小學四年級奧數之牛吃草問題

1、第第7講講 牛吃草問題牛吃草問題 牛吃草問題在普通工程問題的基礎上，工作總量隨工作時間均勻的變化，這樣就增加了難度 解答這類題的關鍵是要想辦法從變化中找到不變的解答這類題的關鍵是要想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，量。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以每天新長出的草是不變的。正確因為是勻速生長，所以每天新長出的草是不變的。正確計算草地上原有的草及每天長出的草，問題就容易解決計算草地上原有的草及每天長出的草，問題就容易解決了。了。草場有一片均勻生長的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供21頭牛吃幾周?(這

2、類問題由牛頓最先提出，所以又叫“牛頓問題”)【分析與解】【分析與解】 27頭牛吃6周相當于276=162頭牛吃1周時間，吃了原有的草加上6周新長的草； 23頭牛吃9周相當于239=207頭牛吃1周時間，吃了原有的草加上9周新長的草； 于是，多出了207-162=45頭牛，多吃了9-6=3周新長的草 所以453=15頭牛1周可以吃1周新長出的草即相當于給出15頭牛專門吃新長出的草 于是27-15=12頭牛6周吃完原有的草，現在有21頭牛，減去15頭吃長出的草，于是21-15=6頭牛來吃原來的草；所以需要1266=12(周)，于是2l頭牛需吃12周注注：我們求出單位“1”面積的草需要多少頭年來吃，

3、這樣就把問題化歸為一般工程問題了 一般方法一般方法： 先求出變化的草相當于多少頭牛來吃：(甲牛頭數時間甲-乙牛頭數時間乙)(時間甲-時間乙)；再進行如下運算：(甲牛頭數-變化草相當頭數)時問甲(丙牛頭數-變化草相當頭數)=時間丙或者：(甲牛頭數-變化草相當頭數)時間甲時間丙+變化草相當頭數丙所需的頭數 有三塊草地，面積分別是4公頃、8公頃和10公頃草地上的草一樣厚而且長得一樣快第一塊草地可供24頭牛吃6周，第二塊草地可供36頭牛吃12周問：第三塊草地可供50頭牛吃幾周?【分析與解】【分析與解】 我們知道246=144頭牛吃一周吃2個(2公頃+2公頃周長的草). 3612=432頭牛吃一周吃4個

4、(2公頃+2公頃12周長的草) 于是1442=72頭牛吃一周吃2公頃+2公頃6周長的草 4324=108頭牛吃一周吃2公頃+2公頃12周長的草 所以108-72=36頭牛一周吃2公頃126=6周長的草 即366=6頭牛1周吃2公頃1周長的草 對每2公頃配6頭牛專吃新長的草，則正好于是4公頃，配426=12頭牛專吃新長的草，即24-12=12頭牛吃6周吃完4公頃，所以1頭牛吃612(42)=36周吃完2公頃 所以10公頃，需要1026=30頭牛專吃新長的草，剩下50-30=20頭牛來吃10公頃草，要36 (102)20=9周 于是50頭牛需要9周吃10公頃的草 【分析與解】【分析與解】 一群牛，

5、2天，吃了1塊+1塊2天新長的； 一群牛，6天，吃了2塊+2塊2+6=8天新長的；即3天，吃了1塊+1塊8天新長的. 即 16群牛，1天，吃了1塊1天新長的. 現在有牛、羊、馬吃一塊草地的草，牛、馬吃需要45天吃完，于是馬、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度為馬吃草的速度，求馬、牛、羊一起吃，需多少時間?【分析與解】【分析與解】 牛、馬45天吃了 原有+45天新長的草 馬、羊60天吃了 原有+60天新長的草牛、羊90天吃了 原有+90天新長的草馬 90天吃了 原有+90天新長的草 牛、馬90天吃了 2原有+90天新長的草 所以，由、知，牛吃了90天，吃了原有的

6、草；再結合知，羊吃了90天，吃了90天新長的草，所以，可以將羊視為專門吃新長的草所以，知馬60天吃完原有的草，知牛90天吃完原有的草現在將牛、馬、羊放在一起吃；還是讓羊吃新長的草，牛、馬一起吃原有的草. 所需時間為l 11()9060=36天. 所以，牛、羊、馬一起吃，需36天 由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？【分析與解】【分析與解】 設1頭牛1天吃的草為1份，20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份） 說明寒冷的天氣使牧場1天減少青草10份，也

