偏導(dǎo)數(shù)1ppt課件

1、第二節(jié)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 一、一、 偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二二 、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù) 偏 導(dǎo) 數(shù) 第九章 一、一、 偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法引例引例:研討弦在點(diǎn) x0 處的振動速度與加速度 ,就是),(txu0 xoxu中的 x 固定于求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).),(txux0 處,),(0txu),(0txu關(guān)于 t 的機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 將振幅定義定義1.),(yxfz 在點(diǎn)), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz對在點(diǎn)),(),(00的偏導(dǎo)數(shù)，記為;),(00yxxz),(00yx的某鄰域內(nèi);),(00yxx

2、fxx00 x那么稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù))(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx留意留意:0),(dd0yyyxfy同樣可定義對 y 的偏導(dǎo)數(shù) lim0y),(00yxfy假設(shè)函數(shù) z = f ( x , y ) 在域 D 內(nèi)每一點(diǎn) ( x , y ) 處對 x,xzxfxz那么該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yx

3、fyxfy) ,(0 xf),(0 xfy記為yy00y機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 或 y 偏導(dǎo)數(shù)存在 ,yzyfyz),(zyxfx例如例如, 三元函數(shù)三元函數(shù) u = f (x , y , z) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x , y , z) 處對處對 x 的的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推行到二元以上的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 偏導(dǎo)數(shù)定義為(請本人寫出)二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyy

4、fxxyy是曲線0),(xxyxfzyTM0在點(diǎn) M0 處的切線對 x 軸的斜率.在點(diǎn)M0 處的切線斜率.是曲線yxz0 xyToxT0y0M機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 對 y 軸的函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00留意：留意：但在該點(diǎn)不一定延續(xù).上節(jié)例 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例1 . 求求223yyxxz解法解法1:1:xz)2, 1 (xz解法解法2:2:) 2, 1(xz在點(diǎn)(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù).) 2, 1(yz,32y

5、x yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例2. 設(shè)設(shè)，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 證證:xzyzxxzyxln1 例例3. 求求222zyxr的偏導(dǎo)數(shù) . 解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 偏導(dǎo)數(shù)記號是一個例例4. 知理想氣體的形狀方程知理想氣體的形狀方程求證:1pTTVVpTRVp證證:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp闡明闡明:(R 為常數(shù))

6、 , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子與分母的商 !此例闡明,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 整體記號,二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx假設(shè)這兩個偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy那么稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同, 有以下四個二階偏導(dǎo)22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 數(shù):類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，例如，z

7、 = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)的三階偏導(dǎo)數(shù)為為3322)(xzxzxz = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階) (yyxznn1機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 偏導(dǎo)數(shù)為11nnxzyxe22例例5. 求函數(shù)求函數(shù)yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz留意留意: :此處此處,22xyzyxz但這一結(jié)論并不總成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 的二階偏導(dǎo)數(shù)及 0,)(4222224224yxyxyyxxxy

8、fyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例6. 證明函數(shù)證明函數(shù)222,1zyxrru滿足拉普拉斯0222222zuyuxu證：證：xu22xu利用對稱性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx435

9、2331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 證證: :令令),(),(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),()(00yxfyyxfx那么),(yxFxxx)(10 xyxxfyyxxfxx ),(),(010010yxyyxxfyx),(2010),(),(0000yxfyyxf),(),()(00yxfyxxfy)10(1)1,0(21,),()()(00連續(xù)都在點(diǎn)和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx那么)()(00 xxx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定理定理.令),(),

10、(),(0000yxxfyyxxfyxF),(),(0000yxfyyxf同樣)()(00yyyyxyyxxfxy),(4030) 1,0(43),(),(0000yxfyxfxyyx）（）（因yxfyxfxyyx, 0 x故令),(4030yyxxfxy),(2010yyxxfyx在點(diǎn))(00yx ，延續(xù),得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 0y證明 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例如例如, 對三元函數(shù)對三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx闡明闡明:函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是延續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求

11、導(dǎo)順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx由于初等函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 延續(xù)時, 有而初等內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論 定義; 記號; 幾何意義 函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)延續(xù) 混合偏導(dǎo)數(shù)延續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2. 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時, 應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 思索與練習(xí)思索與練習(xí)解答提示: 題 5，時當(dāng)022 yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy,022 yx當(dāng)0)0 ,(dd)0 , 0(xxfxfx0), 0(dd)0 , 0(yyfyfy00題 5 , 62223)(2yxyx222222)()(yxyxx即 xy0 時,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 題6(1),12yxxz22yxyyz,)(12222yxxz,)(2222yxyyxz22222)()(2yxyxyz(2),1yxyxzxxyzyln,) 1(2 .22yxyyxzxxyxyxzyyln1 .12xxyzy222ln機(jī)動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ,)(xuuf備用題備用題 設(shè), )(