?jī)?yōu)化計(jì)算方法(在此只對(duì)梯度方法做一簡(jiǎn)介)(1) 梯度法梯度方向是函數(shù)增加最快的方向，而負(fù)梯度方向是函數(shù)下降最快的方向； 梯度法以負(fù)梯度方向?yàn)樗阉鞣较颍?每次迭代都沿著負(fù)梯度方向一維搜索， 直 到滿(mǎn)足精度要求為止；因此，梯度法又稱(chēng)為最速下降法。梯度法的優(yōu)點(diǎn)是理論明確， 程序簡(jiǎn)單， 對(duì)初始

7、點(diǎn)要求不嚴(yán)格， 有著很好的整 體收斂性； 缺點(diǎn)在于在遠(yuǎn)離極小點(diǎn)時(shí)逼近速度較快， 而在接近極小點(diǎn)時(shí)逼近速度 較慢，收斂速度與 目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì) 密切相關(guān)。(2) 牛頓法利用目標(biāo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x(k)處的二階Taylor展開(kāi)式去近似目標(biāo)函數(shù)，用二次 函數(shù)的極小點(diǎn)去逼近目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。適用場(chǎng)合為：如果目標(biāo)函數(shù)f(x)在R上具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，其Hessiar矩 陣G(x)正定并且可以表達(dá)為顯式，那么可以使用牛頓法。(3) 修正牛頓法為了克服牛頓法的缺點(diǎn)， 人們保留選牛頓方向作為搜索方向， 摒棄其步長(zhǎng)恒 取1，而用一維搜索確定最優(yōu)步長(zhǎng)，由此產(chǎn)生的算法稱(chēng)為修正牛頓法 (或阻力牛頓 法、阻尼牛頓法 )

8、。修正牛頓法的優(yōu)點(diǎn)是克服了牛頓法的主要缺點(diǎn)， 特別是當(dāng)?shù)c(diǎn)接近于最優(yōu) 解時(shí)，此法具有收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)， 且對(duì)初始點(diǎn)的選擇要求不嚴(yán)； 修正牛頓法的 缺點(diǎn)是仍然需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的Hessiam陣和逆矩陣，所以求解的計(jì)算量和存 儲(chǔ)量很大，另外當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的Hessian陣在某點(diǎn)處出現(xiàn)奇異時(shí)，迭代將無(wú)法進(jìn) 行。(4) 共軛方向法一般地，在n維空間中可以找出n個(gè)互相共軛的方向，對(duì)于n元正定二次函數(shù)， 從任意初始點(diǎn)出發(fā)，順次沿這n個(gè)共軛方向最多作n次直線(xiàn)搜索就可以求得目標(biāo)函 數(shù)的極小點(diǎn).這就是共軛方向法的算法形成的基本思想。對(duì)于n元正定二次目標(biāo)函數(shù)，從任意初始點(diǎn)出發(fā)， 如果經(jīng)過(guò)有限次迭代就能夠求得極小點(diǎn)，

9、 那么這種算 法稱(chēng)為具有二次終止性。例如牛頓法對(duì)于二次函數(shù)只須經(jīng)過(guò)一次迭代就可以求得極小點(diǎn)， 因此是二次 終止的；而最速下降法不具有二次終止性；共軛方向法(包括共軛梯度法，變尺 度法等)是二次終止的。一般來(lái)說(shuō)，具有二次終止性的算法，在用于一般函數(shù)時(shí)，收斂速度較快。五、約束優(yōu)化設(shè)計(jì)方法與無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題不同的是， 約束優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)的最小值是函數(shù)在 有 約束條件所限定的可行域內(nèi)的最小值 ，并不一定是目標(biāo)函數(shù)的自然最小值 。約束優(yōu)化方法是用來(lái)求解如下非線(xiàn)性約束優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)值迭代算法。1. 可行方向法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)： 梯度法、方向?qū)?shù)、 kt 條件適用條件：目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)均為n維一階連續(xù)可微函數(shù)、可

10、行域是連續(xù)閉 集、求解不等式約束的一種直接解法?？尚蟹较蚍ㄊ怯锰荻热デ蠼饧s束非線(xiàn)性最優(yōu)化問(wèn)題的一種有代表性的直接 解法，它是求解大型約束優(yōu)化問(wèn)題的主要方法之一。其收斂速度快，效果好，但 程序比較復(fù)雜，直接算法，計(jì)算困難且工作量大。2. 懲罰函數(shù)法將不等式和等式約束函數(shù) gu(X) < 0(u=1,2, , m), hv(X)=0(v=l,2, , p) 和待定系數(shù) r (k) (稱(chēng)為加權(quán)因子)經(jīng)加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)一起組成一個(gè)新 的目標(biāo)函數(shù)( 懲罰函數(shù))，然后對(duì)它求最優(yōu)解。把其中不等式和等式約束函數(shù)值經(jīng)加權(quán)處理后， 和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合新的目標(biāo) 函數(shù)：min 巾(X,r i(k) ,r