7、就是寒冷導致的每天減少的草量相當于10頭牛在吃草。 由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上寒冷導致的每天減少的草量相當于10頭牛同時在吃草， 所以原有草共有（20+10）5=150（份）， 由15010=15知道，牧場原有的草可供15頭牛吃10天。 由寒冷導致的原因占去10頭牛吃的草，所以可供5頭牛吃10天。自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級臺階，女孩每分鐘走15級臺階，結果男孩用5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級臺階？【分析與解】【分析與解】與前面的題比較，“總的草量”變成了“扶梯的臺階總數”，“草”變成了“臺階

8、”，“?！弊兂闪恕八俣取?，也可以看成是牛吃草問題。上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。 男孩5分鐘走了205=100（級），女孩6分鐘走了156=90（級），女孩比男孩少走了10090=10（級）， 多用了65=1（分鐘），說明電梯1分鐘走10級。 因男孩5分鐘到達樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和。 所以，扶梯共有（20+10）5=150（級）一只船有一個漏洞，水以均勻的速度進入船內，發(fā)現漏洞時已經進了一些水。如果用12人舀水，3小時舀完。如果只有5個人舀水，要10小時才能舀完?，F在要想2小時舀完，需要多少人？【分析與解】【分析與解】已

9、漏進的水，加上3小時漏進的水，每小時需要（123）人舀完，也就是36人用1小時才能舀完。 已漏進的水，加上10小時漏進的水，每小時需要（510）人舀完，也就是50人用1小時才能舀完。 通過比較，我們可以得出1小時內漏進的水及船中已漏進的水。1小時漏進的水，2個人用1小時能舀完：（510123）（103）=2已漏進的水：（122）3=30已漏進的水加上2小時漏進的水，需34人1小時完成：30+22=34用2小時來舀完這些水需要17人：342=17（人）有三塊草地，面積分別為5，6，和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草薦地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問第三

10、塊草地可供19頭牛吃多少天？【分析與解】【分析與解】現在是三塊面積不同的草地。為了解決這個問題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。即5，6，8=120這樣，第一塊5公頃可供11頭牛吃10天，1205=24，變?yōu)?20公頃草地可供 1124=264（頭）牛吃10天第二塊6公頃可供12頭牛吃14天，1206=20，變?yōu)?20公頃草地可供 1220=240（頭）牛吃14天。1208=15。問題變成：120公頃草地可供1915=285（頭）牛吃幾天？因為草地面積相同，可忽略具體公頃數，原題可變?yōu)椋阂粔K草地勻速生長，可供264頭牛吃10天或供240頭牛吃14天， 那么可供285頭牛吃幾天？即每天新長出的草：

11、（2401426410）（1410）=180（份）草地原有草：（264180）10=840（份）可供285頭牛吃的時間：840（285180）=8（天）作業(yè) 由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天或可供16頭牛吃6天。照此計算，可供11頭牛吃幾天不定方程與整數分拆不定方程與整數分拆求二元一次方程與多元一次方程組的自然數解的方法，求二元一次方程與多元一次方程組的自然數解的方法，與此相關或涉及整數分拆的數論問題與此相關或涉及整數分拆的數論問題對于不定方程的解法，本講主要利用同余的性質來求解對于不定方程的解法，本講主要利用同余的性質來求解

12、 在兩位數中，能被其各位數字之和整除，而且除得的商恰好是4的數有多少個?【分析與解】【分析與解】 有紙幣60張，其中1分、l角、1元和10元各有若干張問這些紙幣的總面值是否能夠恰好是100元?【分析與解】【分析與解】 設1分、1角、1元和10元紙幣分別有a張、b張、c張和d張，列方程如下： 601101001000100002abcdabcd由 (2)(1)得 9999999940bcd 注意到式左邊是9的倍數，而右邊不是9的倍數，因此無整數解，即這些紙幣的總面值不能恰好為100元將一根長為374厘米的合金鋁管截成若干根36厘米和24厘米兩種型號的短管，加工損耗忽略不計問：剩余部分的管子最少是

13、多少厘米?【分析與解】【分析與解】 24厘米與36厘米都是12的倍數，所以截成若干根這兩種型號的短管，截去的總長度必是12的倍數， 但374被12除余2，所以截完以后必有剩余剩余管料長不小于2厘米另一方面，374=2712+412+2，而3612=3，2412=2即可截成9根36厘米的短管與2根24厘米的短管，剩余2厘米因此剩余部分的管子最少是2厘米小萌在郵局寄了3種信，平信每封8分，航空信每封1角，掛號信每封2角，她共用了1元2角2分那么小萌寄的這3種信的總和最少是多少封? 【分析與解】 顯然，為了使3種信的總和最少，那么小萌應該盡量寄最貴的掛號信，然后是航空信，最后才是平信 但是掛號信、航

14、空信的郵費都是整數角不會產生幾分 此時剩下的郵費為122-32=90，所以再寄4封掛號信，航空信1封即可 于是，小萌寄的這3種信的總和最少是4+1+4=9封有三堆砝碼，第一堆中每個砝碼重3克，第二堆中每個砝碼重5克，第三堆中每個砝碼重7克現在要取出最少個數的砝碼，使它們的總重量為130克那么共需要多少個砝碼?其中3克、5克和7克的砝碼各有幾個?【分析與解】【分析與解】 為了使選取的砝碼最少，應盡可能的取7克的砝碼1307：18 4， 5種商品的價格如表81，其中的單位是元現用60元錢恰好買了10件商品，那么有多少種不同的選購方式?【分析與解】【分析與解】 設B、C、D、E、A商品依次買了b、c

15、、d、e、(10-b-c-d-e)件，則有2.9 104.77.210.614.9bcdebcde =60 1 84 37 71 2 03 1 0bcde最后可得到如下表的滿足情況：共有4種不同的選購方法(1)將50分拆成10個質數之和，要求其中最大的質數盡可能大，那么這個最大質數是多少? (2)將60分拆成10個質數之和，要求其中最大的質數盡可能小，那么這個最大的質數是多少?【分析與解】【分析與解】 (1)首先確定這10個質數或其中的幾個質數可以相等，不然10個互不相等的質數和最小為2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，顯然大于50 所以，其中一定可以有某幾個質數相等欲使最大的

16、質數盡可能大，那么應使最小的質數盡可能小，最小的質數為2，且最多可有9個2，那么最大質數不超過5029=32，而不超過32的最大質數為31 (2)最大的質數必大于5，否則10個質數的之和將不大于50所以最大的質數最小為7，為使和為60，所以盡可能的含有多個7 607=84， 8760=7+7+7+7+4 個而4=2+2， 即8個7與2個2的和為60，顯然其中最大的質數最小為7有30個貳分硬幣和8個伍分硬幣，用這些硬幣不能構成的1分到1元之間的幣值有多少種? 【分析與解】【分析與解】 注意到所有38枚硬幣的總幣值恰好是100分(即1元)，于是除了50分和100分外，其他98種幣值就可以兩兩配對了

17、，即 (1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)；(49，51)； 每一對幣值中有一個可用若干個貳分和伍分硬幣構成，則另一個也一定可以， 顯然50分和100分的幣值是可以組成的 因此只需要討論幣值為1分，2分，3分，48分和49分這49種情況 1分和3分的幣值顯然不能構成2分，4分，6分，46分，48分等24種偶數幣值的都可以用若干個貳分硬幣構成 5分，7分，9分，47分，49分等23種奇數幣值的只須分別在4分， 6分,8分，46分、48分的構成方法上，用一枚伍分硬幣去換兩枚貳分硬幣即可， 譬如，37分幣值的，由于36分幣值可用18枚貳分硬幣構成，用一枚伍分硬幣換下兩枚貳分硬幣，剩

18、下的幣值即為37分綜合以上分析，不能用30個貳分和8個伍分硬幣構成的1分到1元之間的幣值只有四種，即1分，3分，97分，99分 小明買紅、藍兩支筆，共用了17元兩種筆的單價都是整數元，并且紅筆比藍筆貴小強打算用35元來買這兩種筆(也允許只買其中一種)，可是他無論怎么買，都不能把35元恰好用完那么紅筆的單價是多少元? 【分析與解】【分析與解】 如下表 先枚舉出所有可能的單價如表1再依次考慮：首先，不能出現35的約數否則只買這種筆就可以剛好用完35元， 所以含有7，5，1的組合不可能然后，也不能出現3517=18的約數否則先各買一支需17元，那么再買這種筆就可以花去18元，一共花35元 所以含有9