11、2(k) )=f(X)+r i(k)藝 Ggu(X)+r 2(k)藝 Hhv(X)(1) 外點(diǎn)懲罰函數(shù)法基本思想：外點(diǎn)法是將懲罰函數(shù)定義于可行區(qū)域的外部。 序列迭代點(diǎn)從可行 域外部逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。外點(diǎn)懲罰函數(shù)法構(gòu)造懲罰函數(shù)的形式為：巾(X,r (k)=f(X)+r (k)藝 max0,gu(X) 2+r(k)藝 Hhv(X) 2外點(diǎn)法將懲罰函數(shù)定義于約束可行域之外， 且求解無(wú)約束問(wèn)題的一系列 迭代點(diǎn)是從可行域外部逼近原目標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)解。(2) 內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法基本思想：將新目標(biāo)函數(shù)定義于 可行域內(nèi) ，序列迭代點(diǎn)在可行域內(nèi)逐步逼近 約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。 內(nèi)點(diǎn)法只能用來(lái)求解具有不等式

12、約束的優(yōu)化問(wèn)題 。內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法構(gòu)造懲罰函數(shù)的形式為：巾(X,r (k)=f(X)-r(k)藝1/g u(X)或巾(X,r (k)=f(X)-r(k)藝 ln-g u(X)因內(nèi)點(diǎn)法將懲罰函數(shù)定義在可行域內(nèi)， 故點(diǎn)X0)要嚴(yán)格滿(mǎn)足全部的約束條件， 且應(yīng)選擇離約束邊界較遠(yuǎn)些，即應(yīng)使 gu(X(0)<0(u=1,2 , m)。(3) 初始懲罰因子r(0)的選擇r (0)的選擇會(huì)影響到迭代計(jì)算能否正常進(jìn)行以及計(jì)算效率的高低， 值應(yīng)適當(dāng)。 若r太大，則開(kāi)始幾次構(gòu)造的懲罰函數(shù)的無(wú)約束極值點(diǎn)會(huì)離約束邊界很遠(yuǎn)， 將增加迭代次數(shù)，使計(jì)算效率降低。若r太小，懲罰函數(shù)中的障礙項(xiàng)的作用就會(huì)很小，使懲罰函數(shù)性態(tài)變

13、壞， 甚至難以收斂到原約束目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn)。目前，還沒(méi)有一定的有效方法， 往往要經(jīng)過(guò)多次試算， 才能確定一個(gè)適當(dāng)?shù)?r (0) 。多數(shù)情況下，一般取r(0)=1，然后根據(jù)試算的結(jié)果，加以調(diào)整。(4) 懲罰因子的縮減系數(shù)C的選擇在構(gòu)造序列懲罰函數(shù)時(shí)，懲罰因子r(k)是一個(gè)逐次遞減到0的數(shù)列，相鄰兩次 迭代的懲罰因子關(guān)系式為：r(k)=Cr(k-1)其中，C懲罰因子的縮減系數(shù)，0<Cv1,通常取值為：0.10.7。六、小結(jié)及心得在老師所給出的四種設(shè)計(jì)計(jì)算方法當(dāng)中，我之所以選擇了優(yōu)化設(shè)計(jì)方法， 是因?yàn)樵谏蟼€(gè)學(xué)期我曾經(jīng)選修過(guò)現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法 A，對(duì)一些優(yōu)化設(shè)計(jì)方法有一 些簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)和了解。 機(jī)械優(yōu)化

14、設(shè)計(jì)方法多種多樣， 不是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單就能介紹清楚 的。在此，我僅僅對(duì)無(wú)約束、有約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了介紹，除此之外，還 有多目標(biāo)問(wèn)題、 多學(xué)科問(wèn)題、 離散問(wèn)題的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法等等， 在各行各業(yè)當(dāng)中都 能看到它們的影子。說(shuō)到優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，它給我的第一個(gè)印象就是要算，而且還是不停的算。 優(yōu)化設(shè)計(jì)方法， 說(shuō)白了就是給出一個(gè)具體的問(wèn)題， 選擇了合適的計(jì)算方法， 找到 適合這個(gè)問(wèn)題所需要的公式， 然后一直迭代一直迭代， 直到滿(mǎn)足要求的精度或者 終止準(zhǔn)則， 優(yōu)化設(shè)計(jì)方法不適合我們用手去算， 那樣不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力， 而且得到的 結(jié)果也會(huì)有很大的誤差。 因此，我們?cè)诓捎脙?yōu)化設(shè)計(jì)方法解決問(wèn)題時(shí)， 通常會(huì)使 用計(jì)算機(jī)幫助我們進(jìn)行計(jì)算， matlab 就是一個(gè)不錯(cuò)的軟件， 它包含了解決工程問(wèn) 題所需要的多種函數(shù)，可以很快的得出運(yùn)算結(jié)果即最優(yōu)解。其次，這種方法對(duì)個(gè)人數(shù)學(xué)水平的要求較高。雖然計(jì)算機(jī)可以幫助我們完 成大部分的運(yùn)算， 但是它