19、，6，3，2的組合也不可能 所以，只有13+4的組合可能，經檢驗13x+4y=35這個不定方程確實無自然數解所以紅筆的單價為13元第第9講講 整數分拆整數分拆1一般的有，把一個整數表示成兩個數相加，當兩個數相近或相等的時候，乘積最大也就是把整數分拆成兩個相等或者相差1的兩個整數 2一般的有，把自然數m分成n個自然數的和，使其乘積最大，則先把m進行對n的帶余除法，表示成m=np+r，則分成r個(p+1)，(nr)個P 3把自然數S (S1)分拆為若干個自然數的和(沒有給定是幾個)，則分開的數當中最多有兩個2，其他的都是3，這樣它們的乘積最大 4把自然數分成若干個互不相等的整數，則先把它表示成2+

20、3+4+5+n形式，當和等于原數則可以，若不然，比原數大多少除去等于它們差的那個自然數 如果僅大于1，則除去2，再把最大的那個數加1mm電視臺要播出一部30集電視連續(xù)劇，若要每天安排播出的集數互不相等則該電視連續(xù)劇最多可以播出幾天? 【分析與解】【分析與解】 由于希望播出的天數盡可能地多，若要滿足每天播出的集數互不相等的條件下，每天播出的集數應盡可能地少選擇從1開始若干連續(xù)整數的和與30最接近(小于30)的情況為1+2+3+4+5+6+7=28， 現在就可以播出7天，還剩下2集， 由于已經有2集這種情況，就是把2集分配到7天當中又沒有引起與其他的幾天里播出的集數相同. 于是只能選擇從后加即把3

21、0表示成： 30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小明從每支盒子里取出一個小球，然后把這些小球再放到小球數最少的盒子里去。再把盒子重排了一下小聰回來，仔細查看，沒有發(fā)現有人動過小球和盒子問：一共有多少只盒子?【分析與解】【分析與解】 設原來小球數最少的盒子里裝有a只小球，現在增加了b只，由于小聰沒有發(fā)現有人動過小球和盒子，這說明現在又有了一只裝有a個小球的盒子，而這只盒子里原來裝有(a+1)個小球 同樣，現在另有一個盒子裝有(a+1)個小球，這只盒子里原來裝有(a+2)個小球類

22、推，原來還有一只盒子裝有(a+3)個小球，(a+4)個小球等等，故原來那些盒子中裝有的小球數是一些連續(xù)整數現在變成：將42分拆成若干個連續(xù)整數的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個加數? 因為42=67，故可以看成7個6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6個6，從而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7個加數；又因為42=143，故可將42：13+14+15，一共有3個加數；又因為42=212，故可將42=9+10+11+12，一共有4個加數所以原問題有三個解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子機器人從自然數1開始由小到大按如下規(guī)則進行染色： 凡能表示為兩個不同合數之和的自然

23、數都染成紅色，不符合上述要求的自然數染成黃色(比如23可表示成兩個不同合數15和8之和，23要染紅色；1不能表示為兩個不同合數之和，1染黃色)問：要染成紅色的數由小到大數下去，第2000個數是多少?請說明理由 【分析與解】【分析與解】 顯然1要染黃色，2=1+1也要染黃色， 3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6 可見，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均應

24、染成黃色 下面統(tǒng)一觀察其他自然數，說明其他自然數均要染成紅色 1)當n為大于等于10的偶數時，n=2k=4+2(k2) 由于n10，所以k5，k23，2(k2)與4均為合數，且不相等于是，大于等于10的偶數都可以表示兩個不同的合數之和，應染成紅色2)當n為大于等于13的奇數時，n=2k+1=9+2(k4) 由于n13，所以k6，k42，2(k2)4與9均是合數，且不相等也就是說，大于等于13的奇數均能表示為兩個不同的合數之和，應染紅色 所以，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11這10個數染黃色外，其余自然數均染紅色，第k個染為紅色的數是第(k+10)個自然數(k2) 所以第2000個染紅色的數是2000+10=2010在整數中，有用2個以上的連續(xù)自然數的和來表達一個整數的方法例如9：9=4+5，9=2+3+4，9有兩個用2個以上連續(xù)自然數的和來表達它的方法. (1)請寫出只有3種這樣的表示方法的最小自然數 (2)請寫出只有6種這樣的表示方法的最小自然數【分析與解】【分析與解】 關于某整數，它